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必修5. 数列求和 专项训练测试题
选择题
1．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为
A．1 121 B．1 122 C．1 123 D．1 124
2．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝
A．9 B．8 C．17 D．16
3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝
A．9 B．15 C．18 D．30
4．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝
A．3 B．2 C．1 D．0
5．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图像经过点P(1，3)，Q(2，5)．当n∈N*时，an＝，记数列{an}的前n项和为Sn，当Sn＝时，n的值为
A．7 B．6 C．5 D．4
填空题
6．已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，bn－an＝2n＋1，且Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2，则2Tn＝________．
7．设数列{(n2＋n)an}是等比数列，且a1＝，a2＝，则数列{3nan}的前15项和为________．
解答题
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，数列{bn}满足b1＝a1，nbn＋1＝anbn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn＝an＋bn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋pn，且a2，a5，a10成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝1＋，求数列{bn}的前n项和Tn.
10．已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a5＝9，数列{bn}的前n项和为Sn＝bn＋.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an|bn|，求数列{cn}的前n项和Tn.
11．(13分)已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．
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必修5. 数列求和 专项训练测试题解析版
选择题
1．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为
A．1 121 B．1 122 C．1 123 D．1 124
解析 由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123.选C.
答案 C
2．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝
A．9 B．8 C．17 D．16
解析 S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
答案 A
3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝
A．9 B．15 C．18 D．30
解析 由题意知{an}是以2为公差的等差数列，又a1＝－5，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.故选C.
答案 C
4．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝
A．3 B．2 C．1 D．0
解析 ∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 018＝336×0＋a2 017＋a2 018＝a1＋a2＝3.故选A.
答案 A
5．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图像经过点P(1，3)，Q(2，5)．当n∈N*时，an＝，记数列{an}的前n项和为Sn，当Sn＝时，n的值为
A．7 B．6 C．5 D．4
解析 ∵函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图像经过点P(1，3)，Q(2，5)，
∴∴或(舍去)，∴f(x)＝2x＋1，
∴an＝＝－，
∴Sn＝＋＋…＋
＝－，令Sn＝，得n＝4.故选D.
答案 D
填空题
6．已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，bn－an＝2n＋1，且Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2，则2Tn＝________．
解析 由题意知Tn－Sn＝b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an＝n＋2n＋1－2，又Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2，所以2Tn＝Tn－Sn＋Sn＋Tn＝2n＋2＋n(n＋1)－4.
答案 2n＋2＋n(n＋1)－4
7．设数列{(n2＋n)an}是等比数列，且a1＝，a2＝，则数列{3nan}的前15项和为________．
解析 等比数列{(n2＋n)an}的首项为2a1＝，第二项为6a2＝，故公比为，所以(n2＋n)an＝·＝，所以an＝，则3nan＝＝－，其前n项和为1－，n＝15时，为1－＝.
答案
解答题
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，数列{bn}满足b1＝a1，nbn＋1＝anbn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn＝an＋bn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
解析 (1)由2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，
可得2Sn＋1＝(n＋2)2an＋1－(n＋1)2an＋2，
两式相减可得：
2an＋1＝(n＋2)2an＋1－(n＋1)2an＋2－(n＋1)2an＋n2an＋1，
∴2an＋1＝an＋2＋an，
∴数列{an}是等差数列，
又由2S1＝22a1－a2，a1＝2，解得a2＝4.
∴d＝4－2＝2.
∴an＝2＋2(n－1)＝2n.
由nbn＋1＝anbn，得bn＋1＝2bn，又b1＝a1＝2，
∴数列{bn}是等比数列，首项与公比都为2.
∴bn＝2n.
(2)cn＝an＋bn＝2n＋2n，∴数列{cn}的前n项和
Tn＝＋＝2n＋1＋n2＋n－2.
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋pn，且a2，a5，a10成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝1＋，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋p，
当n＝1时，a1＝S1＝1＋p，也满足an＝2n－1＋p，故an＝2n－1＋p，∵a2，a5，a10成等比数列，∴(3＋p)(19＋p)＝(9＋p)2，∴p＝6.∴an＝2n＋5.
(2)由(1)可得bn＝1＋＝1＋＝1＋，
∴Tn＝n＋
＝n＋＝＝n＋.
10．已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a5＝9，数列{bn}的前n项和为Sn＝bn＋.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an|bn|，求数列{cn}的前n项和Tn.
解析 (1)∵数列{an}为等差数列，且a3＝5，a5＝9，
∴d＝＝＝2，
∴a1＝a3－2d＝5－4＝1，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
∵数列{an}的前n项和为Sn＝bn＋，
∴n＝1时，S1＝b1＋，
由S1＝b1，解得b1＝1，
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝bn－bn－1，
∴bn＝－2bn－1，∴{bn}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴bn＝(－2)n－1.
(2)cn＝an|bn|＝(2n－1)·2n－1，
∴数列{cn}的前n项和Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，
∴2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，
两式相减，得：
－Tn＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n
＝1＋2×－(2n－1)·2n＝1＋2n＋1－4－(2n－1)·2n＝－3＋(3－2n)·2n，
∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.
11．(13分)已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．
解析 (1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有
即
由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.
当q＝1时，不合题意，舍去；
当q＝2时，代入②得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n.
故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*)．
(2)因为bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n，
所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝－＝2n＋1－2－n－n2.
因为Sn－2n＋1＋47<0，
所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，
即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.
因为n∈N*，所以使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.
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