第四章 圆与方程
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用
学习目标
1.理解直线与圆的位置关系的几何性质;
2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
教学重点难点
重点:直线与圆的方程的应用.
难点:直线与圆的方程的应用.
学习过程
一、设计问题,创设情境
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.
圆的标准方程是什么?一般方程是什么?点到直线的距离公式是什么?
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用,本节通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.
①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.
②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.
例如:某圆拱形桥一孔圆拱的示意图(如图),这个圆的圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).
二、学生探索,尝试解决
对于以上实例应该考虑建立直角坐标系,确定圆的方程进而求解.
如何用坐标法解决几何问题呢?
三、信息交流,揭示规律
1.用坐标法解决几何问题时,先用 表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为 问题;然后通过代数运算解决代数问题;?
2.最后解释代数运算结果的 ,得到几何问题的结论.这就是用 解决几何问题的“三步曲”:?
第一步: ;?
第二步: ;?
第三步: .?
四、运用规律,解决问题
3.对于以上实例解析如下:
分析:建立如图所示的直角坐标系,只需求出P2的纵坐标,就可得出支柱A2P2的高度.
总结规律:(试总结如何把几何问题转化为代数问题进行求解?)
4.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
证明:
总结规律:(试总结如何把几何问题转化为代数问题进行求解?)
五、变练演编,深化提高
本节的问题主要围绕直线和圆的位置关系来设计,例如求圆的方程中条件的设计:直线与圆相切,直线与圆相交产生的弦长问题——垂径定理的运用等.
5.例如:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程.
同学们可以仿照例题和所考查的知识点来进行编写.
(设计意图:通过学生的自主编题,掌握确定用坐标法解决几何问题的关键所在和具体步骤,使学生进一步提高分析问题、解决问题的能力.)
六、信息交流,教学相长
几何问题可以转化为代数计算来解决,转化的思想和具体步骤是什么?和纯粹的几何证明相比有什么优点?
5.例如:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程.
解:圆心到直线的距离为r=,
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=.
七、反思小结,观点提炼
用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆将几何问题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何问题的结论,这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.
布置作业
课本P132练习第2,3,4题.
参考答案
三、1.坐标和方程 代数
2.几何含义,坐标方法,建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;通过代数运算,解决代数问题;把代数运算结果“翻译”成几何结论.
四、3.建立如图所示的直角坐标系,使圆心在y轴上,
设圆心的坐标是(0,b),圆的半径为r,那么圆的方程为:x2+(y-b)2=r2,
因为点P(0,4),B(10,0)在圆上,所以,有解得
所以,圆的方程为:x2+(y+10.5)2=14.52
把P2的横坐标x=-2代入圆的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,
由题意可知y>0,解得:y=3.86
答:支柱A2P2的高度约为3.86米.
4.以四边形ABCD互相垂直的对角线CA,BD所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d),
过四边形外接圆的圆心O'分别作AC、BD、AD的垂线,垂足为M,N,E,则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点,由中点坐标公式,有:
xO'=xM=,yO'=yN=,xE=,yE=,
由两点间的距离公式,有:
|O'E|=,
又|BC|=,所以,|O'E|=|BC|.
即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
5.解:圆心到直线的距离为r=,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=.
