中小学教育资源及组卷应用平台
必修5. 等比数列及其前n项和.
专项训练测试题
一、选择题
1．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝
A．4 B. C．2 D.
2．设等比数列{an}的公比q＝3，前n项和为Sn，则的值为
A. B. C. D．9
3．等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则的值为
A．2 B．－或
C. D．－
4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a＝
B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c＝
C．a，b，c依次成公比为的等比数列，且a＝
D．a，b，c依次成公比为的等比数列，且c＝
5．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a等于
A.(2n－1) B.(1－24n)
C.(4n－1) D.(1－2n)
二、填空题
6．等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝________．
7．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
三、解答题
8．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
9．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列．
10．已知递减的等比数列{an}的各项均为正数，且满足则数列{an}的公比q的值为
A. B. C. D.
11．已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的值是
A. B.
C. D.
12．若正项递增等比数列{an}满足1＋(a2－a4)＋λ(a3－a5)＝0(λ∈R)，则a6＋λa7的最小值为
A．－2 B．－4 C．2 D．4
13．已知等比数列{an}的公比不为－1，设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则＝________．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
必修5. 等比数列及其前n项和.
专项训练测试题解析版
一、选择题
1．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝
A．4 B. C．2 D.
解析 由题意，得解得或(舍去)，故选C.
答案 C
2．设等比数列{an}的公比q＝3，前n项和为Sn，则的值为
A. B. C. D．9
解析 ＝＝＝，所以选A.
答案 A
3．等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则的值为
A．2 B．－或
C. D．－
解析 ∵a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，∴a2＋a16＝－6，a2·a16＝2，∴a2<0，a16<0，即a1>0，q<0或a1<0，q>0，∴＝a9＝±＝±.故选B.
答案 B
4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a＝
B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c＝
C．a，b，c依次成公比为的等比数列，且a＝
D．a，b，c依次成公比为的等比数列，且c＝
解析 由题意可知b＝a，c＝b，∴＝，＝.
∴a，b，c成等比数列且公比为.∵1斗＝10升，∴5斗＝50升，∴a＋b＋c＝50，又易知a＝4c，b＝2c，∴4c＋2c＋c＝50，∴7c＝50，∴c＝，故选D.
答案 D
5．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a等于
A.(2n－1) B.(1－24n)
C.(4n－1) D.(1－2n)
解析 在数列{an}中，由a1＝1，an＋1＝2an，
可得an＝2n－1，则Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a
＝1－4＋16－64＋…＋42n－2－42n－1
＝＝(1－42n)＝(1－24n)．故选B.
答案 B
二、填空题
6．等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝________．
解析 设{an}的公比为q.由题意得a1＋2a2＝a3，则a1(1＋2q)＝a1q2，q2－2q－1＝0，所以q＝＝1＋(舍负)，则＝＝－1.
答案 －1
7．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
解析 解法一 由题知当n≥2时，两式相减，得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.
所以数列{an}是公比为2的等比数列．当n＝1时，S1＝2a1＋1＝a1，解得a1＝－1.所以an＝－2n－1，Sn＝－2n＋1，所以S6＝1－26＝－63.
解法二 Sn＝2an＋1＝2(Sn－Sn－1)＋1，即Sn＝2Sn－1－1，即Sn－1＝2(Sn－1－1)，所以数列{Sn－1}是首项为S1－1＝－2，公比为2的等比数列，所以Sn－1＝－2n，即Sn＝1－2n，所以S6＝1－26＝－63.
答案 －63
三、解答题
8．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
解析 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.
解得q＝－5，q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
9．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列．
解析 (1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4＋5＝8＋1，解得a4＝.
(2)证明 由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．
∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1，
∴＝＝＝＝，
∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．
10．已知递减的等比数列{an}的各项均为正数，且满足则数列{an}的公比q的值为
A. B. C. D.
解析 因为数列{an}是等比数列，所以得到＋＋＝＝＝＝，化简得到a1a3＝a＝，a2＝.
由a1＋a2＋a3＝＝＋a2＋a2q?q＋＝?q＝或q＝3(舍去)．故答案为B.
答案 B
11．已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的值是
A. B.
C. D.
解析 因为公比q不为1，所以删去的数不是a1，a4.①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4得2a1q2＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)．又q≠1，所以q2＝q＋1，又q>0，得q＝；②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1.又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q>0，得q＝.综上所述，q＝，故选B.
答案 B
12．若正项递增等比数列{an}满足1＋(a2－a4)＋λ(a3－a5)＝0(λ∈R)，则a6＋λa7的最小值为
A．－2 B．－4 C．2 D．4
解析 ∵{an}是正项递增的等比数列，∴a1>0，q>1，
由1＋(a2－a4)＋λ(a3－a5)＝0，得1＋(a2－a4)＋λq(a2－a4)＝0，
∴1＋λq＝，
∴a6＋λa7＝a6(1＋λq)＝＝
＝＝(q2－1)＋2＋
≥2＋2＝4(q2－1>0)，
当且仅当q＝时取等号，∴a6＋λa7的最小值为4.故选D.
答案 D
13．已知等比数列{an}的公比不为－1，设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则＝________．
解析 由题意可知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，又S12＝7S4，∴(S8－S4)2＝S4·(7S4－S8)，可得S－6S－S8S4＝0，两边都除以S，得－－6＝0，解得＝3或－2，又＝1＋q4(q为{an}的公比)，∴>1，∴＝3.
答案 3
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解析 (1)证明 因为an＋Sn＝n，①
所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
所以2an＋1＝an＋1，所以2(an＋1－1)＝an－1，
当n＝1时，a1＋S1＝1，所以a1＝，a1－1＝－，
所以＝，又cn＝an－1，
所以{cn}是首项为－，公比为的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝·＝－，
所以an＝cn＋1＝1－.
所以当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－
＝－＝.
又b1＝a1＝也符合上式，所以bn＝.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
