2019-2020学年必修2第二章训练卷
点、直线、平面之间的位置关系（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，则
C．若，，则
D．若，且，则
2．已知直线是平面的斜线，则内不存在与（ ）
A．相交的直线 B．平行的直线
C．异面的直线 D．垂直的直线
3．平面平面，直线，，那么直线与直线的位置关系一定是（ ）
A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交
4．在长方体中，底面为正方形，下面四条直线中与平面平行的直线是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，的任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面平面
6．空间中有不重合的平面，，和直线，，，则下列四个命题中正确的有（ ）
：若且，则；：若且，则；
：若且，则；：若，且，则．
A．， B．， C．， D．，
7．正四棱柱中，，，则异面直线与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在正四棱柱中，，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．在正三棱锥中，，，则侧棱与底面所成角为（ ）
A． B． C． D．
10．在三棱锥中，，，，，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在棱长为的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①，②与成异面直线且夹角为，③，④与平面所成的角为．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．若直线与平面平行，则该直线与平面内的任一直线的位置关系是__________．
14．设，是两个不重合的平面，，是空间两条不重合的直线，则①若，，则．②若，，则．③若，，则．④若，，则．正确的是__________．
15．将边长为的正方形沿对角线折起，使平面平面，则折起后，两点的距离为__________．
16．如图，在棱长为的正方体中，点是的中点，动点在底面内(不包括边界)，若平面，则的最小值是__________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，是一条半径且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面．
（1）求该圆锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
18．（12分）如图，在四棱柱中，平面，且是边长为的菱形，，若异面直线和所成的角为，试求的长．
19．（12分）在四面体中，，分别是线段，的中点，，分别是线段，上的点，且．求证：
（1）四边形是梯形；
（2），，三条直线相交于同一点．
20．（12分）如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点，与交于点，与交于点，连结．求证：
（1）；
（2）平面平面．
21．（12分）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别在，，上．
（1）若，求证：平面平面；
（2）若满足，则点满足什么条件时，面．
22．（12分）如图，已知四棱锥中，底面为菱形，菱形边长为，，且面，为中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证，并求与平面所成角的大小．
2019-2020学年必修2第二章训练卷
点、直线、平面之间的位置关系（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】D
A，若，，则或与相交，错误；
B，若，且，则与不一定垂直，错误；
C，若，，则与位置关系不定，错误；
D，∵，∴，∵，则，正确．
2．【答案】B
由题意，直线是平面的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线，所以在平面内肯定不存在与直线平行的直线．
3．【答案】D
由题平面平面，直线，，
则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交．
4．【答案】D
如图所示，易知，且，
∴四边形是平行四边形，∴，
又∵平面，平面，∴平面．
5．【答案】B
因为垂直于以为直径的圆所在的平面，所以可得，
又因为直径所对的圆周角为直角，所以有，
从而可以证得平面，从而得到．
6．【答案】D
对于，得出或与相交，故错误；
对于，得出或，相交或，异面，故错误；
对于，得出，故正确；
对于，得出，故正确．
7．【答案】D
当将平移至，连接，
∴是异面直线与所成的角，
则在中，计算得，，
则由余弦定理可得．
8．【答案】A
中，，，
∴的边上的高为，∴，
设点到平面的距离为，则，
又，
∴，解得．
9．【答案】B
连接与底面正的中心，
因为是正三棱锥，所以面，
所以为侧棱与底面所成角，
因为，，所以，
所以．
10．【答案】C
因为，，，所以底面为直角三角形，
又因为，所以在底面的射影为直角三角形的外心，即中点．
设中点为，过作垂直，垂足为，
所以，且，
所以即为二面角的平面角，
因为为三角形的中线，所以可算出，
所以，所以，
即二面角的大小为．
11．【答案】C
在棱长为的正方体中，的中点是，
过点作与截面平行的截面，则该截面是平面，如图所示，
则，则截面的周长为．
12．【答案】B
将平面展开图还原成正方体(如图所示)，
对于①，由图形知与异面垂直，正确；
对于②，与显然成异面直线，连，，则，
所以即为异面直线与所成的角(或其补角)，
在等边中，，所以异面直线与所成的角为，正确；
对于③，与为异面垂直，错误；
对于④，由题意得平面，所以是与平面所成的角，
但在中，不等于，错误．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】平行或异面
由直线与平面平行的定义可得，该直线与此平面无公共点，
所以该直线与平面内的任一直线也无公共点，
所以直线与直线间的位置关系是平行或异面．
14．【答案】①②③
①正确，垂直于同一条直线的两个平面平行．
②正确，垂直于同一平面的两条直线平行．
③正确，因为平面内存在直线，使，若，则，
∵，则．
④不正确，有可能．
15．【答案】
取的中点，连结，，显然，
因为平面平面，所以平面，所以，
而，所以．
16．【答案】
取中点，连结，，，作，连接，
因为面面，
所以动点在底面内的轨迹为线段(不含端点)，
当点与点重合时，取得最小值，
因为，
所以．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）．
（1）设该圆锥的母线长为，底面圆半径为，高为，
由题意，∴，底面圆周长，
∴，∴，
因此，该圆锥的体积．
（2）延长交圆于点，连，，
∴，且，则是所求异面直线所成的平面角，
在中，，，
∴．
则．
18．【答案】．
连接，，
由题意得四棱柱中，，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∴为和所成的角，
∵异面直线和所成的角为，∴，
∵四棱柱中，平面，且四边形是边长为的菱形，
∴平面，且，
∴，∴，∴是等边三角形，∴，
∵底面四边形是菱形且，，
∴，，
∴．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（1）∵，分别是线段，的中点，∴，且，
又∵，∴，且，
因此且，故四边形是梯形．
（2）由（1）知，相交，设，
∵，平面，∴面，同理平面，
又平面平面，∴，
故，的交点在直线上，所以，，三条直线相交于同一点．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（1）在直三棱柱中，，
又平面，平面，所以平面．
又平面，平面平面，所以．
（2）在直三棱柱中，平面，
又平面，故，
又，故，
又因为，平面，平面，
所以平面．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）点是的中点．
（1）∵，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∵平面，平面，∴平面，
又，∴，
∵平面，平面，∴平面，
又，，平面，∴平面平面．
（2）连接交于点，连接，
取的中点，取的中点，连接，，，
则点为中点．
下面证明：当点是的中点时，平面．
∵且为的中点，∴，∴为的中点，
又∵点为中点，∴，
∵平面，面，∴平面，
同理，平面，
∵，，平面，∴平面平面，
∵平面，∴面，
因此，当点是的中点时，面．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，．
（1）连接交于点，连接，
∵四边形为菱形，∴为的中点，
又为中点，∴为的中位线，∴，
又面，面，∴面．
（2）∵面，面，∴，
又与为菱形的对角线，，
而，∴面，
又面，∴，
∵面于点，连，
则为在面上的射影，∴为与面所成角，
∵，菱形边长为，易算得，
又，∴，
在中，，
∴，∴与平面所成角为．
2019-2020学年必修2第二章训练卷
点、直线、平面之间的位置关系（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．两直线与是异面直线，，则、的位置关系是（ ）
A．平行或相交 B．异面或平行
C．异面或相交 D．平行或异面或相交
2．正四面体中，，，，的中点依次记为，，，．
直线与的关系是（ ）
A．相交且垂直 B．异面且垂直
C．相交且不垂直 D．异面且不垂直
3．在正方体中，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
4．若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）
A．内的所有直线与a是异面直线 B．内不存在与a平行的直线
C．内存在唯一一条直线与平平行 D．内的所有直线与a都相交
5．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点
6．在梯形中，，平面，平面，则直线与平面内的直线的位置关系只能是（ ）
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
7．设是给定的平面，，是不在内的任意两点．有下列四个命题：
①在内存在直线与直线异面；②在内存在直线与直线相交；
③存在过直线的平面与垂直；④存在过直线的平面与平行．
其中，一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①④ D．③④
8．下列说法正确的个数（ ）
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②梯形可以确定一个平面；
③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④，且，则在上．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在直棱柱中，，，则异面直线与所成角为（ ）
A． B． C． D．
11．设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则m，n为异面直线
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
12．如图所示，P为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为，为的中点，给出五个结论：①；②平面；③平面；④平面；⑤平面．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．以下说法：
①三条直线两两相交，则他们一定共面；
②存在两两相交的三个平面可以把空间分成9部分；
③如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，一定有平面且平面平面；
④四面体所有的棱长都相等，则它的外接球表面积与内切球表面积之比是9．
其中正确的是______．
14．如图所示，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有_______（填上所有正确答案的序号）．
15．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 ．
16．已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）如图，在平面外，，，，求证：P，Q，R三点共线．
18．（12分）如图，，，，且，都为垂足．
求证：．
19．（12分）已知，，交于点，，，，分别为，的中点．求证：平面．
20．（12分）如图，已知在四棱锥中，底面为正方形，，点为的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）若正方形的边长为4，求点到平面的距离．
21．（12分）如图，四棱锥底面为矩形，，其中，分别为，中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面底面，求证：平面．
22．（12分）如图，在多面体中，已知是边长为2的正方形，为正三角形，且，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
2019-2020学年必修2第二章训练卷
点、直线、平面之间的位置关系（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】C
由题可得，a、c的位置关系可以是异面或相交，故选C．
2．【答案】A
如图，
因为，，故，，
同理，，所以，，
所以四边形为平行四边形，
同理，
由正四面体可以得到，所以，
故四边形为菱形，
所以直线与的关系是相交且垂直，故选A．
3．【答案】A
如图，在正方体中：
，与可以确定平面，
又平面，且两直线不平行，
直线与直线的位置关系是相交，
故选A．
4．【答案】B
直线不平行于平面，且，说明直线与平面一定相交，
A项，因为直线与平面的部分直线相交，即平面内存在直线与共面，故A项错误；
B项，因为直线与平面一定相交，所以平面内不存在与平行的直线，故B项正确；
C项，因为平面内不存在与平行的直线，故C项错误；
D项，因为平面存在部分直线与异面，即平面内存在直线与不相交，故D项错误，
故选B．
5．【答案】C
A．由公理3知：不共线的三个点确定一个平面，故A错；
B．四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B错；
C．在同一平面内，梯形的一组底边平行，平行的两条直线确定一个平面，故C正确；
D．不共线的三个点确定一个唯一一个平面，故D错误，
故选C．
6．【答案】B
∵，平面，平面，
∴平面，∴直线与平面内的直线没有公共点，
直线与平面内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选．
7．【答案】B
由题，对于②，当直线平面时，②不成立；
对于④，当直线平面时，④不成立；
对于①③，根据直线与平面的位置关系，显然成立，故选B．
8．【答案】B
对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故不正确；
对于②，梯形由于有上下两底平行，则梯形是平面图形，故正确；
对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故不正确；
对于④，由公理3得：若，，，则，故正确．
故选B．
9．【答案】A
连接，，
，四边形为平行四边形，，
异面直线与所成角即为与所成角，即，
设，
，，，，
，，，
在中，由余弦定理得：
，
异面直线与所成角的余弦值为，故本题正确选项A．
10．【答案】A
如图延长到，使得，
易知即为所求异面直线所成角，不妨设，
又，可证为等边三角形，
于是所求异面直线所成角为，故选A．
11．【答案】B
对A，若?，?，则，可能平行、相交、异面，故A错误；
对B，若，则垂直平面内所有的直线，
又∥，所以⊥，故B正确；
对C，若∥，∥，则，可能相交，平行，故C错误；
对D，若⊥，?，?，则，可能平行、相交、异面，故D错误，
故选B．
12．【答案】C
矩形的对角线与交于点O，
所以O为的中点，在中，M是的中点，所以是中位线，
故．
又平面，平面，
所以平面，且平面．
因为点M在上，所以与平面、平面相交，所以④⑤错误．
故正确的结论为①②③，共有3个，故选C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】③④
正方体从一个顶点出发的三条棱所在直线相交于同一点，但不共面，①错；
空间直角坐标系的三个坐标平面把空间分成8个部分，这是最多的，②错；
把展开图折成正方体，如图，易得平面且平面平面，③正确；
如图正四面体，是其外接球球心也是内切球球心．
在高上，是外接球半径，是内切球半径，
由，得，
∴，∴，④正确，
故答案为③④．
14．【答案】②④
由题意得，可知①中，直线；
图②中，三点共面，但面，因此直线与异面；
图③中，连接，，因此与，所以直线与共面；
图④中，共面，但面，所以直线与异面．
15．【答案】平行或在这个面内
当一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，
则这条直线与另一平面的位置关系是一定不能相交，是平行或这条直线在这个平面内，
故答案为平行或在平面内．
16．【答案】
连接，
设，易知，∴就是异面直线与所成角，
在中，由于，，可得，
∴．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】证明见解析．
证明：因为，平面ABC，所以平面ABC，，
所以P在平面ABC与平面的交线上，
同理可证，Q和均在这条交线上，所以P，Q，三点共线．
18．【答案】证明见解析．
，，所以，同理，，
又，平面．
又平面，．
19．【答案】证明见解析．
证明：在中，，分别为，的中点，
且，
又，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面．
20．【答案】（1）见解析；（2）．
（1）证明：由，点为的中点，
可知，再已知，且，相交于，
则平面．
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）知平面，
则平面平面，相交于．
作，可知为点到平面的距离，
且．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
证明：（1），分别是，的中点，．
又底面为矩形，，．
又平面，平面，平面．
（2）底面为矩形，．
又平面底面，且平面底面，
且平面，平面．
又平面，．
又，，平面，，
平面．
22．【答案】（1）见解析；（2）．
（1）证明：取的中点，连结，，
∵四边形是边长为2的正方形，为的中点，
∴且，
∵为的中点，且，∴，
又，∴四边形为平行四边形，
∴且，
又平面，平面，∴平面．
（2）∵，，∴，
∵，且，平面，平面，
∴平面，∴为三棱锥的高，
∴．
