2019-2020学年选修1-2第二章训练卷
推理与证明（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”，上述推理的（ ）
A．推理形式不正确 B．结论正确
C．小前提错误 D．大前提错误
2．以下说法中正确个数是（ ）
①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；
②欲证不等式成立，只需证；
③用数学归纳法证明（，，在验证成立时，左边所得项为；
④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误．
A． B． C． D．
3．用数学归纳法证明“，”，则当时，应当在时，对应的等式的两边加上（ ）
A． B．
C． D．
4．下列推理过程不是演绎推理的是（ ）
①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除；
②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方；
③在数列中，，，由此归纳出的通项公式；
④由“三角形内角和为”得到结论：直角三角形内角和为．
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
5．在等差数列中，如果，，，，且，那么必有，类比该结论，在等比数列中，如果，，，，且，那么必有（ ）
A． B．
C． D．
6．用反证法证明“，，中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（ ）
A．假设，，都大于0 B．假设，，中都不大于0
C．假设，，中都小于0 D．假设，，至多有一个大于0
7．法国数学家费马观察到，，，都是质数，于是他提出猜想：任何形如的数都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明（ ）
A．归纳推理，结果一定不正确 B．归纳推理，结果不一定正确
C．类比推理，结果一定不正确 D．类比推理，结果不一定正确
8．对于个黑球和个白球的任意排列（从左到右排成一行），则一定（ ）
A．存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
B．存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多
C．存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
D．存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个
9．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”，根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即（ ）
A．2018×2013 B．2018×2015
C．1011×2013 D．1011×2015
10．已知（），则当时，等于（ ）
A． B．
C． D．
11．若大前提是：任何实数的绝对值都大于，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推理出错在（ ）
A．大前提 B．小前提 C．推理过程 D．没有出错
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．有一个数阵排列如下：
12345678．．．．．．
2468101214．．．．．．
48121620．．．．．．
8162432．．．．．．
16324864．．．．．．
326496．．．．．．
64．．．．．．．
则第10行从左至右第10个数字为________．
14．下列表述中：
（1）若复数，满足，则；
（2）“，，，”类比推出
“，若，则，”；
（3）当，，则；
（4）线性回归方程中，当变量x平均增加一个单位时，平均增加个单位．其中一定正确的语句是 ．（填序号）
15．已知等式；，请写出一个具有一般性的等式使你写出的等式包含了已知等式，这个等式为 ．
16．已知，观察下列不等式：①，②③，…，则第个不等式为 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知，为正实数．
（1）求证：；
（2）如果一个直角三角形的两条直角边分别为，，且它的周长为．
①求证：斜边；
②求直角三角形面积的最大值．
18．（12分）已知数列满足，．
（1）求证；
（2）比较，的大小，并证明；
（3）是否存在使得，证明你的结论．
19．（12分）已知正项数列满足，前项和满足，
（1）求，，的值；
（2）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
20．（12分）已知的三边长都是有理数，求证：
（1）是有理数；
（2）对任意正整数，和是有理数．
21．（12分）从三角形内部任意一点向各边引垂线，其长度分别为，，，且相应各边上的高分别为，，，求证：=1．类比以上性质，给出空间四面体的一个猜想，并给出证明．
22．（12分）将正整数排成如图的三角形数阵，记第行的个数之和为．
（1）设，计算，，的值，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想．
2019-2020学年选修1-2第二章训练卷
推理与证明（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】D
指数函数的单调性与有关，，为增函数；，为减函数，故选D．
2．【答案】B
命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”，①错；
欲证不等式成立，因为，故只需证，②错；
（，，当时，左边所得项为，③正确；
命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，小前提使用错误，④正确，
综上所述：①②错，③④正确，故选B．
3．【答案】A
当时，等式左端；
当时，等式左端，增加了项，
故选A．
4．【答案】C
①，④，具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理；
②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方形的体积为棱长的立方，属于类比推理；③在数列中，，，由此归纳出的通项公式，属于归纳推理，
所以，不是演绎推理的是②③，故选C．
5．【答案】D
由题意，类比上述性质：在等比数列中，则由“如果，，，，且”，则必有“”成立，故选D．
6．【答案】B
由于命题：“，，中至少有一个大于0”的反面是：“，，中都不大于0”，故用反证法证明“，，中至少有一个大于0”，
下列假设正确的是“假设，，中都不大于0”．本题选择B选项．
7．【答案】B
由于费马猜想是由几个数值，根据几个数值的特点得到的结论，是由特殊到一般的推理过程，所以属于归纳推理．
由于得出结论的过程没有给出推理证明，所以归纳推理的结果不一定正确，故选B．
8．【答案】B
为奇数，为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多．
使用排除法：当100个黑球都排在右侧时，每一个白球右侧都有100个黑球，
最左侧的白球的右侧的白球最多且有98个白球，
所以不存在这样的白球使得它右侧的白球和黑球一样多，A不对；
也不存在这样的白球使得它右侧的白球比黑球少一个，C不对；
当最右侧排1个黑球，其余黑球在最左侧时，不存在这样的黑球使得它右侧的白球比黑球少一个，D不对，
99为奇数，100为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多．
故选B．
9．【答案】D
由已知可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：
时，；
时，；
由此可以推断：
，
．
故选D．
10．【答案】D
，
，
所以=，故选择D．
11．【答案】A
根据实数的性质可知，，所以任何实数的绝对值都大于是错误的，所以推理中的大前提是错误的，故选A．
12．【答案】B
“至多有一个”指的是“没有或有一个”，其反面应是“至少有两个”，
所以第一步要假设“三角形中至少有两个直角或钝角”，故选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】5120
由数表可发现规律：第行第一个数为，
第行组成以为首项，以为公差的等差数列，
所以第行第1个数字为，
则第行第个数字为，故答案为．
14．【答案】（2）（4）
对于（1）：令，，，，，而，无法比较大小，故（1）错误；
对于（2）：根据合情推理的知识可知语句正确，故（2）正确；
对于（3）：，时，左边为，右边为，不等式不成立，
故（3）错误；
对于（4）：根据回归直线方程的知识可知，增加一个单位，增加个单位，故（4）正确，
综上所述，正确的为（2）和（4）．
15．【答案】
仔细观察题中所给两个等式中角的关系，第一个等式中，有，同样第二个中有，
所以可以写出一般性等式，
证明如下：
．
16．【答案】
∵①，②，③，
∴猜想第n个不等式为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②．
（1），为正实数，不等式等价于，由，所以，当时取“=”．
（2）①直角三角形的两条直角边分别为，，则斜边，
其周长为，
由（1）的结论，，
所以，∴斜边．
②由①斜边，得，
面积为，当时取“=”，
所以直角三角形面积的最大值为．
18．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）不存在，详见解析．
（1）当时，用数学归纳法证明．
①当n＝1时不等式成立；
②假设当n＝k时不等式成立，即，则，
因为，所以，即当n＝k＋1时不等式仍成立．
根据①和②，对任何，都有．
（2）因为，由于，所以，所以．
（3）不存在．
假设存在使题设成立的正整数m，则，
即，
所以，即，这不可能，
故不存在，使得．
19．【答案】（1），，；（2），证明见解析．
（1）当时，，，解得，
当时，，，，
当时，，．
（2）猜想得，
下面用数学归纳法证明：
①，时，，，满足；
②假设时，结论成立，即，则时，，
，
将代入化简得，，
故时结论成立．
综合①②可知，．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数．
（2）用数学归纳法证明和都是有理数．
①当时，由（1）知是有理数，
从而有也是有理数．
②假设当时，和都是有理数．
当时，由，
，
由①和归纳假设，知和都是有理数．
即当时，结论成立．
综合①、②可知，对任意，和都是有理数．
21．【答案】证明见解析，，证明见解析．
如图：∵，同理得，，
∴，
类比以上性质，给出空间四面体的一个猜想：
从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为，且相应各面上的高分别为，求证：．
证明：∵，
同理，，，
∴．
22．【答案】（1），，，；（2）证明见解析．
（1），，
，
，
猜想．
（2）证明：①当时，猜想成立；
②设时，命题成立，即，
由题意可知
．
所以
，
，
所以时猜想成立．
由①、②可知，猜想对任意都成立．
2019-2020学年选修1-2第二章训练卷
推理与证明（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用反证法证明：“若三个数的和大于，那么中至少有一个数大于”时，下列假设正确的是（ ）
A．假设都大于 B．假设都不大于
C．假设中至多有一个大于 D．假设中至多至多有两个大于
2．由①吴佳是高二（1）班的学生，②吴佳是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ）
A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③①②
3．若，，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．用数学归纳法证明：“（）”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（ ）
A． B． C． D．
5．三角形的面积为，（为三角形的边长，为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ）
A．（为底面边长）
B．（分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径）
C．（为底面面积，为四面体的高）
D．（为底面边长，为四面体的高）
6．数列1，3，6，10，15，的递推公式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．推理过程：“因为无理数是无限小数，是无理数，所以是无限小数”，以下说法正确的是（ ）
A．完全归纳推理，结论正确 B．三段论推理，结论正确
C．传递性关系推理，结论正确 D．大前提正确，推出的结论错误
8．设，，，则与关系（ ）
A． B．
C． D．，大小与，有关
9．观察以下各等式：，，
，从上述等式中反映一般规律的式子为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知甲、乙、丙三人中，一位姓张，一位姓李，一位姓王，三人的年龄各不相同，且丙比姓王的年龄大，甲和姓李的不同岁，姓李的比乙年龄小，由此可以推知：甲，乙、丙三人中（ ）
A．甲不姓王 B．姓王的比甲年龄小
C．姓李的比姓张年龄大 D．姓王的年龄最小
11．已知，则下列三个数，，（ ）
A．都大于 B．至少有一个不大于
C．都小于 D．至少有一个不小于
12．我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，在空间中，求点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．用反证法证明命题“若，可被整除，则中至少有一个能被整除”，反设的内容是_______________．
14．甲、乙、丙、丁四位导游抽签决定旅游带队的目的地，经理说：“你们四人中有位去西安，位去北京，我现在给甲看乙、丙的目的地，给乙看丙的目的地，给丁看甲的目的地，”看后甲对大家说：“我还是不知道我的目的地”，根据以上信息，则可以知道自己目的地的是________．
15．观察下面几个算式：；；；；利用上面算式的规律，计算______．
16．下面图形由小正方形组成，请观察图至图的规律，并依此规律，写出第个图形中小正方形的个数是_______个．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知，且，求证：．
18．（12分）证明：．
19．（12分）观察下列等式，
第一个式子；
第二个式子；
第三个式子；
第四个式子；
照此规律下去，
（1）写出第个等式；
（2）试写出第个等式，并用数学归纳法验证是否成立．
20．（12分）（1）设，，求证：；
（2）证明：求证．
21．（12分）（1）已知：为互不相等的实数，且，
求证：；
（2）已知：，，求证：．
22．（12分）用数学归纳法证明：．
2019-2020学年选修1-2第二章训练卷
推理与证明（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
根据反证法的概念，“中至少有一个数大于”的否定为“都不大于”．
2．【答案】D
由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：
大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女；
小前提：①吴佳是高二（1）班的学生；
结论：②吴佳是独生子女，故选D．
3．【答案】B
由，，
有，
，
因为当时，，
所以，且，，所以．
4．【答案】C
当，时左侧为，
增加了共项．
5．【答案】B
平面类比到空间时，边长类比为面积，内切圆类比为内切球，调节系数也相应变化，
因此四面体的体积为（分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径），故选B．
6．【答案】B
由题意可得，，，，，，
，
故数列的地推公式为．
7．【答案】B
推理过程：因为无理数是无限小数，是无理数，所以是无限小数．
大前提：无理数是无限小数，
小前提：(某是无理数) 是无理数，
结论：(某是无限小数) 是无限小数，
符合三段论推理，且结论正确．
8．【答案】A
．
9．【答案】D
由已知观察归纳猜想，等号左边是，
规律应该是．
10．【答案】D
因为甲和姓李的不同岁，姓李的比乙年龄小，所以丙姓李，
又丙比姓王的年龄大，姓李的比乙年龄小，
所以乙不姓王，从而乙是姓张，甲是姓王，
于是甲、乙、丙三人中，甲是姓王且年龄最小，乙是姓张且年龄最大，丙姓李且年龄居中．
11．【答案】D
设，，都小于，则，
利用基本不等式可得，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
故下列三个数，，，至少有一个不小于．
12．【答案】D
因为在平面内，点到直线的距离公式为，
类比在空间中，点到平面的距离公式为，
所以点到平面的距离为．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】都不能被整除．
反设的内容是：“中至少有一个能被整除”的反面，
即中没有一个能被整除，即都不能被整除．
14．【答案】乙和丁
根据题意甲、乙、丙、丁四人中有位去西安，位去北京，且甲看了乙、丙的目的地后不能判断出自己的目的地，
所以乙和丙目的地不同，一人去西安，一人去北京，
乙知道丙的目的地后，则根据甲说的，乙可知道自己的目的地，
丁知道甲的目的地后，由于乙丙是一去西安一去北京，
则甲与丁也是一人去西安，一人去北京，即丁由甲的目的地可判断自己的目的地．
故答案为：乙和丁．
15．【答案】
观察归纳中间数为，结果为；
中间数为，结果为；
中间数为，结果为；
；
于是中间数为，结果应为．
16．【答案】
根据图像得到当时，个数为；
当时，个数为；
当时，个数为；
当时，个数为；
综上归类为第个图形中有个小正方形，
当时，个数为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】证明见解析．
∵，，
又，，，，
所以．
18．【答案】证明见解析．
要证成立，
只需证成立，即证成立，
只需证成立，
因为，，显然成立，
所以．
19．【答案】（1）；
（2），证明见解析．
（1）第个等式为．
（2）猜测第个等式为．
证明：
①当时显然成立；
②假设时也成立，
即有，
那么当时，
左边
．
而右边，这就是说时等式也成立．
根据①②知，等式对任何都成立．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（1）由题意，因为，
所以．
（2）证明：要证：，
只需证明：，
即证明：，
也就是证明：，
上式显然成立，故原不等式成立．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（1）根据条件可得，，
又因为为互不相等的实数，则有，
同理可得，，
所以．
（2）证明：，
由，，得，，
所以，得，故．
22．【答案】证明见解析．
①当时显然成立；
②假设时也成立，即有，
那么当时，
左边
．
而右边，这就是说时，命题也成立．
根据①②知，上式对任何都成立，
所以上述不等式成立．
