2019-2020学年高一数学人教A版必修5学案：1.1.1正弦定理Word版含答案

第一章　解三角形
1.1　正弦定理和余弦定理
1.1.1　正弦定理
学习目标
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解决解三角形的两类基本问题.
3.从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中,边与其对角的关系.
4.通过观察、推导、比较,经历由特殊到一般的思维过程归纳出正弦定理.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:在Rt△ABC中,角C为直角,我们知道
sin A=,sin B=,sin C=1=.
这三个式子中都含有哪个边长?
问题2:那么通过这三个式子,边长c有几种表示方法?
c=
此关系式能不能推广到任意三角形?
二、信息交流,揭示规律
同学们猜想:在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即　　　　.?
通过实验后,猜想成立,即有下面的结论:在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即　　　　.?
问题3:正弦定理如何表述?
问题4:观察正弦定理,我们可以解决什么问题?
三、运用规律,解决问题
【例1】在△ABC中,已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形(边长精确到0.1cm).
【例2】在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm).
四、变式训练,深化提高
【例3】已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.
【例4】在△ABC中,c=,A=45°,a=2,求b和B,C.
五、限时训练
(一)选择题
1.在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于(　　)
A.10+ B.10(-1) C.+1 D.10
2.在△ABC中,若,则B的值为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则∠A等于(　　)
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
4.△ABC中,A,B的对边分别为a,b,且A=60°,a=,b=4,那么满足条件的△ABC(　　)
A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定
5.在△ABC中,已知a=x,b=2,B=60°,如果△ABC有两组解,则x的取值范围是(　　)
A.x>2 B.x<2 C.2(二)填空题
6.在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=　　　　.?
7.在△ABC中,a=5,B=135°,C=15°,则此三角形的最大边长为　　　　,外接圆半径为　　　　.?
8.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a=　　　　;b=　　　　.?
(三)解答题
9.在△ABC中,已知AB=10,A=45°,在BC边的长分别为20,,5的情况下,求相应的角C.
10.在△ABC中,b=,B=60°,c=1,求a和A,C.
六、反思小结,观点提炼
通过本节课的研讨,请大家谈谈自己的体会.
(1)在本节课中,学习了哪些知识?
(2)包含了哪些数学思想和数学方法?
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:都含有边长c.
问题2:
二、信息交流,揭示规律
　　
问题3:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
问题4:①已知任意两个角和一边,可以求出另一角和另外两边.②已知两边和其中一边的对角,可以求出另一边和另外两角.
三、运用规律,解决问题
【例1】解:根据三角形内角和定理,
C=180°-(A+B)
=180°-(32.0°+81.8°)
=66.2°
根据正弦定理,
b=≈80.1(cm);
根据正弦定理,
c=≈74.1(cm).
【例2】解:根据正弦定理,
sin B=≈0.8999.
因为0°(1)当B≈64°时,
C=180°-(A+B)≈180°-(40°+64°)=76°,
c=≈30(cm);
(2)当B≈116°时,
C=180°-(A+B)≈180°-(40°+116°)=24°,
c=≈13(cm).
四、变式训练,深化提高
【例3】解:∵c=10,A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.
由,得a==10;
由,
得b==20sin75°=20×=5+5.
【例4】解:∵,∴sin C=.
∵a∴当C=60°时,B=75°,b=+1;
∴当C=120°时,B=15°,b=-1.
∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.
五、限时训练
1.B　2.B　3.D　4.C　5.C
6.1∶∶2
7.5　5
8.12(3-)　12(-2)
9.解:由正弦定理,得sin C=.
(1)当BC=20时,sin C=,∵BC>AB,∴A>C,∴C=30°;
(2)当BC=时,sin C=.
∵AB·sin45°(3)当BC=5时,sin C=2>1,∴C不存在.
10.解:∵,∴sin C=.
∵b>c,B=60°,∴C六、反思小结,观点提炼
略