2019-2020学年必修4第二章训练卷
平面向量（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中，正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量与不共线，则与都是非零向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．分析下列四个命题并给出判断，其中正确的命题个数是（ ）
①若，则；②若，则；③若，则；④若，
则．
A． B． C． D．
3．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若，是不平行的两个向量，，，其中，，则A、B、C三点共线的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知中，，，，为边上的中点，
则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知中，为的中点，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知为内部一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知是所在平面内一点，且满足，
则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
10．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边
上任意一点，恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知向量，满足，与的夹角为，若对一切实数，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______．
14．设，，，则_________时，点，，共线．
15．已知平面向量，满足且，，则向量与的夹
角为_____．
16．如图，在中，为上不同于的任意一点，点满足，若，则的最小值为________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）设，，，为平面内的四点，且，，．
（1）若，求点的坐标及；
（2）设向量，，若与平行，求实数的值．
18．（12分）如图，在中，已知，，，为线段中点，为线段中点．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．（12分）如图所示，在中，，，与相交于点，的延长线与边交于点．
（1）用和分别表示和；
（2）如果，求实数和的值；
（3）确定点在边上的位置．
20．（12分）已知平面上三个向量，，，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且，求与夹角的余弦值．
21．（12分）已知，分别在的边和上，且，，设，．
（1）若为线段的中点，用，，表示；
（2）设与交于点，求的值．
22．（12分）在中，，，，点为所在平面上一点，满足，（且）．
（1）试用，表示；
（2）若点为的外心，求的值；
（3）若点在的角平分线上，当时，求的取值范围．
2019-2020学年必修4第二章训练卷
平面向量（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；
对于②，零向量的模为0，故②错误；
对于③，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量，故③正确；
④显然正确，
故选B．
2．【答案】B
对于①，当两个向量平行时，大小和方向可能不相等，即两个向量不一定相等，故①错误；
对于②，两个向量模相等，方向不一定相同，故②错误；
对于③，两个向量模相等，不一定共线，也可能垂直或者其它的情况，故③错误；
对于④，如果两个向量相等，则大小和方向都相同，故④命题正确，
综上所述，共有个命题为真命题，故选B．
3．【答案】A
根据向量的运算法则，可得
，
所以，
故选A．
4．【答案】C
A、B、C三点共线，共线，存在使，
，，整理得．
5．【答案】C
由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，为斜边上的中线，
所以，．
6．【答案】C
因为
，
所以，，故．
7．【答案】D
如图，取边中点，则，
所以，
∴，，∴，
又，所以．
8．【答案】B
因为向量，，，且，，
所以，解得，即，，
所以，因此．
9．【答案】B
因为，，
因为，所以，
因为，所以，
由此可得以，为邻边的平行四边形为矩形，
所以，得的形状是直角三角形．
10．【答案】A
依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，
由，，，，
，，，，
因为点在线段的延长线上，设，，
，，解得，
，
，，所在直线的方程为，
因为点在边所在直线上，故设，
，，
，
当时，．
11．【答案】D
如图所示：以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系．
设，则，，
设，，
，即，
恒成立，恒成立，
故，即在的垂直平分线上，．
12．【答案】C
因为，与的夹角为，所以．
把两边平方，整理可得，
所以，
即，即．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
由于与的夹角为钝角，则且与不共线，
，，，解得且，
因此，实数的取值范围是，故答案为．
14．【答案】
，，，
，，
又与共线，，
即，解得，
当时，点，，共线．
15．【答案】
设向量与的夹角为，，
由，可得，
代入数据可得，解之可得，
故可得．
16．【答案】
根据题意，可知，从而可求得，
根据，，三点共线，可得，即，
所以，
故其最小值为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1），；（2）．
（1）设，则，，
由，得，解得，，
，即．
（2）由题意得，，
，，
由，得，所以．
18．【答案】（1）；（2）．
（1）由题意得，，
，
，，
．
（2），
，
．
19．【答案】：（1），；（2）；
（3）点为靠近点的的三等分点．
（1），．
（2）由（1）知：，
，
，，解得．
（3）设，，由（2）知：，
，
又，
，，解得，
，即，
点为靠近点的的三等分点．
20．【答案】（1）或；（2）．
（1），设，，则，
即，得，得．
当时，；当时，．
（2），，
即，即，得，
设与的夹角为，则．
21．【答案】（1）；（2）1．
（1），
又∵，．
（2）∵，∴，，
，，三点共线，所以使得①，
∵，∴，
又，
∵，，三点共线，所以实数，使得，且，
即，②
综合①②，得，
又，解得，∴．
22．【答案】（1）；（2），；
（3）．
（1）因为，所以，
化简后可得，
即．
（2）如图，设、的中点为，，连接，，则，．
又，同理，
所以，
即，
同理，整理得到，解得．
（3）如图，为的平分线，则．
设，．
故，
因，不共线，故，所以，
因为，故．
又，
故，所以．
故的取值范围为．
2019-2020学年必修4第二章训练卷
平面向量（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四式不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．
4．在中，点是的中点，已知，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，点D在BC边上，且，，则
的值是（ ）
A． B． C． D．0
6．已知，，点在线段NM的中垂线上，则x等于（ ）
A． B． C． D．－3
7．已知，，为平面上不共线的三点，若向量，，
且，则等于（ ）
A． B． C． D．或
8．已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）
A． B． C． D．
9．设，，是两两不共线的向量，下列命题中不正确的是（ ）
A．
B．一定存在实数，，使得
C．若，则必有且
D．
10．若向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
11．若是边长为1的等边三角形，向量，，，
有下列命题：
①；②与垂直；③与夹角为；④．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．已知为原点，点、的坐标分别为、，其中常数，点在线段上，且=()，则的最大值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知两个非零向量，不共线，若，，，且A、B、D三点共线，则等于 ．
14．已知，，且，则实数 ．
15．已知平面上三点A、B、C满足，，，
则 ， ．
16．定义一种新运算：，其中为与的夹角，已知，，则 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知平面直角坐标系中，点为原点，，．
（1）求的坐标；
（2）若，求；
（3）求．
18．（12分）已知三个顶点的坐标分别为、、，若是边上的高，求向量的坐标．
19．（12分）已知，．
（1）若，求；
（2）若与垂直，求与的夹角．
20．（12分）已知点，，及，试问：
（1）当为何值时，在轴上?在第三象限?
（2）四边形是否能成为平行四边形?若能，则求出的值；若不能，说明理由．
21．（12分）已知为的外心，以线段、为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为.
（1）若，，，，试用、、表示；
（2）证明：．
22．（12分）已知，，，．
（1）若，且，求的值；
（2）是否存在实数和，使？若存在，求出的取值范围；
若不存在，请说明理由．
2019-2020学年必修4第二章训练卷
平面向量（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】C
，不能化简为，其它三个是可以的．
2．【答案】D
原式．
3．【答案】C
，，则，
则锐角等于．
4．【答案】B
点是的中点，则．
5．【答案】D
，则，则，．
6．【答案】A
线段NM的中点为，则，，
则，则．
7．【答案】B
，而，则．
8．【答案】C
，则．
9．【答案】D
向量与共线，向量与共线，
则向量与向量不一定是共线的，则是错误的．
10．【答案】C
，则，
则，得，则．
11．【答案】B
观察图形，则与夹角为，则①③错误，易知④也是错的，
而，则，即，，与垂直．
12．【答案】A
可设，则，，
由=，得，则，
而，则的最大值为．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】2
，A、B、D三点共线，则，
得，则，，则．
14．【答案】0
已知化为，则，
而，，解得．
15．【答案】，
知为直角三角形，，则，
．
16．【答案】
由，则，则，
则，则．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）；（3）．
（1）．
（2），则．
（3）．
18．【答案】．
设，则，，
，∴……①，
，
，∴……②，
联立①②，解得，所以．
19．【答案】（1）或；（2）．
（1）当、的夹角为时，，
当、的夹角为时，．
（2）与垂直，则，则，
∴，∴，即为所求的夹角．
20．【答案】（1）、；（2）四边形不可能是平行四边形．
（1），则，
若在轴上，则，所以；
若在第三象限，则，所以．
（2）因为，，
若是平行四边形，则，所以，此方程组无解，
故四边形不可能是平行四边形．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
（1）由平行四边形法则可得：，
即．
（2）是的外心，∴，即，
而，，
∴，∴．
22．【答案】（1）；（2）存在，使．
（1），
∵，∴，∴，，
，∴．
（2），，
若，则，
即，
则，，
，，，则，
则存在，使．
