2019-2020学年必修4第一章训练卷
三角函数（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知角是的一个内角，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的图象过点，
若要得到一个偶函数的图象，则需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．已知函数，，的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增
D．函数的图象关于点对称
6．已知函数，在上单调，且．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数是偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当时，函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其中，，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
9．已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
10．函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，为图象的对称轴，为的零点，且在区间上单调，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．5
12．已知时，有唯一解，则满足条件的的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知，求的值 ．
14．已知，则函数的最大值与最小值的和等于 ．
15．已知函数的最小正周期为，若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．函数，函数
，若对所有的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知角的终边过点．
（1）求的值；
（2）若为第三象限角，且，求的值．
18．（12分）已知．
（1）化简，并求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，，求的值．
19．（12分）图象上相邻两个最高点的距离为．
（1）若的图象过，且部分图象如图所示，求函数的解析式；
（2）若函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最大值与最小值．
20．（12分）已知函数，，的部分图象如图，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为原点，且点坐标为，，
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，
当时，求函数的最值．
21．（12分）函数，，的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上有四个不同零点，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数，的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，若角满足，求的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与的值．
2019-2020学年必修4第一章训练卷
三角函数（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
，作出角的三角函数线，
由图象知，即，故选B．
2．【答案】B
由题意知，，
分子和分母同除以，得，解得，
，
故选B．
3．【答案】D
角是的一个内角，①，
，，，
为钝角，，
，②，
联立①②得：，，．
故选D．
4．【答案】B
函数，
由已知，可知，，解得，．
又因为，所以，，所以．
令，，得，，
所以函数时，对称轴为直线，当时，对称轴为直线．
要得到一个偶函数的图象，可将的图象向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．
故选B．
5．【答案】C
由图象知，即，
由图象知函数的周期满足，即，故A错误，
，，
由图象知图象向左平移超过了，即，即，
则，
由五点对应法得，得，
即，
则是奇函数，故B错误，
若，则，此时为增函数，故C正确，
若函数关于点对称，则，即，
如函数的周期矛盾，故D错误，
故选C．
6．【答案】C
，
在上，，单调，，．
，，，
，．
综上，．
将函数的图象向左平移个单位长度后，可得的图象，
再根据为偶函数，，，
当时，取得最小值为，
故选C．
7．【答案】D
由，得，
即，即，
则，，
当时，；当时，，
相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，
，
即，则，
当时，函数的图象恒在轴的上方，即此时，恒成立，
由，得，，
得，
则，得，得，
当时，得，得，
则的取值范围是，故选D．
8．【答案】C
由题意知函数，，
为图象的对称轴，为的零点，
，，．
在区间上有最小值无最大值，
周期，即，．
要求的最大值，结合选项，先检验，
当时，由题意可得，，
函数为，在区间上，，此时在时取得最小值，
∴满足题意，则的最大值为15，故选C．
9．【答案】B
，，
．
则满足上述条件的的最大范围是，
即，，排除C，D．
则满足上述条件的的最小范围是，
即，．排除A，
故的值可能是．
故选B．
10．【答案】D
当对称轴不在上时，函数在上单调，不妨设函数在上单调递增，
设函数在区间上的最大值与最小值之差为，
则
，
当对称轴在区间上时，不妨设对称轴上取得最大值1，则函数的最小值为或，
显然当对称轴经过区间中点时，有最小值，
不妨设，，则，，
，
的最小值为，
综上，函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是，
故选D．
11．【答案】C
函数，为图象的对称轴，为的零点，
在区间上单调，周期，即，．
为图象的对称轴，为的零点，，，．
当时，由题意可得，，
函数为，
在区间上，，在区间上不单调，．
当时，由题意可得，，
函数为，
在区间上，，在区间上单调，满足条件，
则的最大值为9，
故选C．
12．【答案】D
，有唯一解，
所以，即，解得，
所以，
因为有唯一解，所以或者或者，
①当时，，即，
又因为，所以或；
②当时，，不满足题意，
③当时，，即，
所以或或或，
综上的值为，，2，3，4，5共有6个满足题意，
故选D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
，，
故答案为．
14．【答案】
，作出三个函数在一个周期内的图象如图：
则对应的图象为三个图象中最上面的部分．
则由图象可知当时，函数取得最大值1，
当时，函数取得最小值，
故最大值和最小值之和为，故答案为．
15．【答案】
函数的最小正周期为，
，函数．
若，则，，
，，
则不等式恒成立．
令，则．
①，
且②，
解①求得，解②求得．
综合可得，实数的取值范围是，故答案为．
16．【答案】
，
当，，，．
对于，，，．
由于对所有的总存在，使得成立，
可得，
故有，，解得实数的取值范围是．
故答案为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）．
（1）因为角的终边过点，
所以，，，
所以．
（2）因为为第三象限角，且，所以，．
由（1）知，，
所以．
18．【答案】（1）；（2）；（3）．
（1），
．
（2），．
（3），，
，可得，，
．
19．【答案】（1）；（2），．
由题意得，，所以，．
（1）由于，则，
又，则，或（舍去），故．
（2）由于是偶函数，则，
又，所以，，
将的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
故．
因为，，
所以，．
20．【答案】（1）；（2）时，取得最小值；时，取得最大值．
（1）点坐标为，，，，
则，则．
由，，得，
即，得．
（2）将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，
则，
所以
，
，，
当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值．
21．【答案】（1）；（2）．
（1）根据的部分图象知，，，
，，
由“五点法画图”知，，解得，
函数．
（2），
函数，
在区间上有四个不同零点，
设，由，得，即，
，
令，则在上有两个不等的实数根，
令，则由，解得，
实数的取值范围是．
22．【答案】（1）；（2）；（3），．
（1）依题意，，，，
即，
所以．
（2），所以，
，，，即，
，
因为，所以，所以，
，
所以，所以．
（3）依题意，将函数的图象向右平移个单位，
得，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到，
，
所以，
当时，，则在内的零点个数为偶数个，
在内恰有2021个零点，为奇数个零点，故，
所以当时，，
而，故，即，且为奇数．
①若，则，解得，不是整数，舍去；
②若，则，解得．
综上，．
2019-2020学年必修4第一章训练卷
三角函数（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
2．若扇形的面积为、半径为，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知扇形的面积为，周长为，则弦的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．设，角的终边经过点，那么（ ）
A． B． C． D．
6．若，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
8．（ ）
A． B． C． D．
9．函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
10．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
12．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．计算 ．
14．若，且是第二象限的角，则 ．
15．函数的定义域是 ．
16．已知函数（，）的部分图象如图所示，
则函数的解析式为 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知角的终边上有一点，且，求，的值．
18．（12分）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为．
（1）若，，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积．
19．（12分）已知角终边上一点，求的值．
20．（12分）已知函数，（其中，，）的一段图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的取值范围．
21．（12分）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值．
22．（12分）已知函数（，）最小正周期为，图象过点．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）求函数的单调递增区间．
2019-2020学年必修4第一章训练卷
三角函数（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】C
由题意，设扇形所在圆的半径为，则扇形的弧长为，
所以，解得，
所以扇形的弧长为，故选C．
2．【答案】B
设扇形的圆心角为，∵扇形的面积为，半径为，
∴，∴，故选B．
3．【答案】C
画出扇形如下图所示，
过作，交于，交于，则．
设圆心角，半径，
依题意，解得，．
在中，，所以．
故选C．
4．【答案】C
∵，∴角与角的终边相同．
又∵角是第三象限角，∴，，
∴点在第三象限．
故选C．
5．【答案】A
依题意有，所以，，
所以，故选A．
6．【答案】A
∵，∴，∴，
故选A．
7．【答案】C
因为，所以其最小正周期为，故选C．
8．【答案】C
由三角函数的诱导公式可知：，故选C．
9．【答案】B
∵的对称轴，由，得，
∴当时，即为其一条对称轴的方程，故选B．
10．【答案】B
∵，
∴要得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位．故选B．
11．【答案】D
由图可知，，∴，
又，∴，∴，
又，∴．
12．【答案】D
，
因此要把图象向右平移个单位，故选D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
．
14．【答案】
∵，且是第二象限的角，∴，
则，故答案为．
15．【答案】
由的定义域为，
令，则，则定义域为，
故答案为．
16．【答案】
由图可知，，，∴．
由五点作图的第二点知，，即，
∴．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】，或，．
∵，，∴．
又，∴，∴．
又，∴是第一或第二象限角．
当时，为第一象限角，，；
当时，为第二象限角，，．
18．【答案】（1）；（2），．
（1）∵，，∴．
（2）设扇形的弧长为，则，即（），
扇形的面积，
所以当且仅当时，有最大值，此时，
∴．
19．【答案】．
∵，由三角函数的定义可得，
∴．
20．【答案】（1）；（2）．
（1）由图象知，，
又，，所以，得，
所以，将点代入，得，
即，
又，所以，所以．
（2）当时，，所以，
所以．
21．【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；
（2）函数在区间上的最大值为，此时；最小值为，
此时．
（1）∵，所以，该函数的最小正周期为．
解不等式，得．
因此，函数最小正周期为，单调递增区间为．
（2）∵，∴．
当时，即当时，函数取得最大值，即；
当时，即当时，函数取得最小值，
即．
22．【答案】（1）；（2）．
（1）由已知得，解得．
将点代入解析式，得，可知，
由，可知，于是．
令，解得，
于是函数图象的对称中心为．
（2）令，
解得，
于是函数的单调递增区间为．
