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选修2-2. 导数与函数的单调性. 专项训练测试题
一、选择题
1．函数f(x)＝xln x，则
A．在(0，＋∞)上递增 B．在(0，＋∞)上递减
C．在上递增 D．在上递减
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是
A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞)
3．已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图像大致是
4．已知f(x)是定义域，值域都为(0，＋∞)的函数，满足2f(x)＋xf′(x)>0，则下列不等式正确的是
A．2 021f(2 021)>2 020f(2 020) B．2 021f(2 021)<2 020f(2 020)
C．2 0202f(2 020)<2 0212f(2 021) D．2 0202f(2 020)>2 0212f(2 021)
5．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f<2f(1)的解集为
A．(e，＋∞) B．(0，e)
C.∪(1，e) D.
二、填空题
6．函数f(x)＝的单调递减区间是________．
7．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
8．设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R，求f(x)的单调区间．
9．已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．
10．若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(－∞，4) D．(－∞，4]
11．定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝x2，且x<0时，f′(x)
A. B.
C. D．(－∞，0)
12．已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图像如图，则满足f′(x)
A．(0，4) B．(－∞，0)∪(1，4)
C. D．(0，1)∪(4，＋∞)
13．已知函数f(x)＝ln x＋ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为________．
14．已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，当a<0时，讨论函数f(x)的单调性．
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选修2-2. 导数与函数的单调性.
专项训练测试题解析
一、选择题
1．函数f(x)＝xln x，则
A．在(0，＋∞)上递增 B．在(0，＋∞)上递减
C．在上递增 D．在上递减
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0得x>，令f′(x)<0得0答案 D
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是
A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞)
解析 f′(x)＝(x－2)ex，令f′(x)>0，得x>2，即f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．
答案 D
3．已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图像大致是
解析 因为f(x)＝x2＋2cos x，所以f′(x)＝2x－2sin x＝2(x－sin x)．
设g(x)＝2(x－sin x)，则g′(x)＝2(1－cos x)≥0，所以f′(x)为增函数．
答案 A
4．已知f(x)是定义域，值域都为(0，＋∞)的函数，满足2f(x)＋xf′(x)>0，则下列不等式正确的是
A．2 021f(2 021)>2 020f(2 020) B．2 021f(2 021)<2 020f(2 020)
C．2 0202f(2 020)<2 0212f(2 021) D．2 0202f(2 020)>2 0212f(2 021)
解析 构造函数g(x)＝x2f(x)，当x>0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以2 0202f(2 020)<2 0212f(2 021)．
答案 C
5．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f<2f(1)的解集为
A．(e，＋∞) B．(0，e)
C.∪(1，e) D.
解析 f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，所以f＝f(－ln x)＝f(ln x)，所以f(ln x)＋f<2f(1)可变形为f(ln x)0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以f(ln x)答案 D
二、填空题
6．函数f(x)＝的单调递减区间是________．
解析 f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)<0，解得0答案 (0，1)，(1，e)
7．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．
解析 由题意知，y′＝3x2＋2x＋m.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，则对于方程3x2＋2x＋m＝0，Δ＝4－12m≤0，即m≥，故实数m的取值范围是.
答案
三、解答题
8．设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R，求f(x)的单调区间．
解析 由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.
下面分两种情况讨论：
(1)当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)当a>0时，令f′(x)>0，得x>或x<－；
令f′(x)<0，得－所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.
9．已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．
解析 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝，由f′(x)<0得0(2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．
①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝－2x2.
∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，
∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.
②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．
∴实数a的取值范围为[0，＋∞)．
10．若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(－∞，4) D．(－∞，4]
解析 由已知得f′(x)＝4x＋－a(x>0)，因为函数f(x)是定义域上的单调递增函数，所以当x>0时，4x＋－a≥0恒成立．因为当x>0时，函数g(x)＝4x＋≥4，当且仅当x＝时取等号，所以g(x)∈[4，＋∞)，所以a≤4，即实数a的取值范围是(－∞，4]，故选D.
答案 D
11．定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝x2，且x<0时，f′(x)A. B.
C. D．(－∞，0)
解析 令g(x)＝f(x)－x2，则g(x)＋g(－x)＝0?g(x)为奇函数，
又x<0时，g′(x)＝f′(x)－x<0?g(x)在(－∞，0)上递减，则g(x)在(－∞，＋∞)上递减，
由f(x)－f(1－x)≥x－知f(x)－x2≥f(1－x)－(1－x)2，即g(x)≥g(1－x)，
从而x≤1－x?x≤，所以所求不等式的解集为.故选A.
答案 A
12．已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图像如图，则满足f′(x)
A．(0，4) B．(－∞，0)∪(1，4)
C. D．(0，1)∪(4，＋∞)
解析 根据导函数与原函数的关系：当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，并结合图像可知：当04时，函数y＝f′(x)的图像在y＝f(x)的图像的下方，满足f′(x)4}，故选D.
答案 D
13．已知函数f(x)＝ln x＋ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为________．
解析 f′(x)＝＋ax－2＝(x>0)，函数f(x)存在单调递减区间，即定义域(0，＋∞)内存在区间使ax2－2x＋1≤0，等价于a小于在x∈(0，＋∞)上的最大值，设g(x)＝，则g′(x)＝，可知，函数g(x)在区间(0，1)为增函数，在区间(1，＋∞)为减函数，所以当x＝1时，函数g(x)取得最大值，此时g(x)＝1，所以a<1，故填(－∞，1)．
答案 (－∞，1)
14．已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，当a<0时，讨论函数f(x)的单调性．
解析 函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＋a－2＝.
①当－a＝2，即a＝－2时，f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当0<－a<2，即－22时，f′(x)>0；－a③当－a>2，即a<－2时，
因为当0－a时，f′(x)>0；当2综上所述，当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当－2
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