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必修5. 等差数列及其前n项和.
专项训练测试题
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，则a7＝
A．9 B．10 C．11 D．12
2．已知等差数列{an}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为
A. B. C．1 D.
3．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是
A．15 B．30 C．31 D．64
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝9，则S9＝
A．3 B．9 C．18 D．27
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5－a3＝4，a4＋a5＝0，则a12＝
A．－5 B．5 C．－7 D．7
二、填空题
6．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．
7．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________．
三、解答题
8．Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
9．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
10．设等差数列{an}满足a2＝7，a4＝3，Sn是数列{an}的前n项和，则使得Sn>0的最大自然数n是
A．7 B．8 C．9 D．10
11．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：
①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.
其中一定正确的结论是
A．①② B．①③④ C．①③ D．①②④
12．Sn是等差数列{an}的前n项和，S2 018A．2 017 B．2 018 C．4 033 D．4 034
13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
14．在等差数列{an}中，已知公差d<0，a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求|a1|＋|a2|＋…＋|a20|.
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必修5. 等差数列及其前n项和.
专项训练测试题解析版
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，则a7＝
A．9 B．10 C．11 D．12
解析 ∵在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，
∴解得a1＝1，d＝，
∴a7＝a1＋6d＝1＋8＝9.故选A.
答案 A
2．已知等差数列{an}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为
A. B. C．1 D.
解析 设等差数列{an}的公差为d，由题意得
解得
∴中间一项为a5＝a1＋4d＝＋4×＝.故选D.
答案 D
3．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是
A．15 B．30 C．31 D．64
解析 设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5＝3，∴3a4＝3，即a1＋3d＝1，又由a8＝8得a1＋7d＝8，联立解得a1＝－，d＝，则a12＝－＋×11＝15.故选A.
答案 A
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝9，则S9＝
A．3 B．9 C．18 D．27
解析 设等差数列{an}的公差为d，∵a2＋a3＋a10＝9，
∴3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3，∴a5＝3，
∴S9＝＝9a5＝27，故选D.
答案 D
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5－a3＝4，a4＋a5＝0，则a12＝
A．－5 B．5 C．－7 D．7
解析 通解 等差数列{an}的公差为d，由S5－a3＝4知5a1＋10d－a1－2d＝4a1＋8d＝4，即a1＋2d＝1，又a4＋a5＝0，所以2a1＋7d＝0，可解得a1＝，d＝－，所以a12＝－5.
快解 因为S5＝5a3，所以S5－a3＝4a3，则a3＝1，则a4＋a5＝a3＋d＋a3＋2d＝2＋3d＝0，则d＝－，故a12＝a3＋9d＝1＋9×＝－5.
答案 A
二、填空题
6．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．
解析 由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，所以当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝－S4＋(S15－S4)＝S15－2S4＝20＋110＝130.
答案 130
7．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________．
解析 因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，
a1＋a99＝a1＋a100－d＝，
则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.
答案 10
三、解答题
8．Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
解析 设公差为d，由S7＝7a4＝28得a4＝4，
∴d＝＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
∴b1＝[lg a1]＝[lg 1]＝0，b11＝[lg a11]＝[lg 11]＝1，
b101＝[lg a101]＝[lg 101]＝2.
(2)记{bn}的前n项和为Tn，则
T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000
＝[lg a1]＋[lg a2]＋…＋[lg a1 000]．
当0≤lg an<1时，n＝1，2，…9，
当1≤lg an<2时，n＝10，11，…，99，
当2≤lg an<3时，n＝100，101，…，999，
当lg an＝3时，n＝1 000.
∴T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝1 893.
9．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析 (1)证明 当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，
即a－2a1－3＝0，
解得a1＝3(a1＝－1舍去)．
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，
两式相减得2an＝a－a＋1，
即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.
而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，d＝1，
所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，
即an＝n＋2.
10．设等差数列{an}满足a2＝7，a4＝3，Sn是数列{an}的前n项和，则使得Sn>0的最大自然数n是
A．7 B．8 C．9 D．10
解析 通解 因为2d＝a4－a2＝－4，所以d＝－2，则a1＝9，所以Sn＝10n－n2，令Sn>0，解得00的最大的自然数为9.
快解 因为2d＝a4－a2＝－4，所以d＝－2，则a1＝9，a9＝－7，a10＝－9，所以S9>0，S10＝0，故使得Sn>0的最大的自然数为9.
答案 C
11．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：
①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.
其中一定正确的结论是
A．①② B．①③④ C．①③ D．①②④
解析 ∵a1＋5a3＝S8，∴a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，
∴a1＝－9d，∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，∴a10＝0，故①一定正确，∴Sn＝na1＋＝－9nd＋＝(n2－19n)，∴S7＝S12，故③一定正确，显然②S10最小与④S20＝0不一定正确，故选C.
答案 C
12．Sn是等差数列{an}的前n项和，S2 018A．2 017 B．2 018 C．4 033 D．4 034
解析 ∵S2 0180.∴S4 034＝＝2 017(a2 018＋a2 017)<0，S4 035＝＝4 035a2 018>0，可知Sn<0时n的最大值是4 034.故选D.
答案 D
13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
解析 ∵{an}，{bn}为等差数列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，∴＝.
答案
14．在等差数列{an}中，已知公差d<0，a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求|a1|＋|a2|＋…＋|a20|.
解析 (1)由题意可得，则a2＝10＋d，a3＝10＋2d，
(2a2＋2)2＝5a1a3，即4(11＋d)2＝50(10＋2d)．化简得d2－3d－4＝0，
解得d＝－1或d＝4(舍去)．∴an＝10－(n－1)＝11－n.
(2)由(1)得an＝11－n时，
由an＝11－n≥0，得1≤n≤11，由an＝11－n<0，得n>11.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝(a1＋a2＋…＋a11)－(a12＋…＋a20)＝－S20＋2S11
＝－＋2＝100.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝100.
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