2019-2020学年选修2-3第二章训练卷
随机变量及其分布（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法不正确的是（ ）
A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量
B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为
C．公式可以用来计算离散型随机变量的均值
D．从一副扑克牌中随机抽取张，其中梅花的张数服从超几何分布
2．若随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知事件、发生的概率都大于零，则（ ）
A．如果、是互斥事件，那么与也是互斥事件
B．如果、不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件
C．如果、是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件
D．如果是必然事件，那么它们一定是对立事件
4．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．一个口袋装有个白球和个黑球，则先摸出个白球后放回，再摸出个白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．若随机变量，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如果随机变量表示抛掷一个各面分别有，，，，，的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量的均值为（ ）
A． B． C． D．
8．若随机变量服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，
则该随机变量的方差等于（ ）
A． B． C． D．
9．如果随机变量，则等于(注：)（ ）
A． B． C． D．
10．已知两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知某离散型随机变量服从的分布列如图，则随机变量的方差等于（ ）
A． B． C． D．
12．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中的各位数中，出现的概率为，出现的概率为，记，当程序运行一次时，的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．如果随机变量服从，且，，那么________，________．
14．已知随机变量，随机变量，则________．
15．将一个大正方形平均分成个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧个小正方形区域的事件记为，投中最上面个小正方形或正中间的个小正方形区域的事件记为，则________．
16．一袋中有大小相同的个红球和个白球，给出下列结论：
①从中任取球，恰有一个白球的概率是；
②从中有放回的取球次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；
③现从中不放回的取球次，每次任取球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
④从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）编号为，，的三位学生随意入坐编号为，，的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是．
（1）求随机变量的概率分布；
（2）求随机变量的数学期望和方差．
18．（12分）号箱中有个白球和个红球，号箱中有个白球和个红球，
现随机地从号箱中取出一球放入号箱，然后从号箱随机取出一球，问：
（1）从号箱中取出的是红球的条件下，从号箱取出红球的概率是多少？
（2）从号箱取出红球的概率是多少？
19．（12分）在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即．
（1）试求考试成绩位于区间上的概率是多少？
（2）若这次考试共有名考生，试估计考试成绩在的考生大约有多少人？
20．（12分）甲、乙两人各进行次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．
（1）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；
（2）求乙至多击中目标次的概率；
（3）求甲恰好比乙多击中目标次的概率．
21．（12分）某公司有万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利，可能损失，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利，也可能损失，这两种情况发生的概率分别为和．
（1）如果把万元投资甲项目，用表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求的分布列及；
（2）要使万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围．
22．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另天的日销售量低于个的概率；
（2）用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差．
2019-2020学年选修2-3第二章训练卷
随机变量及其分布（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】C
公式并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，
适用于二项分布的均值的计算．
2．【答案】B
由分布列性质得，∴．
3．【答案】C
对于选项A，若、互斥，则与不互斥；
对于选项B，若、不相互独立，则它们可能互斥，也可能不互斥；
对于选项C，是正确的；
对于选项D，当是必然事件，是不可能事件时，、才是对立事件．
4．【答案】A
正态分布函数的图象关于对称，的大小表示变量的集中程度，
越大，数据发布越分散，曲线越“矮胖”；越小，数据发布越集中，曲线越“瘦高”．
5．【答案】C
由于是有放回摸球，所以第二次摸出一个白球，与第一次摸出白球无关，即相互独立，
所以第二次摸出白球的概率为．
6．【答案】B
∵，∴，∴，
∴．
7．【答案】C
，
∴．
8．【答案】C
由正态分布密度曲线上的最高知，，即，
∴．
9．【答案】B
．
10．【答案】A
根据相互独立事件与互斥、对立事件的概率公式，
得．
11．【答案】B
由，得，
所以，．
12．【答案】B
记，，，位上出现的次数为随机变量，
则，．
因为，．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】；
因为，所以，，所以．
14．【答案】
由题意知，则．
15．【答案】
根据几何概型，得，，
所以．
16．【答案】①②④
①恰有一个白球的概率，故①正确；
②每次任取一球，取到红球次数，其方差为，
故②正确；
③设第一次取到红球，第二次取到红球，
则，，∴，故③错；
④每次取到红球的概率，所以至少有一次取到红球的概率为，故④正确．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）见解析；（2），．
（1）；；；．
所以概率发布列为
（2）易知，
．
18．【答案】（1）；（2）．
记事件：最后从号箱中取出的是红球；
事件：从号箱中取出的是红球．
，．
（1）．
（2）∵，
∴
．
19．【答案】（1）；（2）人．
因为，所以，．
（1）由于正态变量在区间内取值的概率是，
而该正态分布中，，，
于是考试成绩位于区间内的概率就是．
（2）由，，得，．
由于正态变量在区间内取值的概率是，
所以考试成绩位于区间内的概率是．
因为共有名学生，所以考试成绩在的考生大约有（人）．
20．【答案】（1）的概率分布见解析，；（2）；（3）．
（1）的概率分布列为
或．
（2）乙至多击中目标次的概率为．
（3）设甲恰好比乙多击中目标次为事件，甲恰击中目标次且乙恰击中目标次为事件，甲恰击中目标次且乙恰击中目标次为事件，则，
、为互斥事件，．
21．【答案】（1）的分布列见解析，；（2）．
（1）依题意，可能的取值为，，．
的分布列为
．
（2）设表示万元投资乙项目的收益，则的分布列为
，依题意得，故．
22．【答案】（1）；（2）的分布列见解析，，．
（1）设表示事件“日销售量不低于个”，表示事件“日销售量低于个”，表示事件“在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另天的日销售量低于个”，
因此，，
．
（2）可能取的值为，，，，
相应的概率为，
，
，
．
的分布列为
因为，所以期望，
方差．
2019-2020学年选修2-3第二章训练卷
随机变量及其分布（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是（ ）
A．出现7点的次数 B．出现偶数点的次数
C．出现2点的次数 D．出现的点数大于2小于6的次数
2．随机变量的概率分布列规律为，其中为常数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．9，连续两天为优良的概率是0．75，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机变量，且，，
则（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立．则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．设随机变量为该射手在次射击中击中目标的次数，若，，则和的值分别为（ ）
A．5， B．5， C．6， D．6，
9．五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是、、，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有人去厦门旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．某校组织《最强大脑》赛，最终、两队讲入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名洗手，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时队的得分高于队的得分的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为（ ）
附：若，则，．
A．171 B．239 C．341 D．477
12．己知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个篮球，从甲乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中，现从甲盒中取1个球，记红球的个数为，从乙盒中取1个球，记红球的个数为，从丙盒中取1个球，记红球的个数为，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．设随机变量的分布列，则_______．
14．10件产品中有2件次品，从中随机抽取3件，则恰有1件次品的概率是 ．
15．按照国家标准规定，袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布，经检测某种品牌的奶粉，一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋，则卖出的奶粉质量在以上袋数大约为________．
16．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0．6，客场取胜的概率为0．5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．
18．（12分）在某校组织的高二女子排球比赛中，有、两个球队进入决赛，决赛采用7局4胜制．假设、两队在每场比赛中获胜的概率都是．并记需要比赛的场数为．
（1）求大于4的概率；
（2）求的分布列与数学期望．
19．（12分）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响且无平局．求：
（1）前三局比赛甲队领先的概率；
（2）设本场比赛的局数为，求的概率分布和数学期望．(用分数表示)
20．（12分）某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：
人文科学类
自然科学类
艺术体育类
课程门数
每门课程学分
学校要求学生在高中三年内从中选修门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．
（1）求甲三种类别各选一门概率；
（2）设甲所选门课程的学分数为，写出的分布列，并求出的数学期望．
21．（12分）某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．
（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；
（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望．
22．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
①利用该正态分布，求；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数．利用①的结果，求．
附：，若，则，．
2019-2020学年选修2-3第二章训练卷
随机变量及其分布（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】A
抛掷一枚骰子不可能出现点，出现点为不可能事件，
出现点的次数不能作为随机变量，本题正确选项A．
2．【答案】D
根据题意，由于，
那么可知，时，则可得概率和为1，即，∴，
∴，故选D．
3．【答案】A
设“某天的空气质量为优良”是事件，“随后一天的空气质量为优良”是事件，
由题意可得，，
所以某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为．
故选A．
4．【答案】C
，
所以选C．
5．【答案】B
记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品为事件，仅第二个实习生加工一等品为事件两种情况，
则，
故选B．
6．【答案】B
由于，
故选B．
7．【答案】A
记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，
事件甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，
由独立事件的概率乘法公式得，
对于事件，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件，
，，故选A．
8．【答案】B
根据题意，，因此，，解得，，故选B．
9．【答案】B
记事件至少有人去厦门旅游，其对立事件为三人都不去厦门旅游，
由独立事件的概率公式可得，
由对立事件的概率公式可得，故选B．
10．【答案】C
比赛结束时队的得分高于队的得分可分为以下种情况：
第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢；
第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢；
第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢，
则对应概率为，故选C．
11．【答案】B
设每袋面粉的质量为，则由题意得，
∴
．
由题意得，∴．
故选B．
12．【答案】C
随机变量可取值，其中，，
故，．
随机变量可取值，，，
故，．
随机变量可取值，当时，丙盒中无红球或有一个红球，
无红球的概率为，有一个红球的概率为，
故，，
故，．
综上，，，故选C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
因为随机变量的分布列，
所以，
解得，
因此，故答案为．
14．【答案】
设事件为“从中随机抽取3件，则恰有1件次品”，则．
15．【答案】10
因为且，
所以，
所以以上袋数大约为袋，故答案为10．
16．【答案】0．18
前四场中有一场客场输，第五场赢时，
甲队以获胜的概率是，
前四场中有一场主场输，第五场赢时，
甲队以获胜的概率是，
综上所述，甲队以获胜的概率是．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）个．
（1）在随机抽取的100名顾客中，
年龄在[30，50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30，50)且未使用自由购的概率为．
（2）所有的可能取值为1，2，3，
，，．
所以的分布列为
1
2
3
所以的数学期望为．
（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为个．
18．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
（1）依题意可知，的可能取值最小为4．
当时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着连胜4场，或连胜4场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得．
∴．
即的概率为．
（2）∵的可能取值为4，5，6，7，
可得，，
，，
∴的分布列为：
4
5
6
7
的数学期望为．
19．【答案】（1）；（2）概率分布列见解析，．
（1）设“甲队胜三局”为事件，“甲队胜二局”为事件，
则，，
所以，前三局比赛甲队领先的概率为．
（2）甲队胜三局或乙胜三局，，
甲队或乙队前三局胜局，第局获胜，
，
甲队或乙队前四局胜局，第局获胜，
，
的分部列为：
数学期望为．
20．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
（1）记事件{甲三种类别各选一门}，则．
（2）的取值有：，则；
；；
；；
，
所以分布列为
所以期望．
21．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
（1）三辆车是否堵车相互之间没有影响，三辆汽车中恰有一辆汽车被堵，是一个独立重复试验，走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为，
得，即，则，即p的值为．
（2）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3，
；；；
，
∴ξ的分布列为：
∴．
22．【答案】（1），；（2）①；②．
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
（2）①由（1）知，服从正态分布，
从而．
②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
