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必修4 平面向量的数量积专项训练测试题
选择题
1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝
A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11
2．若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝
A．0 B．4 C．－ D．－
3．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝
A. B．1 C. D．2
4．已知平面向量a＝(－2，x)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数x的值为
A．－2 B．2 C．4 D．6
5．设△ABC的面积为S，若·＝1，tan A＝2，则S＝
A．1 B．2 C. D.
填空题
6．已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________．
7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若＝2，则·＝________．0.
解答题
8．已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求角α；
(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．
9．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．
10．已知向量a，b满足|a－b|＝3且b＝(0，－1)，若向量a在向量b方向上的投影为－2，则|a|＝
A．2 B．2 C．4 D．12
11．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0，1)，B(1，0)，C(0，－2)，O为坐标原点，动点M满足||＝1，则|＋＋|的最大值是
A.＋1 B.＋1 C.－1 D.－1
12．已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，则·的最小值为
A．－4 B．－25 C．－9 D．－16
13．已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则t的值为________．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．
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必修4 平面向量的数量积 专项训练测试题解析
选择题
1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝
A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11
解析 依题意，∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，∴a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)．∵c＝(3，2)，∴(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3，故答案为C.
答案 C
2．若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝
A．0 B．4 C．－ D．－
解析 ∵向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，
∴2k－1－4k＝0，解得k＝－，∴m＝，
∴m·n＝－2×4＋×1＝－.
答案 D
3．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝
A. B．1 C. D．2
解析 ∵非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，
∴a·b＝|a|×1×＝，
∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，
∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝，故选A.
答案 A
4．已知平面向量a＝(－2，x)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数x的值为
A．－2 B．2 C．4 D．6
解析 因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝(－2)×1＋x－4＝0，解得x＝2.
答案 B
5．设△ABC的面积为S，若·＝1，tan A＝2，则S＝
A．1 B．2 C. D.
解析 ∵·＝1，∴bccos A＝1，
∵tan A＝2，∴cos A＝，sin A＝，∴bc＝.
故S＝bcsin A＝1.故选A.
答案 A
填空题
6．已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________．
解析 因为|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，
所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋.
答案 1＋
7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若＝2，则·＝________．
解析
以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(1，0)，C(0，2)，所以＝(－1，2)．
因为D为BC的中点，所以D(0，1)，
因为＝2，所以E，所以＝，
所以·＝·(－1，2)＝－＋＝.
答案
解答题
8．已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求角α；
(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．
解析 (1)若m⊥n，则m·n＝0，
即为－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，
即sin α＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.
(2)若|m－n|＝，即有(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，
即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，
即有8－8sin α＝2，可得sin α＝，
即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.
9．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．
解析 (1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos.
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，∴cos＝－1.
又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝.
∵a＝，∴由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②
由①②，可得b＝3，c＝2.
10．已知向量a，b满足|a－b|＝3且b＝(0，－1)，若向量a在向量b方向上的投影为－2，则|a|＝
A．2 B．2 C．4 D．12
解析 由|a－b|＝3，得|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9，所以a·b＝＝＝，由向量a在向量b方向上的投影为－2，得＝＝－2，即|a|2＝4，所以|a|＝2，故选A.
答案 A
11．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0，1)，B(1，0)，C(0，－2)，O为坐标原点，动点M满足||＝1，则|＋＋|的最大值是
A.＋1 B.＋1 C.－1 D.－1
解析 设点M的坐标为(x，y)，∵C(0，－2)，且||＝1，∴＝1，即x2＋(y＋2)2＝1，∴动点M的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，∵A(0，1)，B(1，0)，∴＋＋＝(x＋1，y＋1)，则|＋＋|＝，其几何意义为动点M(x，y)与点N(－1，－1)之间的距离，即圆C上的点与点N(－1，－1)的距离，∵点N(－1，－1)在圆C外部，∴|＋＋|的最大值是
|CN|＋1＝＋1＝＋1，故选A.
答案 A
12．已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，则·的最小值为
A．－4 B．－25 C．－9 D．－16
解析 以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－5，0)，C(5，0)，设点H(x，y)，所以＝(－5－x，－y)，＝(5－x，－y)，
则·＝(－5－x，－y)·(5－x，－y)＝x2＋y2－25，
又因为AB＝8，且H为弦AB上一动点，所以9≤x2＋y2≤25，其中当H为AB的中点时，x2＋y2取得最小值，所以(·)min＝9－25＝－16，故选D.
答案 D
13．已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则t的值为________．
解析 因为a·b＝0，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|.又|a＋b|＝t|a|，所以|a－b|＝|a＋b|＝t|a|.因为a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos ，整理得＝，即(2－t2)|a|2＝2|b|2.
又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|2＋|b|2＝t2|a|2，所以|a|2＋＝t2|a|2，解得t2＝.
因为t>0，所以t＝.
答案
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．
解析 (1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋)，故△ABC的面积S＝acsin B≤，
即△ABC的面积的最大值为.
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