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必修4 三角函数的图像及性质 专项训练测试题
选择题
1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin的最小正周期为
A．4π B．2π C．π D.
2．函数y＝ 的定义域为
A.
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．R
3．已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图像
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
4．将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为f(x)，则函数f(x)的单调递增区间为
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
5．(一题多解)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题
6． 若函数f(x)＝cos(ω∈N*)的一个对称中心是，则ω的最小值为________．
7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
解答题
8．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
9．已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
10．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图像关于直线x＝ω对称，则ω的值为
A. B．2 C. D.
11．函数f(x)＝2sin(ω>0)的图像在[0，1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为
A．[2π，4π] B.
C. D.
12．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若使得f(x)在区间上为增函数的整数ω有且只有一个，则正数φ的取值范围为
A. B. C. D.
13．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
14．已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值．
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必修4 三角函数的图像及性质 专项训练测试题解析
选择题
1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin的最小正周期为
A．4π B．2π C．π D.
解析 由题意T＝＝π，故选C.
答案 C
2．函数y＝ 的定义域为
A.
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．R
解析 由cos x－≥0，得cos x≥，所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
答案 C
3．已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图像
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
解析 由题意可得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝cos(2x＋φ)＝cos＝cos，k∈Z.当x＝时，cos＝cos ＝0，所以函数y＝cos(2x＋φ)的图像关于点对称，不关于直线x＝对称，故A正确，C错误；当x＝时，cos＝cos π＝－，所以函数y＝cos(2x＋φ)的图像不关于点对称，也不关于直线x＝对称，故B，D错误．故选A.
答案 A
4．将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为f(x)，则函数f(x)的单调递增区间为
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 函数y＝2sin的周期T＝π，所以＝，则函数y＝2sin的图像向右平移后所得图像的函数的解析式为f(x)＝2sin＝2sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．故选A.
答案 A
5．(一题多解)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为
A. B. C. D.
解析 通解 因为x∈，所以ωx＋∈，因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，所以又ω>0，所以0<ω≤，选B.
优解 取ω＝1，f＝sin＝－sin <0，f＝sin＝sin ＝1，f＝sin＝sin ＝，不满足题意，排除A，C，D，选B.
答案 B
二、填空题
6． 若函数f(x)＝cos(ω∈N*)的一个对称中心是，则ω的最小值为________．
解析 因为f＝0，所以cos＝0，即＋＝＋kπ，k∈Z，故ω＝2＋6k(k∈Z)，又因为ω∈N*，故ω的最小值为2.
答案 2
7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
解析 令f(x)＝cos＝0，得3x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，x＝∈，当k＝1时，x＝∈[0，π]，当k＝2时，x＝∈[0，π]，
所以f(x)＝cos在[0，π]上零点的个数为3.
答案 3
解答题
8．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解析 (1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝.
依题意，＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin.
函数y＝sin x的单调递增区间为
(k∈Z)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
9．已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解析 (1)f(x)＝＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋；
因为x∈，所以∈；
要使得f(x)在上的最大值为，
即sin在上的最大值为1；
所以2m－≥，即m≥，所以m的最小值为.
10．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图像关于直线x＝ω对称，则ω的值为
A. B．2 C. D.
解析 因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图像关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤·，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝，故选D.
答案 D
11．函数f(x)＝2sin(ω>0)的图像在[0，1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为
A．[2π，4π] B.
C. D.
解析 解法一 由函数f(x)在[0，1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图像可知∈，则≤ω<.故选C.
解法二 取ω＝2π，则f(x)＝2sin，
由2πx＋＝＋2kπ，k∈Z，得x＝＋k，k∈Z，
则在[0，1]上只有x＝，不满足题意，排除A，B，D，故选C.
答案 C
12．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若使得f(x)在区间上为增函数的整数ω有且只有一个，则正数φ的取值范围为
A. B. C. D.
解析 解法一 由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，由f(x)在区间上为增函数，得k∈Z，得k∈Z，因为ω>0且整数ω有且只有一个，所以ω≤2，1≤<2，从而<φ≤.故选A.
解法二 由于f(x)在区间上为增函数，又－＋≤ωx＋≤ωφ＋，所以k∈Z，得
因为ω>0且整数ω有且只有一个，所以ω≤2，1≤<2，从而<φ≤，故选A.
答案 A
13．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
解析 f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2.
答案 2
14．已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值．
解析 f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)因为0≤x≤π，所以≤x＋≤，
所以－≤sin≤1，依题意知a≠0.
①当a>0时，所以a＝3－3，b＝5.
②当a<0时，所以a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
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