2019-2020学年必修2第四章训练卷
圆与方程（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．过点和，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．圆上的点到直线的距离最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．方程表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆
6．若直线（，）平分圆，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．方程表示的曲线为（ ）
A．一个直线和半个圆 B．一条线段和一个圆
C．一条直线和半个椭圆 D．一条线段和半个圆
9．已知，求的最大值（ ）
A． B． C． D．
10．点为曲线上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆关于直线（，）对称，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．曲线与直线有两个不同的交点时，实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知三点，，，那么外接圆的一般方程为 ．
14．已知定点和圆，要使过点的圆的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ．
15．过直线上的点作圆的切线，则切线的最小值为 ．
16．在圆上总有四个点到直线的距离是，则实数的取值范围是 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）分别根据下列条件，求圆的方程：
（1）过两点，，求圆的方程；
（2）半径为，且与直线相切于点．
18．（12分）已知圆过、两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程．
19．（12分）已知圆经过点，，且它的圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程；
（3）若点为圆上任意一点，且点，求线段的中点的轨迹方程．
20．（12分）已知圆的圆心在轴正半轴，半径为，且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）设点，过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程；
（3）设是直线上的点，过点作圆的切线，，切点为，．求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
21．（12分）已知圆．
（1）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）求动直线经过的定点坐标；
（3）当为何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长．
22．（12分）已知一个圆与直线相切，圆心在直线上且位于第一象限，该圆被轴截得的弦长为．
（1）求该圆的方程；
（2）当取何值，直线被此圆截得的弦最短，并求出最短弦的长．
2019-2020学年必修2第四章训练卷
圆与方程（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】D
方程表示圆，
∴，∴，
∴，∴．故选D．
2．【答案】D
圆的圆心，
它到直线的距离．故选D．
3．【答案】A
设所求圆的方程为，
则点和在圆上，
∴，① ，②
又圆心在直线上，∴，③
由①②③组成方程组，解得，，，
∴圆的方程是，化为标准方程是，故选A．
4．【答案】A
圆，可化为，
即圆心为，半径为．
圆心到直线的距离为，即直线和圆相离，
即圆上的点到直线的距离的最大值为．
故选A．
5．【答案】D
∵方程等价于，
∴表示的曲线是半个圆，故选D．
6．【答案】C
圆的圆心坐标，
直线（，）平分圆，可得，
则．
当且仅当，并且，即时取等号．故选C．
7．【答案】A
圆可化为，则圆心，半径为，
设其圆心关于直线对称的圆的圆心的坐标为，
则，解得，，
∴圆关于直线对称的圆的方程为．
故答案为．
8．【答案】D
由方程，得或，
∴方程表示一条线段和半个圆，故选D．
9．【答案】B
∵，∴，
令，，则，
令，则表示直线与圆有公共点，
则，解得．
取时，原式取得最大值为，故选B．
10．【答案】B
曲线表示以为圆心，为半径的上半圆，
在点处，的最小值为，故选B．
11．【答案】A
把圆的方程化为标准方程得，
∴圆心坐标为，半径，
根据题意可知：圆心在已知直线上，把圆心坐标代入直线方程可得：，即，
则设，∴当时，有最大值，最大值为，
即的最大值为，则的取值范围是，故选A．
12．【答案】A
化简曲线，得，
∴曲线表示以为圆心，半径的圆的上半圆．
∵直线可化为，
∴直线经过定点且斜率为，
又∵半圆与直线有两个相异的交点，
当直线的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由点到直线的距离公式，
当直线与半圆相切时满足，解得，即，
又∵直线的斜率，∴直线的斜率的范围为．
故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
设圆的一般方程为，
外接圆过、、三点，所以，
解得，，，
所以圆的一般方程为，故答案为．
14．【答案】
因为圆的标准方程为，所以，
因为过点的圆心的切线有且仅有两条，所以在圆外，
所以，解得，
综合得，故答案为．
15．【答案】
因为圆可化为，
圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
因为切线长最小时，圆心到直线的距离所在的直线与直线的交点向圆引切线，
故切线长的最小值为，故答案为．
16．【答案】
圆可化为，圆心，半径为，
因为圆上总有四个点到直线的距离是，
所以，解得．
故答案为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）或．
（1）由于圆心在直线上，
可设圆心坐标为，再根据圆过两点，，
可得，解得，
可得圆心为，半径为，
故所求的圆的方程为．
（2）设圆心坐标为，则，∴，或，，∴圆的方程为或．
18．【答案】（1）；（2）或．
（1）方法一：设圆的方程方程为，
依题意有，解得，
故所求圆的方程为．
方法二：易求的中点为，直线的斜率为，
∴的中垂线方程为，
又圆心在直线上，联立方程，可得圆心，
∴圆的半径为，
∴所求圆的方程为．
（2）如图所示，，设是线段的中点，则，∴，．
在中由勾股定理可得，可得．
当直线的斜率不存在时，满足题意，此时方程为；
当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，即．
∴点到直线的距离为，得，
此时直线的方程为，
∴所求直线的方程为或．
19．【答案】（1）；（2）；（3）．
（1）由已知可设圆心，
又由已知得，从而有，
解得．
于是圆的圆心为，半径．
所以，圆的方程为．
（2）设关于直线对称点的坐标为，
则，∴，，
∴圆关于直线对称的圆的方程为．
（3）设，，则由及为线段的中点得，
又点在圆上，所以由，
化简得，
故所求的轨迹方程为．
20．【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析，所有定点的坐标为，．
（1）设圆心，则由直线和圆相切的条件：，
可得，解得，即有圆的方程为．
（2）若直线的斜率不存在，即，代入圆的方程可得，即有，成立；
若直线的斜率存在，可设直线，即为，
圆到直线的距离为，
由，即有，即有，即，解得，
则直线的方程为，所以的方程为或．
（3）证明：由于是直线上的点，
设，由切线的性质可得，经过，，的三点的圆，
即为以为直径的圆，则方程为，
整理可得，
可令，且，解得，或，．
则有经过，，三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，．
21．【答案】（1）或；（2）；（3），最短弦长为．
由题可得圆的圆心，半径．
（1）设点到直线距离为，圆的弦长公式，得，解得，
①当斜率不存在时，直线方程为，满足题意；
②当斜率存在时，设直线方程为，
则，解得．
所以直线的方程为，
综上，直线方程为或．
（2）动直线可以化成，可知过定点．
（3）由直线过定点，当时，弦长最短，
又由，可得，此时最短弦长为．
22．【答案】（1）；（2），最短弦为．
（1）因为圆心在上，所以设圆心坐标为，且，
根据圆与相切得到半径为，
所以，圆的方程为．
因为截轴弦长为，所以圆心到轴的距离为．
由勾股定理得，得或，
因为圆心在第一象限，所以，即圆心坐标为，，
所以，圆的方程为．
（2）由直线，
可化为，可得直线过定点，
当时，可得，此时最短弦长为．
2019-2020学年必修2第四章训练卷
圆与方程（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆心为，半径为2的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
4．已知空间两点，，则，间的距离是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．圆上总存在两个不同点关于直线对称，则实数等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．已知圆与圆关于直线对称，
则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．过圆上一点作切线，直线与切线平行，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
8．若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．直线过点且与圆交于，两点，若，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．已知，分别是圆与圆上的两个动点，点是直线上的任意一点，
则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．4
11．对圆上任意一点，若点到直线和的距离和都与，无关，则的取值区间为（ ）
A． B． C． D．
12．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比（），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知方程（为实数）表示圆，则 ．
14．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则实数 ．
15．已知圆，圆，则圆与圆的公切线有 条．
16．已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知圆及圆．求两圆的公共弦所在的直线方程，并求出以两圆的公共弦为直径的圆的标准方程．
18．（12分）根据下列条件，求圆的方程：
（1）经过，两点，并且在轴上截得的弦长等于6；
（2）圆心在直线上，且与直线相切于点．
19．（12分）已知圆的方程为，求：
（1）斜率为3且与圆相切直线的方程；
（2）过定点且圆相切的直线的方程．
20．（12分）如图所示，正方体的棱长为．
（1）求关于平面对称的点的坐标；
（2）求关于轴对称的点的坐标；
（3）求关于原点对称的点的坐标．
21．（12分）已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
（1）求顶点和的坐标；
（2）求外接圆的一般方程．
22．（12分）已知圆与圆．
（1）若圆与圆外切，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若直线与圆的相交弦长为且过点，求直线的方程．
2019-2020学年必修2第四章训练卷
圆与方程（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】A
圆的方程为，即．
2．【答案】A
，
则其圆心为．
3．【答案】C
根据题意，，圆心为，半径，
，其圆心为，半径，
两圆的圆心距，则两圆相交．
4．【答案】C
．
5．【答案】C
∵圆上两点关于直线对称，
∴直线过圆心，
，即，，
6．【答案】B
，圆心，
，圆心，
圆与圆关于直线对称，为的垂直平分线，
又由，，则，则，
的中点坐标为，
则直线的方程为，即．
7．【答案】C
根据题意，圆的圆心为，
则，
若过圆上一点作切线，则切线的斜率，
又由直线即与切线平行，则有．
8．【答案】C
直线与圆相离，则圆心到直线的距离，
∴且，解得．
9．【答案】D
由题意圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，即，代入圆的方程可得，解得，
∴弦长，符合条件，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∴圆心到直线的距离，
由题意知，解得，
∴这时直线方程为，即．
10．【答案】D
圆关于直线对称的曲线，
点关于直线对称的点在圆上，则有，
故，显然当，，三点共线时，距离和最小，
从而转化为求，两点距离的最小值，显然．
11．【答案】A
设，
可以看作点到直线与直线距离之和的5倍，
∵的取值与，无关，
∴这个距离之和与点在圆上的位置无关，
如图所示，可知直线平移时，点与直线，的距离之和均为，的距离，即此时圆在两直线内部，
当直线的与圆相切时，或（舍去），∴．
12．【答案】C
∵，由题意可得圆是关于，的阿波罗尼斯圆，且，
设点的坐标为，则，
整理得，
由已知该圆的方程为，则，解得，
∴点的坐标为，
∴，
由图象可知，当点位于或时取得最小值，且最小值为．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
若方程表示圆，则必有，得或，
当时，方程为，表示圆，满足条件；
当时，，不表示圆，不满足条件，
故．
14．【答案】
∵圆的半径为3，∴要使圆上恰有3个点到直线的距离为1，
则圆心到直线的距离，解得．
15．【答案】3
，圆心，半径，
，圆心，半径，
两圆的圆心距，
两圆外切，则圆与圆的公切线有3条．
16．【答案】3
，则圆心为，半径为1．
圆心到直线的距离，
∴直线与圆相离，如图：
由图可知，的最小值为3．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】．
联立圆及圆，则有，
变形可得，两圆的公共弦所在的直线为；
又由圆，圆心，半径，
圆心在直线上，
故以两圆的公共弦为直径的圆即圆，其标准方程为．
18．【答案】（1）或；（2）．
（1）∵线段的垂直平分线为，∴设圆心的坐标为，
半径，
圆心到轴的距离为，
由题意得，
即或，
当时，圆的方程为；
当时，圆的方程为．
综上得，所求的圆的方程为或．
（2）设圆的方程为（），
由题意有．
∴所求圆的方程为．
19．【答案】（1）或；（2）或．
（1）圆的方程为，
设斜率为3且与圆相切的直线方程为，
则圆心到该直线的距离为，解得，
∴或．
（2）设过定点且与圆相切的直线方程为，
即，
则圆心到该直线的距离为，
∴切线方程为，即；
又当斜率不存在时，直线也是圆的切线，
综上，所求圆的切线为或．
20．【答案】（1）；（2）；（3）．
（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
∵正方体的棱长为，∴，
∴关于平面对称的点的坐标为．
（2）关于轴对称的点的坐标为．
（3）关于原点对称的点的坐标为．
21．【答案】（1），；（2）．
（1）由可得顶点，
又因为，得，
所以设的方程为，将代入得，
由可得顶点为，
所以和的坐标分别为和．
（2）设的外接圆方程为，
将，和三点的坐标分别代入得，
所以的外接圆的一般方程为．
22．【答案】（1）5；（2）或．
（1）圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
∵圆与圆外切，∴，
∴，解得．
（2）由（1）得，圆的方程为，则，，
由题意可得圆心到直线的距离，
当直线无斜率时：直线方程为，符合题意；
当直线斜率为时，则直线方程为，
化为一般形式为，
则圆心到直线的距离，
解得，得直线方程为．
综上，直线方程为或．
