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选修1-2数系的扩充与复数的引入
专项训练测试题
选择题
1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
2．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i(i为虚数单位)，若z<0，则实数a的值是
A. B．1 C．－1 D．－
4．设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
5．设复数z满足z(1－2i)＝2＋i(其中i为虚数单位)，则z的模为
A．1 B. C. D．3
6．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第二象限，则整数m的取值为
A．0 B．1 C．2 D．3
填空题
7．i是虚数单位，复数＝________．
8．已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
9．已知复数z＝(a∈R，i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值等于
A. B. C．－ D．－
10．已知复数z＝，则
A．z的模为2 B．z的实部为1
C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i
11．已知命题p：若复数z满足(z－i)(－i)＝5，则z＝6i，命题q：复数的虚部为－i，则下面为真命题的是
A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q
12．设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
13．若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q＝
A．－3 B．－1 C．1 D．3
14．设f(n)＝＋(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为________．
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选修1-2数系的扩充与复数的引入
专项训练测试题解析
选择题
1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析 由(1＋i)2＝2i为纯虚数知选C.
答案 C
2．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 因为z＝1＋i，所以＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2＝＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故选A.
答案 A
3．复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i(i为虚数单位)，若z<0，则实数a的值是
A. B．1 C．－1 D．－
解析 由题意得解得a＝－.故选D.
答案 D
4．设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
解析 由题意，得z＝－1＝－1－i，故选C.
答案 C
5．设复数z满足z(1－2i)＝2＋i(其中i为虚数单位)，则z的模为
A．1 B. C. D．3
解析 通解 z＝＝i，|z|＝1，故选A.
优解 因为|z||1－2i|＝|2＋i|，所以|z|＝，即|z|＝1，故选A.
答案 A
6．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第二象限，则整数m的取值为
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 ∵复数z＝(m－3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第二象限，∴解得1答案 C
填空题
7．i是虚数单位，复数＝________．
解析 ＝＝＝4－i.
答案 4－i
8．已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
解析 根据(1＋i)z＝1－7i，可得z＝＝＝＝－3－4i，故|z|＝5.
答案 5
9．已知复数z＝(a∈R，i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值等于
A. B. C．－ D．－
解析 z＝＝，因为是纯虚数，所以3a－2＝0，且－3－2a≠0，解得a＝.故选A.
答案 A
10．已知复数z＝，则
A．z的模为2 B．z的实部为1
C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i
解析 根据题意可知，＝＝－1－i，所以z的虚部为－1，实部为－1，模为，z的共轭复数为－1＋i，故选C.
答案 C
11．已知命题p：若复数z满足(z－i)(－i)＝5，则z＝6i，命题q：复数的虚部为－i，则下面为真命题的是
A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q
解析 由已知可得，复数z满足(z－i)(－i)＝5，所以z＝＋i＝6i，所以命题p为真命题；复数＝＝，其虚部为－，故命题q为假命题，命题綈q为真命题．所以p∧(綈q)为真命题，故选C.
答案 C
12．设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
解析 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴z＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．故选B.
答案 B
13．若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q＝
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析 依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0, 即解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1，故选C.
答案 C
14．设f(n)＝＋(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为________．
解析 f(n)＝＋＝in＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，∴集合{f(n)}中共有3个元素．
答案 3
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