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选修2-2. 导数与函数的极值最值.
专项训练测试题
一、选择题
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝
A. B．－ C．－ln 2 D．ln 2
2．函数y＝f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法错误的是
A．(－1，3)为函数y＝f(x)的单调递增区间
B．(3，5)为函数y＝f(x)的单调递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
3．设函数f(x)＝ln x＋ax2－x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为
A．ln 2－2 B．ln 2－1 C．ln 3－2 D．ln 3－1
4．函数y＝在[0，2]上的最大值是
A. B. C．0 D.
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为
A．－ B．－2
C．－2或－ D．2或－
二、填空题
6．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点．则实数a的取值范围是________．
7．已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为________．
三、解答题
8．设函数f(x)＝－kln x，k>0，求f(x)的单调区间和极值．
9．已知函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)在(－∞，0)内的最大值；
(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)内的最小值为m，当x>0时，试比较m－与ln x－2x＋1的大小．
10．已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
11．设函数f(x)＝ln x＋m(x2－x)，m∈R.
(1)当m＝－1时，求函数f(x)的最值；
(2)若函数f(x)有极值点，求m的取值范围．
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选修2-2. 导数与函数的极值最值.
专项训练测试题解析
一、选择题
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝
A. B．－ C．－ln 2 D．ln 2
解析 令y′＝2x＋x·2xln 2＝0，解得x＝－.
答案 B
2．函数y＝f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法错误的是
A．(－1，3)为函数y＝f(x)的单调递增区间
B．(3，5)为函数y＝f(x)的单调递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
解析 由函数y＝f(x)的导函数的图像可知，当x<－1或35或－10，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误．故选C.
答案 C
3．设函数f(x)＝ln x＋ax2－x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为
A．ln 2－2 B．ln 2－1 C．ln 3－2 D．ln 3－1
解析 ∵f(x)＝ln x＋ax2－x，∴f′(x)＝＋2ax－，
∵x＝1是函数f(x)的极大值点，
∴f′(1)＝1＋2a－＝0，∴a＝，
∴f(x)＝ln x＋x2－x，
∴f′(x)＝＋－＝＝(x>0)，
∴当x∈(1，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x＝2时，f(x)取极小值，为f(2)＝ln 2－2.
答案 A
4．函数y＝在[0，2]上的最大值是
A. B. C．0 D.
解析 易知y′＝，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得1答案 A
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为
A．－ B．－2
C．－2或－ D．2或－
解析 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－.故选A.
答案 A
二、填空题
6．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点．则实数a的取值范围是________．
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
答案 (－∞，－1)
7．已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为________．
解析 先求出x>0时，f(x)＝－1的最小值．当x>0时，f′(x)＝，∴x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数单调递增，∴x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e.
答案 1－e
三、解答题
8．设函数f(x)＝－kln x，k>0，求f(x)的单调区间和极值．
解析 由f(x)＝－kln x(k>0)，
得x>0且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：
x (0，) (，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? ?
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，
单调递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值．
9．已知函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)在(－∞，0)内的最大值；
(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)内的最小值为m，当x>0时，试比较m－与ln x－2x＋1的大小．
解析 (1)f′(x)＝(x2＋2x)ex，
因为当x<－2时，f′(x)>0，f(x)递增；
当－2所以f(x)在(－∞，0)内的最大值为f(－2)＝.
(2)因为当－1当x>0时，f′(x)>0，f(x)递增，
所以f(x)在(－1，＋∞)内的最小值为f(0)＝0，
所以m＝0.设g(x)＝ln x－2x＋1，
令g′(x)＝－2＝＝0，所以x＝.
所以当00，g(x)为增函数；
当x>时，g′(x)<0，g(x)为减函数，
所以g(x)max＝g＝ln ＝－ln 2<－ln ＝m－，即ln x－2x＋110．已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
解析 因为f(x)＝＋kln x，
f′(x)＝＋＝.
(1)若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递减．
所以f(x)min＝f(e)＝，f(x)max＝f＝e－1.
(2)若k≠0，f′(x)＝＝.
①若k<0，则在上恒有<0，
所以f(x)在上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，
f(x)max＝f＝e－k－1.
②若k>0，由k<，得>e，则x－<0，
所以<0，所以f(x)在上单调递减．
所以f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，
f(x)max＝f＝e－k－1.
综上，k<时，f(x)min＝＋k－1，f(x)max＝e－k－1.
11．设函数f(x)＝ln x＋m(x2－x)，m∈R.
(1)当m＝－1时，求函数f(x)的最值；
(2)若函数f(x)有极值点，求m的取值范围．
解析 (1)当m＝－1时，f(x)＝ln x－x2＋x(x>0)，
所以f′(x)＝－(2x－1)＝－
＝－(x>0)，
当x∈(0，1)时，f′(x)>0, 所以函数f(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)单调递减．
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值，也是最大值，且f(x)max＝f(1)＝0.函数f(x)无最小值．
(2)因为f′(x)＝(x>0)，
当m＝0时，f′(x)＝>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点；
当m≠0时，设g(x)＝2mx2－mx＋1，Δ＝m2－8m，
①若0②若m>8，Δ>0，设方程2mx2－mx＋1＝0的两个根为x1，x2(不妨设x10，
所以0，
所以当x∈(0，x1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时函数f(x)有两个极值点．
③当m<0时，Δ>0，由g(0)＝1>0，可得x1<0，
所以当x∈(0，x2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
此时函数f(x)有一个极值点．
故若函数f(x)有极值点，
则m的取值范围为(－∞，0)∪(8，＋∞)．
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