2020年春中考数学专题——动点最值专题（PDF版，共82页）
文档属性
| 名称 | 2020年春中考数学专题——动点最值专题（PDF版，共82页） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-29 19:55:48 | ||
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文档简介
动点最值专题
动点最值专题
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动点最值专题
近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合
了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，
通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以
通过几何变换转化为常见的基本问题．
最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、
求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等； 对称载体多：几乎涉及到
初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方
形、抛物线、圆、坐标轴）.
我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变
换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具
有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移
动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用
几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。
数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需
要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。
（1） 去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问
题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是
定长。
（2） 科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手
段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开
来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰
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头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图
形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种
几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。
（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直
线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动
没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以
定点为旋转中心旋转 60°或 90°。
（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两
点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，
求出最小值。
动点最值专题
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目录
一、一条线段最值............................................................................................... 1
1 单动点型..........................................................................................................1
1.1 动点运动轨迹——直线型......................................................................1
1.2 动点运动轨迹——圆或圆弧型..............................................................9
1.2.1 定点定长............................................................................................. 9
1.2.2 定弦定角............................................................................................ 14
1.3 动点轨迹为其他曲线，构造三角形....................................................24
2 双动点型....................................................................................................... 27
2.1 利用等量代换实现转化........................................................................27
2.2 利用和差关系实现转化........................................................................28
2.3 利用勾股定理实现转化........................................................................28
2.4 利用三角形边角关系实现转化............................................................29
二、两条线段最值............................................................................................. 30
1 PA+PB 型....................................................................................................... 30
1.1 两定一动（将军饮马）........................................................................30
1.2 两定两动................................................................................................ 39
? 过河拆桥................................................................................................. 39
? 四边形周长最小；................................................................................. 42
1.3 一定两动................................................................................................ 44
? 两动点不随动......................................................................................... 44
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1.4 三动点.................................................................................................... 48
2 PA+K·PB 型..................................................................................................49
2.1 “胡不归模型”...................................................................................49
2.2 阿氏圆................................................................................................... 66
三、“费马点”模型........................................................................................ 73
线段极值解题方略.......................................................................................... 77
动点最值专题
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一、一条线段最值
1 单动点型
所谓的单动点型指：所求线段两端点中只有一个动点的最值问题．通
常解决这类问题的思考步骤为三步：
(一)分析“源动点”的不变量。
(二)分析“从动点”与“源动点”问关系。
(三)分析“从动点”的不变量。
1.1 动点运动轨迹——直线型
动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”
例 1、如图 1，在 ABC? 中， ??? 30CAB , 1?BC ，D为 AB上一动点(不与点 A
重合)， AED? 为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G
为 EF的中点，则线段CG长的最小值是 。
方法指导：1．当动点的运动轨迹是一条直线(射线、线段)时，可运用“垂
线段最短”性质求线段最值．2．有时动点轨迹不容易确定，如例 1，建议
看到“中点”联想“三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线”等性
质．3．试着观察“动点运动到一些特殊位置时，该动点与其他定点连结的
线段是否与已知边有一‘定角’产生”，若成立，则动点轨迹为直线。
? 如何在动态问题中找寻“不变量”特征是突破这类问题的关键。
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①当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的
轨迹是直线；
1．在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（0，2），点 M 的坐标为（m－1，
－
3
4
m－
9
4
）(其中 m为实数)，当 PM 的长最小时，m 的值为 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)， B(3，2)，C(m，－4m＋20)，
若 OC 恰好平分四边形．．．OACB．．．．的面积，求点 C 的坐标．
②当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
1.如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8，点 E 在边 AD 上，且 AE:ED＝1:3．动
点 P 从点 A 出发，沿 AB 运动到点 B 停止．过点 E 作 EF⊥PE 交射线 BC 于
点 F，设 M 是线段 EF 的中点，则在点 P运动的整个过程中，点 M运动路线
的长为 .
CB
A
P M
F
E D
引例图
A
B
O x
y
定直线
定长
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【变式 1】如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8，点 E 在 BC 边上，且 BE : EC
＝1 : 3．动点 P 从点 B 出发，沿 BA 运动到点 A 停止．过点 E 作 EF⊥PE
交边 AD 或 CD 于点 F，设 M是线段 EF 的中点，则在点 P运动的整个过程中，
点 M运动路线的长为 .
变式 1图
【变式 2】如图，在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB＝2，AP＝1，E 是 AB
上的一个动点，连接 PE，过点 P作 PE 的垂线，交 BC于点 F，连接 EF，设
EF 的中点为 G，当点 E 从点 B 运动到点 A 时，点 G 移动的路径的长
是 .
【变式 3】在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，P 是 AD 边的中点，点 E 在 AB
边上，EP 的延长线交射线 CD于 F 点，过点 P作 PQ⊥EF，与射线 BC 相交于
点 Q．
（1）如图 1，当点 Q在点 C时，试求 AE 的长；
（2）如图 2，点 G为 FQ 的中点，连结 PG．
变式 2 图
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①当 AE＝1 时，求 PG 的长；
②当点 E从点 A运动到点 B 时，试直接写出线段 PG扫过的面积．
2．如图，C、D是线段 AB 上两点，且 AC＝BD＝
1
6
AB＝1，点 P是线段 CD 上
一个动点，在 AB同侧分别作等边△PAE 和等边△PBF，M为线段 EF 的中点.
在点 P 从点 C 移动到点 D时，点 M 运动的路径长度为 ．
变式 3图 1 图 2 备用图
第 2 题图 变式 1 图 变式 2图 变式 3图
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【变式 1】已知 AB＝10，点 C、D 在线段 AB 上且 AC＝DB＝2；P是线段 CD
上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB的同侧作正方形 APEF 和正方形
PBGH，点 O1和 O2是这两个正方形的中心，连接 O1O2，设 O1O2的中点为 Q；当
点 P从点 C运动到点 D 时，则点 Q 移动路径的长是______．
【变式 2】等边三角形 ABC 中，BC＝6，D、E是边 BC 上两点，且 BD＝CE＝
1，点 P是线段 DE 上的一个动点，过点 P 分别作 AC、AB 的平行线交 AB、
AC 于点 M、N，连接 MN、AP 交于点 G，则点 P由点 D移动到点 E 的过程中，
线段 BG扫过的区域面积为______．
【变式 3】如图，四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形，点 C、D 在边 AB 上，
且 AC＝DB＝1，点 P 是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的
同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP，E、F 分别为 MN、QR 的中点，连接 EF，
设 EF 的中点为 G，则当点 P 从点 C 运动到点 D 时，点 G 移动的路径长为
______．
O2
O1
变式 1 图
变式 2 图
变式 3图
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3. 如图，已知在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，P 为
AB 边上的一动点，连接 PD并延长到点 E，使得 PD∶PE＝1∶3，以 PE，PC
为边作平行四边形 PEFC，连接 PF，则 PF 的最小值为__________.
【延伸】在四边形 ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在 BC 上取
点 P（P与 B、C不重合），连接 PA延长至 E，使 PE∶PA＝x∶1，连接 PD 并
延长到 F，使 PF∶PD＝y∶1（x，y＞1），以 PE、PF 为边作平行四边形，另
一个顶点为 G，求 PG 长度的最小值（用 x，y表示）.
【同型练】如图，已知□OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x＝1 和 x＝4上，O
是坐标原点，则对角线 OB长的最小值为 ．
延伸图
同型练图
第 3 题图
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③当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直
线。
1．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB
＝AC＝2，O为 AC 中点，若点 D在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动
过程中，线段 OE的最小值是为__________.
【变式】1.如图，边长为 2a 的等边△ABC 中，M是高 CH 所在直线上的一个
动点，连接 MB，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 HN．则在
点 M运动过程中，线段 HN长度的最小值是 ．
2．在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M 为 AB 的中点．D 是射线 BC
上一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AE，连
接 ED，N 为 ED 的中点，连接 AN，MN．
定直线
图 1 图 2 图 3
第 1 题图 变式图
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（1）如图 1，当 BD＝2 时，AN＝______，NM 与 AB 的位置关系是_________；
（2）当 4＜BD＜8时，
①依题意补全图 2；
②判断（1）中 NM 与 AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接 ME，在点 D运动的过程中，求 ME的长的最小值？
3．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段 BC 上一动点 P 从 C 点
开始运动，到 B点停止，以 AP为边在 AC 的右侧做等边△APQ，则 Q 点运动
的路径长为______．
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1.2 动点运动轨迹——圆或圆弧型
动点轨迹为定圆，利用三点共线
方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点
距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与
半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为
‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹
是圆的条件。
1.2.1 定点定长
Ⅰ 动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．，则点的轨迹是圆或圆弧；
1.、如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 2,点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边
上任意一点，将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF，连接 AP，则 CP 的最
小值 ，AP的最小值是 .
（图 1）
1．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QF 的两端放在正方形
相邻的两边上同时滑动．如果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按
A→B→C→D→A 滑动到点 A 为止，同时点 F 从点 B 出发，沿图中所示方向
按 A→B→C→D→A→B 滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段 QF 的中
点 M所经过的路线围成的图形的面积为 ．
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【变式 1】在矩形 ABCD 中，已知 AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为 2cm 的
木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方
向滑动一周，则木棒 EF的中点 P在运动过程中所围成的图形的面积 cm2．
【变式 3】如图，一根木棒 AB长为 2a，斜靠在与地面 OM垂直的墙壁 ON上，
与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线 NO下滑，且 B端沿直线 OM向
右滑行，则木棒中点 P也随之运动，已知 A 端下滑到 A′时，AA′＝( 3－
2)a，则木棒中点 P随之运动到 P′所经过的路线长 ．
F
M
Q
D
CB
A
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2．如图，在△ABC 中，AC＝2，AB＝3．当∠B最大时，BC的长为 ．
3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是 AB 边上的动点
（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，
则 B′A长度的最小值是 ．
第 3 题图
4．如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M是 AD 边的中
点，N 是 AB 边上的一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN，连
接 A′C，则 A′C长度的最小值是 ．
5．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，
则∠BDC＝ °，∠DBC＝ °
．
第 5 题图
第 4 题图
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6．如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC＝BC＝2 2，点 P 在以斜边 AB 为直径的
半圆上，M 为 PC 的中点．当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B时，点 M 运动的
路径长是 ．
7．如图，矩形 ABCD 中，AB＝2AB＝4，长度为 2 的动线段 AE绕点 A 旋转，
连接 EC，取 EC 的中点 F，连接 DF，则 DF 的取值范围为 。
例 2．（15 威海）如图，已知 AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，
则∠CAD 的度数为_________．
A
B
C
D
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变式：如图，四边形 ABCD 中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则 BD 的
长为_________．
B
D
A
C
例 3．如图，在等腰△ABC 中，AC＝BC，∠C＝70 °，点 P 在△ABC 的外
部，且与 C 点均在 AB 的同侧，如果 PC＝BC，那么∠APB＝_________．
A B
C
例 3图
例 4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，E 为 AB 边的中点，F是线段
BC 边上的动点．将△EFB 沿 EF 所在的直线折叠得到△EB'F，连接 B'D，则
B'D 的最小值为 ．
Ⅱ．定边对定角模型
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1.2.2 定弦定角
II 当某条边与该边所对的角是定值时．．．．．．．．．．．．．．．，该角的顶点的轨迹是圆弧．
见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；
见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；
【一般解题步骤】
①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一
段弧。
②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为
45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）
③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。
④确定圆心位置，计算隐形圆半径。
⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。
⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。
1．如图，以 G(0，1)为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点，与 y
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轴交于 C、D 两点，点 E 为⊙G上一动点，CF⊥AE 于 F，当点 E从点 B出发
顺时针运动到点 D时，点 F 所经过的路径长为__________.
2．如图，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x轴、y轴上，点 B的坐标为(7，
3)，点 E在边 AB 上，且 AE＝1，若点 P为 y轴上一动点，连接 EP，过点 O
作直线 EP 的垂线段，垂足为点 H，在点 P从 F(0，
25
4
)运动到原点 O 的过程
中，点 H 的运动路径长为 ．
3．在正方形 ABCD 中，AD＝2，点 E 从 D 出发向终点 C 运动，点 F从 C 出发
向终点 B 运动，且始终保持 DE＝CF，连接 AE 和 DF 交于点 P，则 P 点运动
的路径长是 ．
4．等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段 AC 上一动点，连
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接 BD，过点 C作 CH⊥BD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为 ．
5．如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动
点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段 CP 长的最小值为 ．
6．如图，在边长为 2 3的等边△ABC 中，动点 D 从 C向终点 B 运动，同时
点 E以相同的速度从 A 出发向终点 C 运动，连接 BE、AD 相交于点 P，则点
P的路径长为 ．
7．如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB＝1，点 P为优弧 AB 上一动点，AC⊥AP 交
直线 PB 于点 C，则△ABC 的最大面积是____________.
8.如图，已抛物线 y＝ax2＋bx＋c( a ≠0)与 x 轴交于 A( 1，0)、B( 4，0)
第 4 题
第 5 题图
第 6题图 第 7 题图
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两点，与 y 轴交于 C( 0，2) ，连结 AC、BC．
（1）求抛物线解析式；
（2）BC 的垂直平分线交抛物线于 D、E 两点，求直线 DE的解析式；
（3）若点 P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的
P点坐标．
O A B x
y
C
9． 如图，在正方形 ABCD 中，AB＝2，动点 E 从点 A 出发向点 D 运动，同
时动点 F 从点 D 出发向点 C运动，点 E、F 运动的速度相同，当它们到
达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF、BE 相交于点 P，则线段
DP的最小值为__________。
A
B C
DE
F
P
变式：直线 y＝x＋4分别与 x 轴、y 轴相交与点 M、N，边长为 2的正方形
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OABC 一个顶点 O 在坐标系的原点，直线 AN 与 MC 相交与点 P，若正方形绕
着点 O 旋转一周，则点 P到点(0，2)长度的最小值是 ．
10．如图，边长为 3 的正方形 ABCD，两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系
的 x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点 C 点 D 在第一象限，点 E 为正方形
ABCD 的对称中心，连结 OE，则 OE 的长的最大值是____________．
B
y
C
O A x
D
E
变式：如图，已知平面直角坐标系中，直线 y＝kx(k≠0)经过点 C(a， 3a)
（a＞0）．线段 BC 的两个端点分别在 x轴与直线 y＝kx 上（B、C均与原点
O不重合）滑动，且 BC＝2，分别作 BP⊥x轴，CP⊥直线 y＝kx，交点为 P，
经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值 ．
11.如图，开口向下的抛物线 2( 2)y a x k? ? ? 交 x 轴于点 A,B 两点，交 y 轴
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正半轴于点 C，顶点为 P，过顶点 P 作 x轴，y 轴的垂线，垂足分别为 M,N，
连结 CP,CM，∠CPM=45°，tan∠CMP=0.8.
(1)求该抛物线的函数解析式；
（2）若点 D为射线 PC 上动点，BD 交△PMD 的外接圆于点 Q，求 PQ 的最小
值.
【强化训练】
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【例 1】如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝ 24 ，∠ACB＝45°，D为△ABC 内一
动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线 BD交⊙O 于 P 点，交 BC 于 E点，弧 AE
＝CP，则 AD 的最小值为（ ）
A．1 B．2
C． 2 D． 2441 ?
【例 2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D 为 AC 上一动点，以 AD
为直径作圆，连接 BD交圆于 E 点，连 CE，则 CE 的最小值为（ ）
A． 213 ?
B． 213 ?
C．5
D．
9
16
【练】如图，在△ABC 中，AC＝3，BC＝ 24 ，∠ACB＝45°，AM∥BC，点 P
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在射线 AM上运动，连 BP交△APC 的外接圆于 D，则 AD 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C． 2
D． 324 ?
【例 3】如图，⊙O 的半径为 2，弦 AB 的长为 32 ，点 P 为优弧 AB 上一动
点，AC⊥AP 交直线 PB 于点 C，则△ABC 的面积的最大值是（ ）
A． 3612 ? B． 336?
C． 3312 ? D． 346 ?
【练】如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB＝1，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC⊥
AP 交直线 PB 于点 C，则△ABC 的最大面积是（ ）
A．
2
1 B．
2
2
C．
2
3 D．
4
3
【例 4】如图，边长为 3的等边△ABC，D、E 分别为边 BC、AC 上的点，且
BD＝CE，AD、BE 交于 P 点，则 CP 的最小值为_________
例题 4 例题 5 图 8
【例 5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以 AB 为直径作⊙M，射线 OF 交⊙M 于
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E、F 两点，C 为弧 AB 的中点，D 为 EF 的中点．当射线绕 O 点旋转时，CD
的最小值为__________
例题 5
【练】如图 8，AB 是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P 是上一动点，D
是 AP 的中点，连接 CD，则 CD 的最小值为__________
图 8
针对练习：
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1．如图，在动点 C与定长线段 AB组成的△ABC 中，AB＝6，AD⊥BC 于点 D，
BE⊥AC 于点 E，连接 DE．当点 C 在运动过程中，始终有
2
2
?
AB
DE ，则点 C 到
AB 的距离的最大值是_________
2．如图，已知以 BC为直径的⊙O，A为弧 BC 中点，P为弧 AC 上任意一点，
AD⊥AP 交 BP 于 D，连 CD．若 BC＝8，则 CD 的最小值为___________
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1.3 动点轨迹为其他曲线，构造三角形
方法指导：1．当动点轨迹不是“定线”或“定圆”时，不妨将此线段
转化为一个三角形中，其中在该三角形中其他两条边位置不定但长度确定，
则所求线段的最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之
差．2．在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上
的中线。
例 1、如图, ??? 90MON ,矩形 ABCD的顶点 A、B分别在边OM ,ON上,当 B在
边ON上运动时, A随之在边OM 上运动,矩形 ABCD的形状保持不变,其中
2?AB , 1?BC ,求运动过程中,点D到点O的最大距离.
变式训练：
1、如图，在 ABCRt? 中， ??? 90ACB ， 6?BC ，
2
1tan ??BAC ，点D在边 AC的
三等分点处， 将线段 AD绕点 A旋转，连接BD， F为 BD中点，求线段CF
长度的最大值．
动点最值专题
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2. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点 A、C分别在 x轴、
y 轴上，当点 A 在 x 轴运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，
点 B到原点 O 的最大距离为
答案： 2＋1
提示：取 AC中点 D，由 BO≤OD＋BD＝1＋ 2，知 BO的最大值为 2＋1
3.如图，∠MON=90°，线段 AB 两端点分别在边 OM，ON 上，当 A在边 OM 上
运动时，B 随之在边 ON 上运动，AB=2 保持不变，以 AB 为边向外作等边△
ABC，在运动过程中，四边形 AOBC 的面积的最大值是 .
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4. 如图，平面直角坐标系中，将含 30°的三角尺的直角顶点 C落在第二
象限．其斜边两端点 A、B 分别落在 x 轴、y 轴上，且 AB=12cm
（1）若 OB=6cm．
①求点 C的坐标；
②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点 C 与点 O 的距离的最大值= cm．
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2 双动点型
解决双动点问题的常用方法是转化为单动点问题，接着再用单动点的
方法解决线段最值问题。有这样一类双动点，它是由某一动点所产生的，
同样就可用“源动点”和“从动点”的分析方法来处理，现总结思考前三
个步骤：(一)分析“源动点”的不变量．(二)分析“双动点”与“源动点”
间关系．(三)转化为单动点问题。显然确定“双动点”与“源动点”间关
系是实现转化的关键。
2.1 利用等量代换实现转化
例 1、 ABC? 是以 AB为斜边的直角三角形, 4?AC , 3?BC ,P是 AB上一动点,
且 ACPE ? 于E , BFPF ? 于 F ,求 EF的最小值.
分析：点 P 带动点 E、F，显然点 P 是双动点 E、F 的“源动点”。第一步，
“源动点”P 在定边 AB 上运动．第二步，由条件可知四边形 PECF 为矩形，
所以双动点 EF与“源动点”P 存在等量关系 EF=CP．第三步，C 是定点，P
是动点且在一边上运动，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”。
提示：双动点线段能否等于图中“源动点”与某一定点连结的线段?
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2.2 利用和差关系实现转化
例 2、如图，在 ABC? 中， 10?AB ， 8?AC ， 6?BC ，经过点C且与边 AB相
切的动圆与 CA ， CB 分别相交于点 P ， Q，则线段 PQ 长度的最小值
是 ．
分析：本题的双动点 P、D 可看成由“源动点”E产生．第一步，“源动点”E
在定边上运动，且保持OE AB? ,第二步，双动点 PD是圆上的动弦且所对圆
周角为直角，因此 PD为 O? 直径．源动点与双动
点满足 PD=CO+OE．第三步，PD 长转化为△COE 三边关系，当 C、O、E 三点
共线时 CE最短，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”．当 CE上
AB 时 PD 长度最小。
提示：双动点线段能否表示成与“源动点”相关线段的和(差)?
2.3 利用勾股定理实现转化
例 3、如图，在 AOBRt? 中， 23??OBOA ， O? 的半径为1，点 P是 AB边
上的动点，过点P作 O? 的一条切线 PQ(点Q为切点)，则切线 PQ的最小值
为 ．
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分析：PQ为 O? 切线， PQ OQ? ? ，双动点 PQ与“源动点”P 满足勾股定理
2 2PQ OP OQ? ? ，而 0Q 为定值 1，因此要 PQ 最小只需 OP 取最小．问题可
转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”
提示：双动点的线段出现“垂直”信息时能否与“源动点”构成“直角三
角形”，从而利用勾股定理实现单一动点的转化。
【练习】如图，⊙O的半径为 2，点 O到直线 l 的距离为 3，点 P是直线 l
上的一个动点，PQ切⊙O 于点 Q，则 PQ 的最小值为【 】
A． 13 B． 5 C．3 D．2
2.4 利用三角形边角关系实现转化
例 4、如图， ABC? 中， ??? 60BAC ， ??? 45ABC ， 2?AB ，D是线段 BC上的
一个动点，以 AD为直径画 O? 分别交于 AB、 AC于 E、F，连接 EF，则线
段 EF长度的最小值为 ．
分析：本题的难点就在于确定双动点 EF 与“源
动点”D的关系，即 EF与 AD 之间的数量关系．连
半径构造等腰△OEF，达到定角圆周角么 EAF 转
化为圆心角么 EOF? ，直径 AD 转化为半径 OE、
0F，使 EF 与 AD 共存于一个三角形中，解三角形得
3
2
EF AD? ．因 A 是定
点，D 在线段 BC 上动，问题最终转化为“动点轨迹为一条直线的单动点
型”。
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二、两条线段最值
1 PA+PB 型
1.1 两定一动（将军饮马）
出现一个动点的解题方法
这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定
点中的其中一个，映射到直线的另一侧。当动点在这个定点的对称点及另一
定点的线段上时，由“两点之问线段最短”可知线段和的最小值，最小值为
定点线段的长。
引：如图在直线 l上找一点 P使 AP＋BP 最短。
图（1） 图（2）
解：（1）如果两点在直线异侧，如图（1），连接 AB交直线 l 于点 P,则
点 P 为所示作的点；
（2）如果两点在直线同侧，如图（2），可通过轴对称把问题转化为
两点在直线异侧的情况。
证明：如下图所示，从 B 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 BD 的延长线
上，取 B 关于河岸的对称点 B'，连结 AB'，与河岸线相交于 P，则 P 点就是
所求作的点，只要从 A出发，沿直线到 P,再由 P沿直线走到 B，所走的路程
就是最短的。
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如 果 在 河 边 的 另 外 任 一 点 C, 则 CB=CB’ ， 但 是 ，
AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB。可见，在 P 点外任何一点 C，它与 A、B
两点的距离和都比 AP＋PB 都长。
本质：两点之间，线段最短。
【小结】
通过“对称” 及构建“两点间的线段” 基本图形，将动态变化中的线
段通过转换，达到变化过程中的极限状态，得到最小值即“两点间的距离”。
路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从
而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解，所以最短路径问题需要
考虑轴对称。
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两个关键点：
（１）找准对称轴。动点所在的直线即为对称轴。
（２）同侧化异侧。同侧的两个点，通过作对称点，转化为对称轴异侧
的两个点，连线即与对称轴相交，交点即是所求。
将军饮马口诀：“和最小，对称找”
例 1 如图，抛物线 y＝
1
2
x
2
＋bx－2与 x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于 C点，
且 A(－1，0)．
(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；
(2)点 M 是 x轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点 M 的坐标．
解：(1)∵点 A(－1，0)在抛物线 y＝
1
2
x
2
＋bx－2 上，∴
1
2
×(－1)
2
＋b×
(－1)－2＝0，解得 b＝－
3
2
，∴抛物线的解析式为 y＝
1
2
x
2
－
3
2
x－2，∵y＝
1
2
x
2
－
3
2
x－2＝
1
2
(x－
3
2
)
2
－
25
8
，∴顶点 D 的坐标为(
3
2
，－
25
8
)
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(2)作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′，则 C′(0，2)，连接 C′D 交 x 轴
于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD 一定，当 MC＋MD 的值
最小时，△CDM 的周长最小，
设直线 C′D 的解析式为 y＝ax＋b(a≠0)，
则
b＝2，
3
2
a＋b＝－
25
8
，解得 a＝－
41
12
，b＝2，
∴yC′D＝－
41
12
x＋2，当 y＝0 时，－
41
12
x＋2＝0，则 x＝
24
41
，
∴M(
24
41
，0)
例题 2 定义一种变换：平移抛物线 1F 得到抛物线 2F ，使 2F 经过 1F 的顶点
A．设 2F 的对称轴分别交 1F、 2F 于点D、B，点C是点 A关于直线 BD的对称
点。
如图 1，若 1F：
21 2 7
3 3 3
y x x? ? ? ，经过变换后， 2 3AC ? ，点P是直线 AC
上的动点，求点P到点D的距离和到直线 AD的距离之和的最小值．
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图 1 图 2
分析：如何找对称点进行变换是本题的难点，注意到点 P 是直线 AC 上
的动点，所以直线 AC就是对称轴，从而运用对称变换把线段 PD转化为线段
PB进行求解．
解：由已知易得 A (1，2 )、D（1+ 3，3）、B (1+ 3，1 )
从而可知点 B和点 D关于直线 AC对称，∴ PD=PB
如图 2，作 BQ⊥AD,垂足为 Q,根据“垂线段最短”可知线段 BQ的长度就
是所要求距离之和的最小值．BQ与 AC 的交点即为使得两个距离之和最小的
P点．
由 ABD△ 的面积关系得： 1
2
·AD·BQ=
1
2
·BD·AM
∴BQ= 3，故点 P到点D的距离和到直线 AD的距离之和的最小值为
3．
解题策略：在不改变线段长度的前提下，运用对称变换把对称轴同侧的
两条线段放在了对称轴的两侧，把复杂的最值问题转化为基本问题．根据“两
点之间线段最短”或“垂线段最短”把“两折线”转“直”，找出最小位置，
并求出最小值。变换的奥秘是：动点在哪条直线上，就以这条直线为对称轴，
构建某一定点的对称点．对称变换是转化的手段，也是解决问题的关键．
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【牛刀小试】
1． 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点．则
PB＋PE 的最小值是 ．
2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E在正方
形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值
为 ．
3．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为
AN 弧 的 中 点 ， P 是 直 径 MN 上 一 动 点 ， 则 PA ＋ PB 的 最 小 值
为 ．
4．如图，AB是⊙O 的直径，AB＝8，点 M 在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧 MB
的中点，P 是直径 AB 上的一动点．若 MN＝1，则△PMN 周长的最小值
为 ．
5．已知 A(－2，3)，B(3，1)，P 点在 x 轴上，若 PA＋PB 长度最小，则最小
值为 ．
第 1 题 第 2题 第 3 题 第 4 题
第 5 题 第 6 题
动点最值专题
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6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，点 D是 BC 边上的点，CD
＝1，将△ABC 沿直线 AD 翻 折，使点 C 落在 AB 边上的点 E处，若点 P 是
直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 。
7．如图，有一圆形透明玻璃容器，高 15cm，底面周长为 24cm，在容器内壁
柜上边缘 4cm 的 A 处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了 3cm
的 B 处时（B 处与 A 处恰好相对），发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫
最近？它至少要爬多少路？（厚度忽略不计）．
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点 M 在 BC 上，
且 BM＝1，N是 AC 上一动点， 则 BN＋MN 的最小值为 。
9．如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，
则 BE＋DE 的最小值为 ．
10.如图，点 A，B的坐标分别为（ 3 ,0）和（0,2），点 C是 x 轴上的一个动
点，且 A,B,C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点 C 的坐标
是 。
第 8 题 第 9题
动点最值专题
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11．如图，正方形 ABCD 的边长是 8，P 是 CD 上的一点，且 PD 的长为 2，M
是其对角线 AC上的一个动点，则 DM＋MP 的最小值是___10__．
第 11 题 第 12 题
12.菱形 ABCO 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 ? ?2 3 0， ，∠
AOC=60°，点 P 是对角线 OB 上一个动点，E(0，-1),问：EP+AP 最短
是 ，此时点 P 的坐标为 .
13. 如图，已知点 A(1，1)、B(3，2)，且 P 为 x轴上一动点，则△ABP 的周
长的最小值为 ．
14.如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在 BC、CD 上
分别找一点 M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为【 】
[来源 A．130° B．120° C．110° D．100°
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15.某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一
侧张村 A和李村 B 送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的
大桥 O 为坐标原点，以河道所在的直线为 x轴建立直角坐标系（如图）。两村
的坐标分别为 A（2，3），B（12，7）。
(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥 O多远
的地方可使所用输水管道最短？
(2) 水泵站建在距离大桥 O 多远的地方，可使它到张
村、李村的距离相等？
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1.2 两定两动
? 过河拆桥
【解决方法】平移变换
平移变换的特征是：对应线段平行且相等，它可以改变线段的位置却不
改变其方向和长度。平移变换是把复杂的最值问题转化为基本问题的重要手
段。
【问题再现】 （人教版七年级（下）第五章造桥选址问题）如图 3，A和 B
两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，造桥在何处才能使从 A 到 B
的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥 MN要与河岸垂直）
在解决这道题题目前，我们先看以下模型： 图 3
【模型抽象】
动手操作一：如果把直线 l1和点 A 向上运动，而直线 l2和点 B 不动，你会
画吗？（平移要注意什么？）
解：
动点最值专题
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问题：A、B为两村庄之间隔着河流，河流两岸为直线 l1、l2，若在两岸建桥
CD，桥与河流两岸垂直，桥建在何处，可使 AC+CD+DB 最短。
策略：平移回去，把问题转化为在直线上找一点 D，使 A’D+DB 最短
动手操作二：如果 P不动，Q 平移 a 个单位，你会画吗？（平移要注意什么？）
问题：如图，若 A、B 为定点，而线段 PQ长为定值，当 P 在何处，AP+PQ+QB
最短。
解：
动点最值专题
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【小结】
两动点，其中一个随另一个动(一个主动，一个从动)，并且两动点间的
距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点
和一个动点”类型来解。（处理方法：当两点间有一段固定的距离时，利用
平移可将这距离“压缩为零”， 再连接构建 “两点间的线段” 这一图
形。）
例 1 （人教版七年级（下）第五章造桥选址问题）如图 3，A 和 B 两
地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，造桥在何处才能使从 A 到 B
的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥 MN要与河岸垂直）
图 3 图 4（1） 图 4（2）
分析：假设河的两岸为直线 1l 、 2l ．这个问题要求“路径 AMNB 最短”
实际上就是“AM+BN”最短（因为“桥要与河垂直”，桥长是定值，也就是河
两岸的距离）．怎样保证“AM+BN”最短呢？如图 4（1），把 BN 沿与河岸垂
直的方向平移河的宽度到 B′M（B 为定点，则点 B′为定点），则 AM+BN=AM+
B′M，点 A、B′为定点，点 M 为直线 1l 上的动点，所以当 A、M、B′三点在
一直线上时，AM+ B′M 最小．
解：过点 B 作 BB′⊥ 2l ，且 BB′ 等于河宽，连接 AB′ 交 1l 于 M 点，
作 MN⊥ 1l 交 2l 于点 N，则 MN 就为桥所在位置（图 4（2））．
解题策略：运用平移变换，在保持平移后的线段与原来的线段平行
动点最值专题
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且相等的特性下，把无公共端点的两条线段移到新的位置并“接起来”，变
换成更简单的基本图形．根据“两点之间线段最短”把“两折线”转“直”，
找出最小位置．平移是转化的手段，也是解决问题的关键．
【牛刀小试】
1.在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在
x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边 OB 的中点．
（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点 E 的坐
标；
（2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最
小时，求点 E、F 的坐标。
? 四边形周长最小；
两定两动求四边形周长最小，有两个动点时，那么动点所在的两条直线
就为两条对称轴，再将两定点作关于两对称轴的对称点，分置于对称轴两侧，
再连接，构建“两点间的线段”这一基本图形，通过对称转换，将三条动态
线段重新拼接在一起，利用“两点之间线段最短” 实现“化折为直”，即
得最短路线。
动点最值专题
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例题（2006 北京）如图 8，已知抛物线 ? ?2 0y ax bx c a? ? ? ? 与 y轴交于 A
(0，3 ),与 x轴分别交于 B（1，0）和 C（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式
（2）若点 D 为线段 OA 的三等分点，求直线 DC的解析式
（3）若一个动点 P 自 OA 的中点 M出发，先到达 x轴上某点（设为点 E）,
再到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F），最后运动到点 A，求使点 P运动
的总路径最短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短路径的长．
提示：本题的特征是两个动点、两个定点，两个动点分别在两条直线
上运动，在两条直线上各找一个点使之与两个定点相连构成的四边形周长
（实际还是三线段和，AM 为定值）最小．因此分别构建两个定点关于两个
动点所在直线的对称点，把“三折线”转“直”，从而可求周长的最小值．
【牛刀小试】
如图，正比例函数
3
3
y x? 的图像有一点 B，OB=1，点 A 在 x 轴上，A(3，0),
点 P,Q 分别在射线 OA，OB 上，则 BP+PQ+QA 的最小值是 .
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1.3 一定两动
一定两动型可转化为“两点之间的连线中，线段最短”＋“垂线段最短”
在这个问题的转换中，关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的
对称点。通过等量代换将问题化为两定一动（将军饮马问题）
? 两动点不随动
一动点分别到一定点和一动点两线段和最小值。方法：让一个动点保持
不动，寻找定点到定直线（动点所在的直线）的最短距离，最后利用折大于
直，斜大于垂。
1．如图△ABC 中，AC＝6，∠BAC＝22.5°，点 M、N分别是射线 AB和 AC 上
动点， 则 CM＋MN 的最小值是 ．
第 1 题 第 2 题 第 3 题
2．如图，在等边△ABC 中，AB＝6，N 为线段 AB 上的任意一点，∠BAC 的平
分线交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连结 BM、MN，则 BM＋MN 的最小值
是 ．
3．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，BD 平分∠ABC，
如果 M、N 分别为 BD、BC 上的动点，那么 CM＋MN 的最小值是 ．
动点最值专题
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4．如图，钝角△ABC 的面积为 18，最长边 AB＝12，BD 平分∠ABC，点 M、N
分别是 BD、BC 上的动点， 则 CM＋MN 的最小值为 ．
5．如图，在锐角△ABC 中，AB＝4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC
于点 D，M、N分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM＋MN 的最小值是 ．
【变式 1】菱形 ABCD 中，∠BAC＝45°，BC＝4 2，M、N、E 分别在 BD、BC、
CD 上运动，则 MN＋ME 的最小值为 ．
【变式 2】点 E 是菱形 ABCD 边 BC 的中点，∠ABC＝60°，P是对角线 BD 上
一点，且满足 PC＋PE＝ 15，则菱形 ABCD 面积的最大值为 ．
【变式 3】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝3，点 E、F分别为 AD、DC
边上的点，且 EF＝2，点 G 为 EF 的中点，点 P为 BC 上一动点，则 PA＋PG
的最小值为 ．
第 4 题图 第 5题图 变式 1 图 变式 2 图
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7．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB
上的两个动点， 则 BM＋MN 的最小值为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、B、C的坐标分别为(0，
0)、(20，0)、(20，10)．在线段 AC、AB 上各有一动点 M、N，则当 BM＋MN
为最小值时，点 M的坐标是 ．
第 7题 第 8 题
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【小结】此类问题处理方法是将双动点转换为单动点，然后利用将军饮
马模型。对于两动点问题可以让其中一个动点暂时保持不动，作此动点的对
称点，从而将双动点转换为单动点，然后利用将军饮马模型，化折为直，最
后利用定点到定直线之间垂线段最短找到最小值。
动点最值专题
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1.4 三动点
例题 如图 11-4 所示，已知 Rt△ ABC中，∠B=90?，AB=3，BC=4，D、E、F
分别是三边 、BC、CA 上的点，则 DE+EF+FD 的最小值为________.
答案：
24
5
提示：作 F关于 AB 的对称点 'F ，交于 AB于 M，作 F 关于 BC 的
对称点 "F ，交于 BC于 N， 'F ， "F 交 AB，BC 于 D，E，当 BF 最短时，DE+EF+FD
最小且为
12 242 2
5 5
BF ? ? ? .
【练习】如图，在等边△ABC 中，AB＝4，P、M、N分别是 BC，CA、AB
边上动点，则 PM＋MN 的最小值是 ．
总之，解决这一类动点最值问题，关键在于善于作定点关于动点所在直
线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。运用数形结合思想，这对
于解决动点最值问题有着事中功倍的作用。
?出现垂直找对称；
?角平分线找对称；
?正方形对角线找对称；
?菱形对角线找对称；
?抛物线对称轴找对称；
?圆中找对称
动点最值专题
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2 PA+k·PB 型
2.1 “胡不归模型”
【问题提出】如图①，已知海岛 A 到海岸公路 BD的距离为 AB，C 为公路
BD 上的酒店，从海岛 A 到酒店 C，先乘船到登陆点 D，船速为 a，再乘汽车，
车速为船速的 n 倍，点 D选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若 n＝2，则时间 t＝
AD
a
＋
CD
2a
，当 a 为定值时，问题转化为：
在 BC上确定一点 D，使得 AD＋
CD
2
的值最小．如图②，过点 C做射线 CM，
使得∠BCM＝30°．
（1）过点 D 作 DE⊥CM，垂足为 E，试说明：DE＝
CD
2
；
（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点 D′，并说明理由．
【问题解决】
（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体
方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．
【模型运用】
（4）如图③，海面上一标志 A 到海岸 BC 的距离 AB＝300m，BC＝300m．救
生员在 C 点处发现标志 A处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑
的速度都是 6m/s，在海中游泳的速度都是 2m/s，求救生员从 C点出发到达
A处的最短时间．
动点最值专题
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【套路归纳】
①将所求线段和改写为“PA＋
n
m
PB”的形式（
n
m
＜1）；
②在 PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得 sinα＝
n
m
；
③过 A 作第②步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值．
例题解析：
例 1、（2016?宜兴市一模）如图，抛物线 y=x
2
﹣2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两
点，过 B的直线交抛物线于 E，且 tan∠EBA= ，有一只蚂蚁从 A出发，先
以 1单位/s 的速度爬到线段 BE上的点 D 处，再以 1.25 单位/s 的速度沿着
DE爬到 E 点处觅食，则蚂蚁从 A到 E 的最短时间是 s．
【解答】解：过点 E 作 y轴的平行线，再过 D点作 y轴的平行线，两线相
交于点 H，如图，
∵EH∥AB，
∴∠HEB=∠ABE，
∴tan∠HED=tan∠EBA= = ，
设 DH=4m，EH=3m，则 DE=5m，
∴蚂蚁从 D爬到 E点的时间= =4（s）
若设蚂蚁从 D 爬到 H 点的速度为 1 单位/s，
动点最值专题
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则蚂蚁从 D爬到 H点的时间= =4（s），
∴蚂蚁从 D爬到 E点所用的时间等于从 D 爬到 H 点所用的时间相等，
∴蚂蚁从 A出发，先以 1单位/s 的速度爬到线段 BE上的点 D 处，再以 1.25
单位/s 的速度沿着 DE爬到 E点所用时间等于它从 A以 1单位/s 的速度爬
到 D点，再从 D 点以 1 单位/s 速度爬到 H点的时间，
作 AG⊥EH 于 G，则 AD+DH≥AH≥AG，
∴AD+DH 的最小值为 AQ的长，
当 y=0 时，x
2
﹣2x﹣3=0，解得 x1=﹣1，x2=3，
则 A（﹣1，0），B（3，0），
直线 BE 交 y 轴于 C 点，如图，
在 Rt△OBC 中，∵tan∠CBO= = ，
∴OC=4，则 C（0，4），
设直线 BE的解析式为 y=kx+b，
把 B（3，0），C（0，4）代入得 ，解得 ，
∴直线 BE的解析式为 y=﹣ x+4，
解方程组 得 或 ，则 E 点坐标为（﹣ ， ），
∴AQ= ，
∴蚂蚁从 A爬到 G点的时间= = （s），
即蚂蚁从 A到 E 的最短时间为 s．
故答案为 ．
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例 2、（2014 成都）如图，已知抛物线 )4)(2(
8
??? xxky （ k为常数，且 0?k ）
与 x轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，经过点 B 的直线
bxy ???
3
3
与抛物线的另一交点为 D．
（1）若点 D 的横坐标为-5，求抛物线的函数
表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点 P，使得
以 A，B，P为顶点的三角形与△ABC 相似，求
k的值；
（3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一
动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1个单位的速度运动到 F，再沿线段
FD以每秒 2个单位的速度运动到 D后停止。当点 F 的坐标是多少时，点 M
在整个运动过程中用时最少？
【解答】解：（1）抛物线 y= （x+2）（x﹣4），
令 y=0，解得 x=﹣2 或 x=4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
动点最值专题
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∵直线 y=﹣ x+b 经过点 B（4，0），
∴﹣ ×4+b=0，解得 b= ，
∴直线 BD 解析式为：y=﹣ x+ ．
当 x=﹣5 时，y=3 ，
∴D（﹣5，3 ）．
∵点 D（﹣5，3 ）在抛物线 y= （x+2）（x﹣4）上，
∴ （﹣5+2）（﹣5﹣4）=3 ，
∴k= ．
∴抛物线的函数表达式为：y= （x+2）（x﹣4）．
（2）方法一：
由抛物线解析式，令 x=0，得 y=﹣k，
∴C（0，﹣k），OC=k．
因为点 P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB 或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图 2﹣1所示．
设 P（x，y），过点 P作 PN⊥x 轴于点 N，则 ON=x，PN=y．
动点最值专题
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tan∠BAC=tan∠PAB，即： ，
∴y= x+k．
∴P（x， x+k），代入抛物线解析式 y= （x+2）（x﹣4），
得 （x+2）（x﹣4）= x+k，整理得：x
2
﹣6x﹣16=0，
解得：x=8 或 x=﹣2（与点 A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴ ，即 ，
解得：k= ．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图 2﹣2所示．
与①同理，可求得：k= ．
综上所述，k= 或 k= ．
方法二：
∵点 P 在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP 为钝角，
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，
∴KAP+KAC=0，
∵C（0，﹣k），A（﹣2，0），
∴KAC=﹣ ，
∴KAP= ，
∵A（﹣2，0），∴lAP：y= x+k，
动点最值专题
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∵抛物线：y= （x+2）（x﹣4），
∴x
2
﹣6x﹣16=0，解得：x=8 或 x=2（舍）
∴P（8，5k），
∵△ABC∽△APB，∴ ，
∴ ，
∴k= ，
②若△ABC∽△APB，则有∠ABC=∠PAB，同理可得：k= ；
（3）方法一：
如答图 3，由（1）知：D（﹣5，3 ），
如答图 2﹣2，过点 D作 DN⊥x 轴于点 N，则 DN=3 ，ON=5，BN=4+5=9，
∴tan∠DBA= = = ，
∴∠DBA=30°．
过点 D 作 DK∥x 轴，则∠KDF=∠DBA=30°．
过点 F 作 FG⊥DK 于点 G，则 FG= DF．
由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF+DF，运动时间：t=AF+ DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线 AF+FG 的长度值．
动点最值专题
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由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点 A 作 AH⊥DK 于点 H，则 t 最小=AH，AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F
点．
∵A点横坐标为﹣2，直线 BD 解析式为：y=﹣ x+ ，
∴y=﹣ ×（﹣2）+ =2 ，
∴F（﹣2，2 ）．
综上所述，当点 F坐标为（﹣2，2 ）时，点 M 在整个运动过程中用时最
少．
方法二：
作 DK∥AB，AH⊥DK，AH 交直线 BD 于点 F，
∵∠DBA=30°，
∴∠BDH=30°，
∴FH=DF×sin30°= ，
∴当且仅当 AH⊥DK 时，AF+FH 最小，
点 M在整个运动中用时为：t= ，
∵lBD：y=﹣ x+ ，
∴FX=AX=﹣2，
∴F（﹣2， ）．
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【套路练习】
1．等边三角形 ABC 的边长为 6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，
其中 BC边在 x轴上，BC 边的高 OA 在 y 轴上．一只电子虫从 A出发，先沿
y轴到达 G点，再沿 GC到达 C 点，已知电子虫在 y 轴上运动的速度是在 GC
上运动速度的 2 倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点 G的坐标
为 ．
【变式】如图，△ABC 在直角坐标系中，AB＝AC，A(0，2 2)，C(1，0)，D
为射线 AO 上一点，一动点 P从 A 出发，运动路径为 A→D→C，点 P在 AD
上的运动速度是在 CD上的 3倍，要使整个运动时间最少，则点 D的坐标应
为 ．
2．如图，一条笔直的公路 l穿过草原，公路边有一消防站 A，距离公路 5
千米的地方有一居民点 B，A、B的直线距离是 13千米．一天，居民点 B着
火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是 80千米/小
时，而在草地上的最快速度是 40千米/小时，则消防车在出发后最快经过
小时可到达居民点 B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地
行驶．）
动点最值专题
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3．如图，在△ACE 中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点 C，且圆的直径
AB在线段 AE 上．
（1）试说明 CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙O的直径 AB；
（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当
1
2
CD＋OD 的
最小值为 6时，求⊙O的直径 AB 的长．
动点最值专题
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4．如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l与 x轴、y轴分别交于点 B(4，
0)、C(0，3)，点 A 为 x轴负半轴上一点，AM⊥BC 于点 M 交 y 轴于点 N，满
足 4CN＝5ON．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A、B、C．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）连接 AC，点 D 在线段 BC 上方的抛物线上，连接 DC、DB，若△BCD 和
△ABC 面积满足 S△BCD＝
3
5
S△ABC，求点 D 的坐标；
（3）如图 2，E 为 OB 中点，设 F 为线段 BC 上一点（不含端点），连接 EF．一
动点 P 从 E出发，沿段 EF以每秒 1个单位的速度运动到 F，再沿着线段 FC
以每秒
5
3
个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，
请直接写出最少时间和此时点 F的坐标．
图 1 图 2
动点最值专题
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5．如图，抛物线 y＝
1
2
x2＋mx＋n与直线 y＝－
1
2
x＋3交于 A，B两点，交 x
轴于 D，C 两点，连接 AC，BC
已知 A(0，3)，C(3，0)．
（1）求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值；
（2）在（1）条件下，设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一
动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段
EA以每秒 2个单位的速度运动到 A后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M
在整个运动中用时最少？
动点最值专题
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【强化训练】
1、已知在平面直角坐标系中， (2,0)A 、 (0,3)B 、 (3,0)C ，设 D 是线段 BC 上
一点（不含端点），连接 AD，一动点 M从点 A出发，沿线段 AD以每秒一个
单位速度运动到 D 点，再沿线段 DB 以每秒 2个单位的速度运动到 B 后停
止，当点 D的坐标是多少时，当 M 在整个运动过程中用时最少？
2、已知在平面直角坐标系中， ( 2,0)A ? 、 ( 5,3 3)B ? 、 (4,0)C ，设 D 为线段 BC
上一点（不含端点），连接 AD，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AD以每秒一
个单位长度运动到 D 点，再沿线段 DB以每秒 2 个单位的速度运动到 B后停
止，当点 D的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？
动点最值专题
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3、在平面直角坐标系中，已知
1( ,0)
2
A 、 (0, 4)B 、 (2,0)C ，设 D 为线段 BC 上
一点（不含端点），连接 AD，一动点 M从点 A出发，沿线段 AD以每秒一个
单位速度运动到 D 点，再沿线段 DB 以每秒 5个单位的速度运动到 B 后停
止，当点 D的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？
4、（2009 北京）如图，在平面直角坐标系 xOy中， ABC? 三个顶点的坐标分
别为 ? ?6,0A ? ， ? ?6,0B ， ? ?0,4 3C ，延长 AC到点 D，使 CD﹦ 12 AC，过点 D作
DE∥AB 交 BC 的延长线于点 E.
（1）求 D 点的坐标；
（2）作 C点关于直线 DE的对称点 F，分别连结 DF、
EF，若过 B 点的直线 y kx b? ? 将四边形 CDFE 分成周
长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设 G 为 y轴上一点，点 P 从直线 y kx b? ? 与 y
动点最值专题
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轴的交点出发，先沿 y轴到达 G点，再沿 GA 到达 A点，若 P 点在 y 轴上运
动的速度是它在直线 GA上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P点按
照上述要求到达 A点所用的时间最短.（要求：简述确定 G 点位置的方法，
但不要求证明）
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5、（2016 江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的
图像经过点 A（-1，0），B（0，- 3）、C（2，0），其中对称轴与 x轴交于
点 D。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若 P 为 y轴上的一个动点，连接 PD，则 PDPB ?
2
1
的最小值为。
（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。
1 若平面内存在点 N，使得 A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这
样的点 N 共有 个；
2 连接 MA、MB，若∠AMB 不小于 60°，求 t的取值范围。
动点最值专题
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6 、（2015 日照）如图，抛物线 2
1
2
y x mx n? ? ? 与直线 1 3
2
y x? ? ? 交于 A，B
两点，交 x轴与 D，C两点，连接 AC，BC，已知 A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为 y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于
点 Q，问：是否存在点 P使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？若
存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设 E为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M从点 D出发，
沿线段 DE以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA以每秒 2个单位
的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时
最少？
动点最值专题
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2.2 阿氏圆
【题目类型】
求圆上一动点到两定点的距离最小值（系数不为 1的两线段和最值问题）。
例如，点 P为圆 O 动点，C、D为两定点，求 PC+k?PD最小值。
【解题原理】
两线段和最值问题一般需要转化为两点之间线段最短。
求线段和的最值问题，一般依据两点之间线段最短，三角形的两边之和大于第三边，
垂线段最短，同圆或等圆中直径是最长的弦等四条公理货定理。
此题中的“PC+k?PD”是两条线段的线性组合，那么最迫切需要解决的问题是系数
k 的处理，也就是说能否将 k?PD转化为一条以 P 为一个端点的线段，如果能，则可将
问题“PC+k?PD”转化为两条共顶点的线段和求最值问题，即可利用最值四定理解决。
【一般解题步骤】
1. 连接动点至圆心 O（将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接
OP、OD；
2. 计算出所连接的这两条线段 OP、OD 长度；
3. 计算这两条线段长度的比 OP/OD=m；
4. 观察 m值是否为等于所求线段和中的系数 k；
①如果 m=k
? 在这个三角形（△POD）中构造母子三角形相似；
? OP、OD 长度已知且 OP 与 OD 夹角已知，利用 SAS 构造相似(△MOP∽△POD)；
? 构造做法是过动点 P 在另一条固定长度的线段 OD 上找出一点 M，这时候使得
点 M、圆心 O、动点 P 构成的三角形△MOP 与三角形相△POD 似 (△MOP∽△
POD)；如果系数 k 小于 1，在 OD 上找点 M；如果系数 k大于 1，点 M 在 OD 的
延长线上。
? 根据相似求出点 M坐标；
②如果 m≠k
? 如果 m≠k ,一般需要对所求式子 PC+k×PD进行转化；
? 例如 PC+2PD或 PC+1/2PD
? 将 2PC+PD=2（PC+1/2PD）或 PC+1/2PD=1/2（2PC+PD）
动点最值专题
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? 转化后利用步骤①如果 m=k的方法求解 M点。
5. 在利用两点之间线段最短求最小值。
例题讲解：
例 1、如图 1，抛物线 y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与 x 轴交于点 A（4，0），
与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m，0）（0＜m＜4），过点 E 作 x 轴
的垂线交直线 AB于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM⊥AB 于点 M．
（1）求 a 的值和直线 AB的函数表达式；
（2）设△PMN 的周长为 C1，△AEN 的周长为 C2，若 1
2
C
C
＝ 6
5
，求 m 的値；
（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OE绕点 O逆时针旋转得到 OE′，
旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接 E′A、E′B，求 E′A＋
2
3
E′B
的最小值．
动点最值专题
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第 28 题图 1 第 28 题图 2
解：（1）把点 A（4，0）代入 y＝ax2＋(a＋3)x＋3，得
16a＋4(a＋3)＋3＝0．
解得 a＝－
3
4
．
∴抛物线的函数表达式为：y＝－
3
4
x2＋
9
4
x＋3．
把 x＝0代入上式，得 y＝3．
∴点 B 的坐标为（0，3）．
由 A（4，0），B（0，3）可得直线 AB的函数表达式为：
y＝－
3
4
x＋3．
（2）根据题意，得
OE＝m，AE＝4－m，AB＝5，
点 P 的坐标可表示为(m，－
3
4
m 2＋
9
4
m＋3)．
∴PE＝－
3
4
m 2＋
9
4
m＋3……………………………………①
∵△AEN∽△AOB，∴
AN
AB
＝
NE
BO
＝
AE
4
．∴
AN
5
＝
NE
3
＝
4－m
4
．
动点最值专题
69 /77
∴AN＝
5
4
(4－m)， NE＝
3
4
(4－m)．
∵△PMN∽△AEN，且 1
2
C
C
＝ 6
5
，
∴
PN
AN
＝ 6
5
．∴PN ＝ 6
5
AN＝ 6
5
×
5
4
(4－m)＝
3
2
(4－m)．
∴PE＝NE＋PN＝
3
4
(4－m)＋
3
2
(4－m)＝
9
4
(4－m)………②
由①、②，得
－
3
4
m 2＋
9
4
m＋3＝
9
4
(4－m)．
解得 m1＝2，m2＝4(不合题意，舍去)．
∴m 的値为 2．
（3）在（2）的条件下，m 的値为 2，点 E（2，0），OE＝2．
∴OE′＝OE＝2．
如图，取点 F(0，
4
3
)，连接 FE′、AF．
则 OF＝
4
3
，AF＝ 42＋(
4
3
)
2
＝
4
3
10．
第 28 题答案图
动点最值专题
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∵
OF
OE′
＝
4
3
2
＝
2
3
，
OE′
OB
＝
2
3
， 且 ∠FOE′ ＝ ∠E′OB ，
∴△FOE′∽△E′OB．∴
FE′
E′B
＝
2
3
．∴FE′＝
2
3
E′B．
∴E′A＋
2
3
E′B＝E′A＋FE′≥AF＝
4
3
10．
∴E′A＋
2
3
E′B的最小值为
4
3
10．
巩固练习：
1、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆 C 半径为 2，P
为圆上一动点，连接 AP，BP，
1
2
AP BP? 最小值为（ ）
A、 37 B、6 C、 2 17 D、 4
2、如图，在△ABC 中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点 B为圆心作圆 B与 AC
相切，点 P为圆 B上任一动点，则
2
2
PA PC? 的最小值是 ．
动点最值专题
71 /77
3、如图，菱形 ABCD 的边长为 2，锐角大小为 60°，⊙A 与 BC 相切于点 E，
在⊙A 上任取一点 P，则
3
2
PB PD? 的最小值为 ．
4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P
是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA﹦135°，则 2PD﹢PC 的最小
值是 ．
5、（1）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆
B上的一个动点，求
1
2
PD PC? 的最小值和 1
2
PD PC? 的最大值．
（2）如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B的半径为 6，点 P是圆 B
上的一个动点，求
2
3
PD PC? 的最小值和 2
3
PD PC? 的最大值．
（3）如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B﹦90°，圆 B 的半径为,2，
y
x
动点最值专题
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点 P是圆 B上的一个动点，求
1
2
PD PC? 的最小值和 1
2
PD PC? 的最大值．
图 1 图 2 图 3
动点最值专题
73 /77
N
M
E
D
CB
A
三、“费马点”模型
通过“旋转 60°”挪成“折线”，再利用“两点之间线段最短”模型——“费马点”模型
旋转变换是把一个图形绕某个点旋转一个角度，其作用是不改变原有图形
的性质，但改变其位置，使之组合成新的有利论证的图形．有些最值
问题必须通过旋转变换才能转化成基本问题，旋转变换是解决最值难
题的必不可少的手段之一．
【引例】如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M为对角线
BD（不含 B点）上任意一点，将 BM绕点 B逆时针旋转 60°得到 BN，连接
EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小；
②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由；
（3）当 AM＋BM＋CM 的最小值为 3＋1时，求正方形的边长．
动点最值专题
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例 1 如图 1（1），已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的
距离之和的最小值为 2 6? ，求此正方形的边长．
分析：本题已知三条线段的和最小，这三条线段又“碰”在一起，怎
么利用这个条件成了本题的难点．注意到题中有正方形边长相等这样的有
利条件，考虑通过旋转变换把三条线段“展开来”，然后再“接起来”成“三
折线”，让折线的两端放在两个定点，这实际是费尔马问题的变形，只是背
景不同。
D
E
CB
A
图 1（1） 图 1（2） 图 1（3）
解：如图 1（2），连接 AC，把△AEC 绕点 C 顺时针旋转 60°，得到△
GFC，连接 EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC 都是等边三角形，则 EF=CE，
又 FG=AE，所以 AE+BE+CE = BE+EF+FG．
∵ 点 B、点 G为定点（G 为定点 A绕定点 C 顺时针旋转 60°所得），
∴ 线段 BG即为点 E到 A、B、C三点的距离之和的最小值，此时 E、F
两点都在 BG 上（如图 1（3））．
设正方形的边长为a，那么 BO=CO= 2
2
a，GC= 2a, GO= 6
2
a
∴ BG=BO+GO =
2
2
a + 6
2
a
∵ 点 E 到 A、B、C三点的距离之和的最小值为 2 6? ，
动点最值专题
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∴
2
2
a + 6
2
a= 2 6? ，∴ a =2．
解题策略：通过旋转变换，改变线段的位置，优化图形的结构，把高
难度的最值问题转化为“两点之间线段最短”的基本问题．使用这一方法
解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目
出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转 60° 或
90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一
起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决。
【变式 1】如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB＝2，则 AP
＋BP＋CP 的最小值为 ．
【变式 2】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P，BC=6，∠ABC=150°，
则线段 AP+BP+PD 的最小值为 ．
（变式 2） (解答)
动点最值专题
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N
M
E D
CB
A
【变式 3】如图四边形 ABCD 是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE 是等边三角形，
M为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM绕点 B 逆时针旋转 60°得
到 BN，连接 EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形 ABCD 的边长为 1，则 AM＋CM 的最小值 1；
②△AMB≌△ENB；
③S 四边形 AMBE＝S 四边形 ADCM；④连接 AN，则 AN⊥BE；
⑤当 AM＋BM＋CM 的最小值为 2 3时，菱形 ABCD 的边长为 2．
A．①②③ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
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线段极值解题方略
线段极值有规律
折直斜垂是根据
一条线段易解决
动点轨迹是秘诀
动点定点两边连
定角出来轨迹现
定角定线面对面
动点轨迹必是圆
动点圆心连一连
最大最小在两边
定角若在定线边
动点轨迹是直线
斜大于垂记心间
最小极值就出现
线段之和求极值
折大于直是关键
翻折平移和旋转
还是不行整搬迁
所有和值成一线
求出该长结论现
遇到系数不要怕
相似找线代替它
放大难了缩小易
切记系数应唯一
两个都有提一提
已知线段比一比
系数比值如统一
相似作图很容易
系数比值难统一
这样题目莫动笔
遇到疑难你莫急
解题方略来帮你
（本口诀来自网络）
动点最值专题
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动点最值专题
近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合
了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，
通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以
通过几何变换转化为常见的基本问题．
最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、
求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等； 对称载体多：几乎涉及到
初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方
形、抛物线、圆、坐标轴）.
我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变
换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具
有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移
动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用
几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。
数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需
要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。
（1） 去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问
题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是
定长。
（2） 科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手
段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开
来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰
动点最值专题
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头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图
形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种
几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。
（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直
线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动
没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以
定点为旋转中心旋转 60°或 90°。
（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两
点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，
求出最小值。
动点最值专题
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目录
一、一条线段最值............................................................................................... 1
1 单动点型..........................................................................................................1
1.1 动点运动轨迹——直线型......................................................................1
1.2 动点运动轨迹——圆或圆弧型..............................................................9
1.2.1 定点定长............................................................................................. 9
1.2.2 定弦定角............................................................................................ 14
1.3 动点轨迹为其他曲线，构造三角形....................................................24
2 双动点型....................................................................................................... 27
2.1 利用等量代换实现转化........................................................................27
2.2 利用和差关系实现转化........................................................................28
2.3 利用勾股定理实现转化........................................................................28
2.4 利用三角形边角关系实现转化............................................................29
二、两条线段最值............................................................................................. 30
1 PA+PB 型....................................................................................................... 30
1.1 两定一动（将军饮马）........................................................................30
1.2 两定两动................................................................................................ 39
? 过河拆桥................................................................................................. 39
? 四边形周长最小；................................................................................. 42
1.3 一定两动................................................................................................ 44
? 两动点不随动......................................................................................... 44
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1.4 三动点.................................................................................................... 48
2 PA+K·PB 型..................................................................................................49
2.1 “胡不归模型”...................................................................................49
2.2 阿氏圆................................................................................................... 66
三、“费马点”模型........................................................................................ 73
线段极值解题方略.......................................................................................... 77
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一、一条线段最值
1 单动点型
所谓的单动点型指：所求线段两端点中只有一个动点的最值问题．通
常解决这类问题的思考步骤为三步：
(一)分析“源动点”的不变量。
(二)分析“从动点”与“源动点”问关系。
(三)分析“从动点”的不变量。
1.1 动点运动轨迹——直线型
动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”
例 1、如图 1，在 ABC? 中， ??? 30CAB , 1?BC ，D为 AB上一动点(不与点 A
重合)， AED? 为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G
为 EF的中点，则线段CG长的最小值是 。
方法指导：1．当动点的运动轨迹是一条直线(射线、线段)时，可运用“垂
线段最短”性质求线段最值．2．有时动点轨迹不容易确定，如例 1，建议
看到“中点”联想“三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线”等性
质．3．试着观察“动点运动到一些特殊位置时，该动点与其他定点连结的
线段是否与已知边有一‘定角’产生”，若成立，则动点轨迹为直线。
? 如何在动态问题中找寻“不变量”特征是突破这类问题的关键。
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①当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的
轨迹是直线；
1．在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（0，2），点 M 的坐标为（m－1，
－
3
4
m－
9
4
）(其中 m为实数)，当 PM 的长最小时，m 的值为 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)， B(3，2)，C(m，－4m＋20)，
若 OC 恰好平分四边形．．．OACB．．．．的面积，求点 C 的坐标．
②当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
1.如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8，点 E 在边 AD 上，且 AE:ED＝1:3．动
点 P 从点 A 出发，沿 AB 运动到点 B 停止．过点 E 作 EF⊥PE 交射线 BC 于
点 F，设 M 是线段 EF 的中点，则在点 P运动的整个过程中，点 M运动路线
的长为 .
CB
A
P M
F
E D
引例图
A
B
O x
y
定直线
定长
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【变式 1】如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8，点 E 在 BC 边上，且 BE : EC
＝1 : 3．动点 P 从点 B 出发，沿 BA 运动到点 A 停止．过点 E 作 EF⊥PE
交边 AD 或 CD 于点 F，设 M是线段 EF 的中点，则在点 P运动的整个过程中，
点 M运动路线的长为 .
变式 1图
【变式 2】如图，在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB＝2，AP＝1，E 是 AB
上的一个动点，连接 PE，过点 P作 PE 的垂线，交 BC于点 F，连接 EF，设
EF 的中点为 G，当点 E 从点 B 运动到点 A 时，点 G 移动的路径的长
是 .
【变式 3】在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，P 是 AD 边的中点，点 E 在 AB
边上，EP 的延长线交射线 CD于 F 点，过点 P作 PQ⊥EF，与射线 BC 相交于
点 Q．
（1）如图 1，当点 Q在点 C时，试求 AE 的长；
（2）如图 2，点 G为 FQ 的中点，连结 PG．
变式 2 图
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①当 AE＝1 时，求 PG 的长；
②当点 E从点 A运动到点 B 时，试直接写出线段 PG扫过的面积．
2．如图，C、D是线段 AB 上两点，且 AC＝BD＝
1
6
AB＝1，点 P是线段 CD 上
一个动点，在 AB同侧分别作等边△PAE 和等边△PBF，M为线段 EF 的中点.
在点 P 从点 C 移动到点 D时，点 M 运动的路径长度为 ．
变式 3图 1 图 2 备用图
第 2 题图 变式 1 图 变式 2图 变式 3图
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【变式 1】已知 AB＝10，点 C、D 在线段 AB 上且 AC＝DB＝2；P是线段 CD
上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB的同侧作正方形 APEF 和正方形
PBGH，点 O1和 O2是这两个正方形的中心，连接 O1O2，设 O1O2的中点为 Q；当
点 P从点 C运动到点 D 时，则点 Q 移动路径的长是______．
【变式 2】等边三角形 ABC 中，BC＝6，D、E是边 BC 上两点，且 BD＝CE＝
1，点 P是线段 DE 上的一个动点，过点 P 分别作 AC、AB 的平行线交 AB、
AC 于点 M、N，连接 MN、AP 交于点 G，则点 P由点 D移动到点 E 的过程中，
线段 BG扫过的区域面积为______．
【变式 3】如图，四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形，点 C、D 在边 AB 上，
且 AC＝DB＝1，点 P 是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的
同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP，E、F 分别为 MN、QR 的中点，连接 EF，
设 EF 的中点为 G，则当点 P 从点 C 运动到点 D 时，点 G 移动的路径长为
______．
O2
O1
变式 1 图
变式 2 图
变式 3图
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3. 如图，已知在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，P 为
AB 边上的一动点，连接 PD并延长到点 E，使得 PD∶PE＝1∶3，以 PE，PC
为边作平行四边形 PEFC，连接 PF，则 PF 的最小值为__________.
【延伸】在四边形 ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在 BC 上取
点 P（P与 B、C不重合），连接 PA延长至 E，使 PE∶PA＝x∶1，连接 PD 并
延长到 F，使 PF∶PD＝y∶1（x，y＞1），以 PE、PF 为边作平行四边形，另
一个顶点为 G，求 PG 长度的最小值（用 x，y表示）.
【同型练】如图，已知□OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x＝1 和 x＝4上，O
是坐标原点，则对角线 OB长的最小值为 ．
延伸图
同型练图
第 3 题图
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③当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直
线。
1．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB
＝AC＝2，O为 AC 中点，若点 D在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动
过程中，线段 OE的最小值是为__________.
【变式】1.如图，边长为 2a 的等边△ABC 中，M是高 CH 所在直线上的一个
动点，连接 MB，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 HN．则在
点 M运动过程中，线段 HN长度的最小值是 ．
2．在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M 为 AB 的中点．D 是射线 BC
上一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AE，连
接 ED，N 为 ED 的中点，连接 AN，MN．
定直线
图 1 图 2 图 3
第 1 题图 变式图
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（1）如图 1，当 BD＝2 时，AN＝______，NM 与 AB 的位置关系是_________；
（2）当 4＜BD＜8时，
①依题意补全图 2；
②判断（1）中 NM 与 AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接 ME，在点 D运动的过程中，求 ME的长的最小值？
3．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段 BC 上一动点 P 从 C 点
开始运动，到 B点停止，以 AP为边在 AC 的右侧做等边△APQ，则 Q 点运动
的路径长为______．
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1.2 动点运动轨迹——圆或圆弧型
动点轨迹为定圆，利用三点共线
方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点
距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与
半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为
‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹
是圆的条件。
1.2.1 定点定长
Ⅰ 动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．，则点的轨迹是圆或圆弧；
1.、如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 2,点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边
上任意一点，将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF，连接 AP，则 CP 的最
小值 ，AP的最小值是 .
（图 1）
1．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QF 的两端放在正方形
相邻的两边上同时滑动．如果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按
A→B→C→D→A 滑动到点 A 为止，同时点 F 从点 B 出发，沿图中所示方向
按 A→B→C→D→A→B 滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段 QF 的中
点 M所经过的路线围成的图形的面积为 ．
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【变式 1】在矩形 ABCD 中，已知 AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为 2cm 的
木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方
向滑动一周，则木棒 EF的中点 P在运动过程中所围成的图形的面积 cm2．
【变式 3】如图，一根木棒 AB长为 2a，斜靠在与地面 OM垂直的墙壁 ON上，
与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线 NO下滑，且 B端沿直线 OM向
右滑行，则木棒中点 P也随之运动，已知 A 端下滑到 A′时，AA′＝( 3－
2)a，则木棒中点 P随之运动到 P′所经过的路线长 ．
F
M
Q
D
CB
A
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2．如图，在△ABC 中，AC＝2，AB＝3．当∠B最大时，BC的长为 ．
3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是 AB 边上的动点
（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，
则 B′A长度的最小值是 ．
第 3 题图
4．如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M是 AD 边的中
点，N 是 AB 边上的一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN，连
接 A′C，则 A′C长度的最小值是 ．
5．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，
则∠BDC＝ °，∠DBC＝ °
．
第 5 题图
第 4 题图
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6．如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC＝BC＝2 2，点 P 在以斜边 AB 为直径的
半圆上，M 为 PC 的中点．当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B时，点 M 运动的
路径长是 ．
7．如图，矩形 ABCD 中，AB＝2AB＝4，长度为 2 的动线段 AE绕点 A 旋转，
连接 EC，取 EC 的中点 F，连接 DF，则 DF 的取值范围为 。
例 2．（15 威海）如图，已知 AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，
则∠CAD 的度数为_________．
A
B
C
D
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变式：如图，四边形 ABCD 中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则 BD 的
长为_________．
B
D
A
C
例 3．如图，在等腰△ABC 中，AC＝BC，∠C＝70 °，点 P 在△ABC 的外
部，且与 C 点均在 AB 的同侧，如果 PC＝BC，那么∠APB＝_________．
A B
C
例 3图
例 4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，E 为 AB 边的中点，F是线段
BC 边上的动点．将△EFB 沿 EF 所在的直线折叠得到△EB'F，连接 B'D，则
B'D 的最小值为 ．
Ⅱ．定边对定角模型
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1.2.2 定弦定角
II 当某条边与该边所对的角是定值时．．．．．．．．．．．．．．．，该角的顶点的轨迹是圆弧．
见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；
见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；
【一般解题步骤】
①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一
段弧。
②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为
45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）
③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。
④确定圆心位置，计算隐形圆半径。
⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。
⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。
1．如图，以 G(0，1)为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点，与 y
动点最值专题
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轴交于 C、D 两点，点 E 为⊙G上一动点，CF⊥AE 于 F，当点 E从点 B出发
顺时针运动到点 D时，点 F 所经过的路径长为__________.
2．如图，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x轴、y轴上，点 B的坐标为(7，
3)，点 E在边 AB 上，且 AE＝1，若点 P为 y轴上一动点，连接 EP，过点 O
作直线 EP 的垂线段，垂足为点 H，在点 P从 F(0，
25
4
)运动到原点 O 的过程
中，点 H 的运动路径长为 ．
3．在正方形 ABCD 中，AD＝2，点 E 从 D 出发向终点 C 运动，点 F从 C 出发
向终点 B 运动，且始终保持 DE＝CF，连接 AE 和 DF 交于点 P，则 P 点运动
的路径长是 ．
4．等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段 AC 上一动点，连
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接 BD，过点 C作 CH⊥BD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为 ．
5．如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动
点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段 CP 长的最小值为 ．
6．如图，在边长为 2 3的等边△ABC 中，动点 D 从 C向终点 B 运动，同时
点 E以相同的速度从 A 出发向终点 C 运动，连接 BE、AD 相交于点 P，则点
P的路径长为 ．
7．如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB＝1，点 P为优弧 AB 上一动点，AC⊥AP 交
直线 PB 于点 C，则△ABC 的最大面积是____________.
8.如图，已抛物线 y＝ax2＋bx＋c( a ≠0)与 x 轴交于 A( 1，0)、B( 4，0)
第 4 题
第 5 题图
第 6题图 第 7 题图
动点最值专题
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两点，与 y 轴交于 C( 0，2) ，连结 AC、BC．
（1）求抛物线解析式；
（2）BC 的垂直平分线交抛物线于 D、E 两点，求直线 DE的解析式；
（3）若点 P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的
P点坐标．
O A B x
y
C
9． 如图，在正方形 ABCD 中，AB＝2，动点 E 从点 A 出发向点 D 运动，同
时动点 F 从点 D 出发向点 C运动，点 E、F 运动的速度相同，当它们到
达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF、BE 相交于点 P，则线段
DP的最小值为__________。
A
B C
DE
F
P
变式：直线 y＝x＋4分别与 x 轴、y 轴相交与点 M、N，边长为 2的正方形
动点最值专题
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OABC 一个顶点 O 在坐标系的原点，直线 AN 与 MC 相交与点 P，若正方形绕
着点 O 旋转一周，则点 P到点(0，2)长度的最小值是 ．
10．如图，边长为 3 的正方形 ABCD，两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系
的 x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点 C 点 D 在第一象限，点 E 为正方形
ABCD 的对称中心，连结 OE，则 OE 的长的最大值是____________．
B
y
C
O A x
D
E
变式：如图，已知平面直角坐标系中，直线 y＝kx(k≠0)经过点 C(a， 3a)
（a＞0）．线段 BC 的两个端点分别在 x轴与直线 y＝kx 上（B、C均与原点
O不重合）滑动，且 BC＝2，分别作 BP⊥x轴，CP⊥直线 y＝kx，交点为 P，
经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值 ．
11.如图，开口向下的抛物线 2( 2)y a x k? ? ? 交 x 轴于点 A,B 两点，交 y 轴
动点最值专题
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正半轴于点 C，顶点为 P，过顶点 P 作 x轴，y 轴的垂线，垂足分别为 M,N，
连结 CP,CM，∠CPM=45°，tan∠CMP=0.8.
(1)求该抛物线的函数解析式；
（2）若点 D为射线 PC 上动点，BD 交△PMD 的外接圆于点 Q，求 PQ 的最小
值.
【强化训练】
动点最值专题
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【例 1】如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝ 24 ，∠ACB＝45°，D为△ABC 内一
动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线 BD交⊙O 于 P 点，交 BC 于 E点，弧 AE
＝CP，则 AD 的最小值为（ ）
A．1 B．2
C． 2 D． 2441 ?
【例 2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D 为 AC 上一动点，以 AD
为直径作圆，连接 BD交圆于 E 点，连 CE，则 CE 的最小值为（ ）
A． 213 ?
B． 213 ?
C．5
D．
9
16
【练】如图，在△ABC 中，AC＝3，BC＝ 24 ，∠ACB＝45°，AM∥BC，点 P
动点最值专题
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在射线 AM上运动，连 BP交△APC 的外接圆于 D，则 AD 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C． 2
D． 324 ?
【例 3】如图，⊙O 的半径为 2，弦 AB 的长为 32 ，点 P 为优弧 AB 上一动
点，AC⊥AP 交直线 PB 于点 C，则△ABC 的面积的最大值是（ ）
A． 3612 ? B． 336?
C． 3312 ? D． 346 ?
【练】如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB＝1，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC⊥
AP 交直线 PB 于点 C，则△ABC 的最大面积是（ ）
A．
2
1 B．
2
2
C．
2
3 D．
4
3
【例 4】如图，边长为 3的等边△ABC，D、E 分别为边 BC、AC 上的点，且
BD＝CE，AD、BE 交于 P 点，则 CP 的最小值为_________
例题 4 例题 5 图 8
【例 5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以 AB 为直径作⊙M，射线 OF 交⊙M 于
动点最值专题
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E、F 两点，C 为弧 AB 的中点，D 为 EF 的中点．当射线绕 O 点旋转时，CD
的最小值为__________
例题 5
【练】如图 8，AB 是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P 是上一动点，D
是 AP 的中点，连接 CD，则 CD 的最小值为__________
图 8
针对练习：
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1．如图，在动点 C与定长线段 AB组成的△ABC 中，AB＝6，AD⊥BC 于点 D，
BE⊥AC 于点 E，连接 DE．当点 C 在运动过程中，始终有
2
2
?
AB
DE ，则点 C 到
AB 的距离的最大值是_________
2．如图，已知以 BC为直径的⊙O，A为弧 BC 中点，P为弧 AC 上任意一点，
AD⊥AP 交 BP 于 D，连 CD．若 BC＝8，则 CD 的最小值为___________
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1.3 动点轨迹为其他曲线，构造三角形
方法指导：1．当动点轨迹不是“定线”或“定圆”时，不妨将此线段
转化为一个三角形中，其中在该三角形中其他两条边位置不定但长度确定，
则所求线段的最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之
差．2．在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上
的中线。
例 1、如图, ??? 90MON ,矩形 ABCD的顶点 A、B分别在边OM ,ON上,当 B在
边ON上运动时, A随之在边OM 上运动,矩形 ABCD的形状保持不变,其中
2?AB , 1?BC ,求运动过程中,点D到点O的最大距离.
变式训练：
1、如图，在 ABCRt? 中， ??? 90ACB ， 6?BC ，
2
1tan ??BAC ，点D在边 AC的
三等分点处， 将线段 AD绕点 A旋转，连接BD， F为 BD中点，求线段CF
长度的最大值．
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2. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点 A、C分别在 x轴、
y 轴上，当点 A 在 x 轴运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，
点 B到原点 O 的最大距离为
答案： 2＋1
提示：取 AC中点 D，由 BO≤OD＋BD＝1＋ 2，知 BO的最大值为 2＋1
3.如图，∠MON=90°，线段 AB 两端点分别在边 OM，ON 上，当 A在边 OM 上
运动时，B 随之在边 ON 上运动，AB=2 保持不变，以 AB 为边向外作等边△
ABC，在运动过程中，四边形 AOBC 的面积的最大值是 .
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4. 如图，平面直角坐标系中，将含 30°的三角尺的直角顶点 C落在第二
象限．其斜边两端点 A、B 分别落在 x 轴、y 轴上，且 AB=12cm
（1）若 OB=6cm．
①求点 C的坐标；
②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点 C 与点 O 的距离的最大值= cm．
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2 双动点型
解决双动点问题的常用方法是转化为单动点问题，接着再用单动点的
方法解决线段最值问题。有这样一类双动点，它是由某一动点所产生的，
同样就可用“源动点”和“从动点”的分析方法来处理，现总结思考前三
个步骤：(一)分析“源动点”的不变量．(二)分析“双动点”与“源动点”
间关系．(三)转化为单动点问题。显然确定“双动点”与“源动点”间关
系是实现转化的关键。
2.1 利用等量代换实现转化
例 1、 ABC? 是以 AB为斜边的直角三角形, 4?AC , 3?BC ,P是 AB上一动点,
且 ACPE ? 于E , BFPF ? 于 F ,求 EF的最小值.
分析：点 P 带动点 E、F，显然点 P 是双动点 E、F 的“源动点”。第一步，
“源动点”P 在定边 AB 上运动．第二步，由条件可知四边形 PECF 为矩形，
所以双动点 EF与“源动点”P 存在等量关系 EF=CP．第三步，C 是定点，P
是动点且在一边上运动，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”。
提示：双动点线段能否等于图中“源动点”与某一定点连结的线段?
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2.2 利用和差关系实现转化
例 2、如图，在 ABC? 中， 10?AB ， 8?AC ， 6?BC ，经过点C且与边 AB相
切的动圆与 CA ， CB 分别相交于点 P ， Q，则线段 PQ 长度的最小值
是 ．
分析：本题的双动点 P、D 可看成由“源动点”E产生．第一步，“源动点”E
在定边上运动，且保持OE AB? ,第二步，双动点 PD是圆上的动弦且所对圆
周角为直角，因此 PD为 O? 直径．源动点与双动
点满足 PD=CO+OE．第三步，PD 长转化为△COE 三边关系，当 C、O、E 三点
共线时 CE最短，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”．当 CE上
AB 时 PD 长度最小。
提示：双动点线段能否表示成与“源动点”相关线段的和(差)?
2.3 利用勾股定理实现转化
例 3、如图，在 AOBRt? 中， 23??OBOA ， O? 的半径为1，点 P是 AB边
上的动点，过点P作 O? 的一条切线 PQ(点Q为切点)，则切线 PQ的最小值
为 ．
动点最值专题
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分析：PQ为 O? 切线， PQ OQ? ? ，双动点 PQ与“源动点”P 满足勾股定理
2 2PQ OP OQ? ? ，而 0Q 为定值 1，因此要 PQ 最小只需 OP 取最小．问题可
转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”
提示：双动点的线段出现“垂直”信息时能否与“源动点”构成“直角三
角形”，从而利用勾股定理实现单一动点的转化。
【练习】如图，⊙O的半径为 2，点 O到直线 l 的距离为 3，点 P是直线 l
上的一个动点，PQ切⊙O 于点 Q，则 PQ 的最小值为【 】
A． 13 B． 5 C．3 D．2
2.4 利用三角形边角关系实现转化
例 4、如图， ABC? 中， ??? 60BAC ， ??? 45ABC ， 2?AB ，D是线段 BC上的
一个动点，以 AD为直径画 O? 分别交于 AB、 AC于 E、F，连接 EF，则线
段 EF长度的最小值为 ．
分析：本题的难点就在于确定双动点 EF 与“源
动点”D的关系，即 EF与 AD 之间的数量关系．连
半径构造等腰△OEF，达到定角圆周角么 EAF 转
化为圆心角么 EOF? ，直径 AD 转化为半径 OE、
0F，使 EF 与 AD 共存于一个三角形中，解三角形得
3
2
EF AD? ．因 A 是定
点，D 在线段 BC 上动，问题最终转化为“动点轨迹为一条直线的单动点
型”。
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二、两条线段最值
1 PA+PB 型
1.1 两定一动（将军饮马）
出现一个动点的解题方法
这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定
点中的其中一个，映射到直线的另一侧。当动点在这个定点的对称点及另一
定点的线段上时，由“两点之问线段最短”可知线段和的最小值，最小值为
定点线段的长。
引：如图在直线 l上找一点 P使 AP＋BP 最短。
图（1） 图（2）
解：（1）如果两点在直线异侧，如图（1），连接 AB交直线 l 于点 P,则
点 P 为所示作的点；
（2）如果两点在直线同侧，如图（2），可通过轴对称把问题转化为
两点在直线异侧的情况。
证明：如下图所示，从 B 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 BD 的延长线
上，取 B 关于河岸的对称点 B'，连结 AB'，与河岸线相交于 P，则 P 点就是
所求作的点，只要从 A出发，沿直线到 P,再由 P沿直线走到 B，所走的路程
就是最短的。
动点最值专题
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如 果 在 河 边 的 另 外 任 一 点 C, 则 CB=CB’ ， 但 是 ，
AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB。可见，在 P 点外任何一点 C，它与 A、B
两点的距离和都比 AP＋PB 都长。
本质：两点之间，线段最短。
【小结】
通过“对称” 及构建“两点间的线段” 基本图形，将动态变化中的线
段通过转换，达到变化过程中的极限状态，得到最小值即“两点间的距离”。
路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从
而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解，所以最短路径问题需要
考虑轴对称。
动点最值专题
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两个关键点：
（１）找准对称轴。动点所在的直线即为对称轴。
（２）同侧化异侧。同侧的两个点，通过作对称点，转化为对称轴异侧
的两个点，连线即与对称轴相交，交点即是所求。
将军饮马口诀：“和最小，对称找”
例 1 如图，抛物线 y＝
1
2
x
2
＋bx－2与 x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于 C点，
且 A(－1，0)．
(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；
(2)点 M 是 x轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点 M 的坐标．
解：(1)∵点 A(－1，0)在抛物线 y＝
1
2
x
2
＋bx－2 上，∴
1
2
×(－1)
2
＋b×
(－1)－2＝0，解得 b＝－
3
2
，∴抛物线的解析式为 y＝
1
2
x
2
－
3
2
x－2，∵y＝
1
2
x
2
－
3
2
x－2＝
1
2
(x－
3
2
)
2
－
25
8
，∴顶点 D 的坐标为(
3
2
，－
25
8
)
动点最值专题
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ziyuanku.com
(2)作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′，则 C′(0，2)，连接 C′D 交 x 轴
于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD 一定，当 MC＋MD 的值
最小时，△CDM 的周长最小，
设直线 C′D 的解析式为 y＝ax＋b(a≠0)，
则
b＝2，
3
2
a＋b＝－
25
8
，解得 a＝－
41
12
，b＝2，
∴yC′D＝－
41
12
x＋2，当 y＝0 时，－
41
12
x＋2＝0，则 x＝
24
41
，
∴M(
24
41
，0)
例题 2 定义一种变换：平移抛物线 1F 得到抛物线 2F ，使 2F 经过 1F 的顶点
A．设 2F 的对称轴分别交 1F、 2F 于点D、B，点C是点 A关于直线 BD的对称
点。
如图 1，若 1F：
21 2 7
3 3 3
y x x? ? ? ，经过变换后， 2 3AC ? ，点P是直线 AC
上的动点，求点P到点D的距离和到直线 AD的距离之和的最小值．
动点最值专题
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图 1 图 2
分析：如何找对称点进行变换是本题的难点，注意到点 P 是直线 AC 上
的动点，所以直线 AC就是对称轴，从而运用对称变换把线段 PD转化为线段
PB进行求解．
解：由已知易得 A (1，2 )、D（1+ 3，3）、B (1+ 3，1 )
从而可知点 B和点 D关于直线 AC对称，∴ PD=PB
如图 2，作 BQ⊥AD,垂足为 Q,根据“垂线段最短”可知线段 BQ的长度就
是所要求距离之和的最小值．BQ与 AC 的交点即为使得两个距离之和最小的
P点．
由 ABD△ 的面积关系得： 1
2
·AD·BQ=
1
2
·BD·AM
∴BQ= 3，故点 P到点D的距离和到直线 AD的距离之和的最小值为
3．
解题策略：在不改变线段长度的前提下，运用对称变换把对称轴同侧的
两条线段放在了对称轴的两侧，把复杂的最值问题转化为基本问题．根据“两
点之间线段最短”或“垂线段最短”把“两折线”转“直”，找出最小位置，
并求出最小值。变换的奥秘是：动点在哪条直线上，就以这条直线为对称轴，
构建某一定点的对称点．对称变换是转化的手段，也是解决问题的关键．
动点最值专题
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【牛刀小试】
1． 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点．则
PB＋PE 的最小值是 ．
2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E在正方
形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值
为 ．
3．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为
AN 弧 的 中 点 ， P 是 直 径 MN 上 一 动 点 ， 则 PA ＋ PB 的 最 小 值
为 ．
4．如图，AB是⊙O 的直径，AB＝8，点 M 在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧 MB
的中点，P 是直径 AB 上的一动点．若 MN＝1，则△PMN 周长的最小值
为 ．
5．已知 A(－2，3)，B(3，1)，P 点在 x 轴上，若 PA＋PB 长度最小，则最小
值为 ．
第 1 题 第 2题 第 3 题 第 4 题
第 5 题 第 6 题
动点最值专题
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6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，点 D是 BC 边上的点，CD
＝1，将△ABC 沿直线 AD 翻 折，使点 C 落在 AB 边上的点 E处，若点 P 是
直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 。
7．如图，有一圆形透明玻璃容器，高 15cm，底面周长为 24cm，在容器内壁
柜上边缘 4cm 的 A 处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了 3cm
的 B 处时（B 处与 A 处恰好相对），发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫
最近？它至少要爬多少路？（厚度忽略不计）．
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点 M 在 BC 上，
且 BM＝1，N是 AC 上一动点， 则 BN＋MN 的最小值为 。
9．如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，
则 BE＋DE 的最小值为 ．
10.如图，点 A，B的坐标分别为（ 3 ,0）和（0,2），点 C是 x 轴上的一个动
点，且 A,B,C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点 C 的坐标
是 。
第 8 题 第 9题
动点最值专题
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11．如图，正方形 ABCD 的边长是 8，P 是 CD 上的一点，且 PD 的长为 2，M
是其对角线 AC上的一个动点，则 DM＋MP 的最小值是___10__．
第 11 题 第 12 题
12.菱形 ABCO 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 ? ?2 3 0， ，∠
AOC=60°，点 P 是对角线 OB 上一个动点，E(0，-1),问：EP+AP 最短
是 ，此时点 P 的坐标为 .
13. 如图，已知点 A(1，1)、B(3，2)，且 P 为 x轴上一动点，则△ABP 的周
长的最小值为 ．
14.如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在 BC、CD 上
分别找一点 M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为【 】
[来源 A．130° B．120° C．110° D．100°
动点最值专题
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15.某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一
侧张村 A和李村 B 送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的
大桥 O 为坐标原点，以河道所在的直线为 x轴建立直角坐标系（如图）。两村
的坐标分别为 A（2，3），B（12，7）。
(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥 O多远
的地方可使所用输水管道最短？
(2) 水泵站建在距离大桥 O 多远的地方，可使它到张
村、李村的距离相等？
动点最值专题
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1.2 两定两动
? 过河拆桥
【解决方法】平移变换
平移变换的特征是：对应线段平行且相等，它可以改变线段的位置却不
改变其方向和长度。平移变换是把复杂的最值问题转化为基本问题的重要手
段。
【问题再现】 （人教版七年级（下）第五章造桥选址问题）如图 3，A和 B
两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，造桥在何处才能使从 A 到 B
的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥 MN要与河岸垂直）
在解决这道题题目前，我们先看以下模型： 图 3
【模型抽象】
动手操作一：如果把直线 l1和点 A 向上运动，而直线 l2和点 B 不动，你会
画吗？（平移要注意什么？）
解：
动点最值专题
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问题：A、B为两村庄之间隔着河流，河流两岸为直线 l1、l2，若在两岸建桥
CD，桥与河流两岸垂直，桥建在何处，可使 AC+CD+DB 最短。
策略：平移回去，把问题转化为在直线上找一点 D，使 A’D+DB 最短
动手操作二：如果 P不动，Q 平移 a 个单位，你会画吗？（平移要注意什么？）
问题：如图，若 A、B 为定点，而线段 PQ长为定值，当 P 在何处，AP+PQ+QB
最短。
解：
动点最值专题
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【小结】
两动点，其中一个随另一个动(一个主动，一个从动)，并且两动点间的
距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点
和一个动点”类型来解。（处理方法：当两点间有一段固定的距离时，利用
平移可将这距离“压缩为零”， 再连接构建 “两点间的线段” 这一图
形。）
例 1 （人教版七年级（下）第五章造桥选址问题）如图 3，A 和 B 两
地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，造桥在何处才能使从 A 到 B
的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥 MN要与河岸垂直）
图 3 图 4（1） 图 4（2）
分析：假设河的两岸为直线 1l 、 2l ．这个问题要求“路径 AMNB 最短”
实际上就是“AM+BN”最短（因为“桥要与河垂直”，桥长是定值，也就是河
两岸的距离）．怎样保证“AM+BN”最短呢？如图 4（1），把 BN 沿与河岸垂
直的方向平移河的宽度到 B′M（B 为定点，则点 B′为定点），则 AM+BN=AM+
B′M，点 A、B′为定点，点 M 为直线 1l 上的动点，所以当 A、M、B′三点在
一直线上时，AM+ B′M 最小．
解：过点 B 作 BB′⊥ 2l ，且 BB′ 等于河宽，连接 AB′ 交 1l 于 M 点，
作 MN⊥ 1l 交 2l 于点 N，则 MN 就为桥所在位置（图 4（2））．
解题策略：运用平移变换，在保持平移后的线段与原来的线段平行
动点最值专题
42 /77
且相等的特性下，把无公共端点的两条线段移到新的位置并“接起来”，变
换成更简单的基本图形．根据“两点之间线段最短”把“两折线”转“直”，
找出最小位置．平移是转化的手段，也是解决问题的关键．
【牛刀小试】
1.在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在
x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边 OB 的中点．
（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点 E 的坐
标；
（2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最
小时，求点 E、F 的坐标。
? 四边形周长最小；
两定两动求四边形周长最小，有两个动点时，那么动点所在的两条直线
就为两条对称轴，再将两定点作关于两对称轴的对称点，分置于对称轴两侧，
再连接，构建“两点间的线段”这一基本图形，通过对称转换，将三条动态
线段重新拼接在一起，利用“两点之间线段最短” 实现“化折为直”，即
得最短路线。
动点最值专题
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例题（2006 北京）如图 8，已知抛物线 ? ?2 0y ax bx c a? ? ? ? 与 y轴交于 A
(0，3 ),与 x轴分别交于 B（1，0）和 C（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式
（2）若点 D 为线段 OA 的三等分点，求直线 DC的解析式
（3）若一个动点 P 自 OA 的中点 M出发，先到达 x轴上某点（设为点 E）,
再到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F），最后运动到点 A，求使点 P运动
的总路径最短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短路径的长．
提示：本题的特征是两个动点、两个定点，两个动点分别在两条直线
上运动，在两条直线上各找一个点使之与两个定点相连构成的四边形周长
（实际还是三线段和，AM 为定值）最小．因此分别构建两个定点关于两个
动点所在直线的对称点，把“三折线”转“直”，从而可求周长的最小值．
【牛刀小试】
如图，正比例函数
3
3
y x? 的图像有一点 B，OB=1，点 A 在 x 轴上，A(3，0),
点 P,Q 分别在射线 OA，OB 上，则 BP+PQ+QA 的最小值是 .
动点最值专题
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1.3 一定两动
一定两动型可转化为“两点之间的连线中，线段最短”＋“垂线段最短”
在这个问题的转换中，关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的
对称点。通过等量代换将问题化为两定一动（将军饮马问题）
? 两动点不随动
一动点分别到一定点和一动点两线段和最小值。方法：让一个动点保持
不动，寻找定点到定直线（动点所在的直线）的最短距离，最后利用折大于
直，斜大于垂。
1．如图△ABC 中，AC＝6，∠BAC＝22.5°，点 M、N分别是射线 AB和 AC 上
动点， 则 CM＋MN 的最小值是 ．
第 1 题 第 2 题 第 3 题
2．如图，在等边△ABC 中，AB＝6，N 为线段 AB 上的任意一点，∠BAC 的平
分线交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连结 BM、MN，则 BM＋MN 的最小值
是 ．
3．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，BD 平分∠ABC，
如果 M、N 分别为 BD、BC 上的动点，那么 CM＋MN 的最小值是 ．
动点最值专题
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4．如图，钝角△ABC 的面积为 18，最长边 AB＝12，BD 平分∠ABC，点 M、N
分别是 BD、BC 上的动点， 则 CM＋MN 的最小值为 ．
5．如图，在锐角△ABC 中，AB＝4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC
于点 D，M、N分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM＋MN 的最小值是 ．
【变式 1】菱形 ABCD 中，∠BAC＝45°，BC＝4 2，M、N、E 分别在 BD、BC、
CD 上运动，则 MN＋ME 的最小值为 ．
【变式 2】点 E 是菱形 ABCD 边 BC 的中点，∠ABC＝60°，P是对角线 BD 上
一点，且满足 PC＋PE＝ 15，则菱形 ABCD 面积的最大值为 ．
【变式 3】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝3，点 E、F分别为 AD、DC
边上的点，且 EF＝2，点 G 为 EF 的中点，点 P为 BC 上一动点，则 PA＋PG
的最小值为 ．
第 4 题图 第 5题图 变式 1 图 变式 2 图
动点最值专题
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7．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB
上的两个动点， 则 BM＋MN 的最小值为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、B、C的坐标分别为(0，
0)、(20，0)、(20，10)．在线段 AC、AB 上各有一动点 M、N，则当 BM＋MN
为最小值时，点 M的坐标是 ．
第 7题 第 8 题
动点最值专题
47 /77
【小结】此类问题处理方法是将双动点转换为单动点，然后利用将军饮
马模型。对于两动点问题可以让其中一个动点暂时保持不动，作此动点的对
称点，从而将双动点转换为单动点，然后利用将军饮马模型，化折为直，最
后利用定点到定直线之间垂线段最短找到最小值。
动点最值专题
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1.4 三动点
例题 如图 11-4 所示，已知 Rt△ ABC中，∠B=90?，AB=3，BC=4，D、E、F
分别是三边 、BC、CA 上的点，则 DE+EF+FD 的最小值为________.
答案：
24
5
提示：作 F关于 AB 的对称点 'F ，交于 AB于 M，作 F 关于 BC 的
对称点 "F ，交于 BC于 N， 'F ， "F 交 AB，BC 于 D，E，当 BF 最短时，DE+EF+FD
最小且为
12 242 2
5 5
BF ? ? ? .
【练习】如图，在等边△ABC 中，AB＝4，P、M、N分别是 BC，CA、AB
边上动点，则 PM＋MN 的最小值是 ．
总之，解决这一类动点最值问题，关键在于善于作定点关于动点所在直
线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。运用数形结合思想，这对
于解决动点最值问题有着事中功倍的作用。
?出现垂直找对称；
?角平分线找对称；
?正方形对角线找对称；
?菱形对角线找对称；
?抛物线对称轴找对称；
?圆中找对称
动点最值专题
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2 PA+k·PB 型
2.1 “胡不归模型”
【问题提出】如图①，已知海岛 A 到海岸公路 BD的距离为 AB，C 为公路
BD 上的酒店，从海岛 A 到酒店 C，先乘船到登陆点 D，船速为 a，再乘汽车，
车速为船速的 n 倍，点 D选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若 n＝2，则时间 t＝
AD
a
＋
CD
2a
，当 a 为定值时，问题转化为：
在 BC上确定一点 D，使得 AD＋
CD
2
的值最小．如图②，过点 C做射线 CM，
使得∠BCM＝30°．
（1）过点 D 作 DE⊥CM，垂足为 E，试说明：DE＝
CD
2
；
（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点 D′，并说明理由．
【问题解决】
（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体
方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．
【模型运用】
（4）如图③，海面上一标志 A 到海岸 BC 的距离 AB＝300m，BC＝300m．救
生员在 C 点处发现标志 A处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑
的速度都是 6m/s，在海中游泳的速度都是 2m/s，求救生员从 C点出发到达
A处的最短时间．
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【套路归纳】
①将所求线段和改写为“PA＋
n
m
PB”的形式（
n
m
＜1）；
②在 PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得 sinα＝
n
m
；
③过 A 作第②步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值．
例题解析：
例 1、（2016?宜兴市一模）如图，抛物线 y=x
2
﹣2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两
点，过 B的直线交抛物线于 E，且 tan∠EBA= ，有一只蚂蚁从 A出发，先
以 1单位/s 的速度爬到线段 BE上的点 D 处，再以 1.25 单位/s 的速度沿着
DE爬到 E 点处觅食，则蚂蚁从 A到 E 的最短时间是 s．
【解答】解：过点 E 作 y轴的平行线，再过 D点作 y轴的平行线，两线相
交于点 H，如图，
∵EH∥AB，
∴∠HEB=∠ABE，
∴tan∠HED=tan∠EBA= = ，
设 DH=4m，EH=3m，则 DE=5m，
∴蚂蚁从 D爬到 E点的时间= =4（s）
若设蚂蚁从 D 爬到 H 点的速度为 1 单位/s，
动点最值专题
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则蚂蚁从 D爬到 H点的时间= =4（s），
∴蚂蚁从 D爬到 E点所用的时间等于从 D 爬到 H 点所用的时间相等，
∴蚂蚁从 A出发，先以 1单位/s 的速度爬到线段 BE上的点 D 处，再以 1.25
单位/s 的速度沿着 DE爬到 E点所用时间等于它从 A以 1单位/s 的速度爬
到 D点，再从 D 点以 1 单位/s 速度爬到 H点的时间，
作 AG⊥EH 于 G，则 AD+DH≥AH≥AG，
∴AD+DH 的最小值为 AQ的长，
当 y=0 时，x
2
﹣2x﹣3=0，解得 x1=﹣1，x2=3，
则 A（﹣1，0），B（3，0），
直线 BE 交 y 轴于 C 点，如图，
在 Rt△OBC 中，∵tan∠CBO= = ，
∴OC=4，则 C（0，4），
设直线 BE的解析式为 y=kx+b，
把 B（3，0），C（0，4）代入得 ，解得 ，
∴直线 BE的解析式为 y=﹣ x+4，
解方程组 得 或 ，则 E 点坐标为（﹣ ， ），
∴AQ= ，
∴蚂蚁从 A爬到 G点的时间= = （s），
即蚂蚁从 A到 E 的最短时间为 s．
故答案为 ．
动点最值专题
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例 2、（2014 成都）如图，已知抛物线 )4)(2(
8
??? xxky （ k为常数，且 0?k ）
与 x轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，经过点 B 的直线
bxy ???
3
3
与抛物线的另一交点为 D．
（1）若点 D 的横坐标为-5，求抛物线的函数
表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点 P，使得
以 A，B，P为顶点的三角形与△ABC 相似，求
k的值；
（3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一
动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1个单位的速度运动到 F，再沿线段
FD以每秒 2个单位的速度运动到 D后停止。当点 F 的坐标是多少时，点 M
在整个运动过程中用时最少？
【解答】解：（1）抛物线 y= （x+2）（x﹣4），
令 y=0，解得 x=﹣2 或 x=4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
动点最值专题
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∵直线 y=﹣ x+b 经过点 B（4，0），
∴﹣ ×4+b=0，解得 b= ，
∴直线 BD 解析式为：y=﹣ x+ ．
当 x=﹣5 时，y=3 ，
∴D（﹣5，3 ）．
∵点 D（﹣5，3 ）在抛物线 y= （x+2）（x﹣4）上，
∴ （﹣5+2）（﹣5﹣4）=3 ，
∴k= ．
∴抛物线的函数表达式为：y= （x+2）（x﹣4）．
（2）方法一：
由抛物线解析式，令 x=0，得 y=﹣k，
∴C（0，﹣k），OC=k．
因为点 P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB 或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图 2﹣1所示．
设 P（x，y），过点 P作 PN⊥x 轴于点 N，则 ON=x，PN=y．
动点最值专题
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tan∠BAC=tan∠PAB，即： ，
∴y= x+k．
∴P（x， x+k），代入抛物线解析式 y= （x+2）（x﹣4），
得 （x+2）（x﹣4）= x+k，整理得：x
2
﹣6x﹣16=0，
解得：x=8 或 x=﹣2（与点 A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴ ，即 ，
解得：k= ．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图 2﹣2所示．
与①同理，可求得：k= ．
综上所述，k= 或 k= ．
方法二：
∵点 P 在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP 为钝角，
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，
∴KAP+KAC=0，
∵C（0，﹣k），A（﹣2，0），
∴KAC=﹣ ，
∴KAP= ，
∵A（﹣2，0），∴lAP：y= x+k，
动点最值专题
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∵抛物线：y= （x+2）（x﹣4），
∴x
2
﹣6x﹣16=0，解得：x=8 或 x=2（舍）
∴P（8，5k），
∵△ABC∽△APB，∴ ，
∴ ，
∴k= ，
②若△ABC∽△APB，则有∠ABC=∠PAB，同理可得：k= ；
（3）方法一：
如答图 3，由（1）知：D（﹣5，3 ），
如答图 2﹣2，过点 D作 DN⊥x 轴于点 N，则 DN=3 ，ON=5，BN=4+5=9，
∴tan∠DBA= = = ，
∴∠DBA=30°．
过点 D 作 DK∥x 轴，则∠KDF=∠DBA=30°．
过点 F 作 FG⊥DK 于点 G，则 FG= DF．
由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF+DF，运动时间：t=AF+ DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线 AF+FG 的长度值．
动点最值专题
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由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点 A 作 AH⊥DK 于点 H，则 t 最小=AH，AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F
点．
∵A点横坐标为﹣2，直线 BD 解析式为：y=﹣ x+ ，
∴y=﹣ ×（﹣2）+ =2 ，
∴F（﹣2，2 ）．
综上所述，当点 F坐标为（﹣2，2 ）时，点 M 在整个运动过程中用时最
少．
方法二：
作 DK∥AB，AH⊥DK，AH 交直线 BD 于点 F，
∵∠DBA=30°，
∴∠BDH=30°，
∴FH=DF×sin30°= ，
∴当且仅当 AH⊥DK 时，AF+FH 最小，
点 M在整个运动中用时为：t= ，
∵lBD：y=﹣ x+ ，
∴FX=AX=﹣2，
∴F（﹣2， ）．
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【套路练习】
1．等边三角形 ABC 的边长为 6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，
其中 BC边在 x轴上，BC 边的高 OA 在 y 轴上．一只电子虫从 A出发，先沿
y轴到达 G点，再沿 GC到达 C 点，已知电子虫在 y 轴上运动的速度是在 GC
上运动速度的 2 倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点 G的坐标
为 ．
【变式】如图，△ABC 在直角坐标系中，AB＝AC，A(0，2 2)，C(1，0)，D
为射线 AO 上一点，一动点 P从 A 出发，运动路径为 A→D→C，点 P在 AD
上的运动速度是在 CD上的 3倍，要使整个运动时间最少，则点 D的坐标应
为 ．
2．如图，一条笔直的公路 l穿过草原，公路边有一消防站 A，距离公路 5
千米的地方有一居民点 B，A、B的直线距离是 13千米．一天，居民点 B着
火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是 80千米/小
时，而在草地上的最快速度是 40千米/小时，则消防车在出发后最快经过
小时可到达居民点 B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地
行驶．）
动点最值专题
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3．如图，在△ACE 中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点 C，且圆的直径
AB在线段 AE 上．
（1）试说明 CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙O的直径 AB；
（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当
1
2
CD＋OD 的
最小值为 6时，求⊙O的直径 AB 的长．
动点最值专题
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4．如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l与 x轴、y轴分别交于点 B(4，
0)、C(0，3)，点 A 为 x轴负半轴上一点，AM⊥BC 于点 M 交 y 轴于点 N，满
足 4CN＝5ON．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A、B、C．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）连接 AC，点 D 在线段 BC 上方的抛物线上，连接 DC、DB，若△BCD 和
△ABC 面积满足 S△BCD＝
3
5
S△ABC，求点 D 的坐标；
（3）如图 2，E 为 OB 中点，设 F 为线段 BC 上一点（不含端点），连接 EF．一
动点 P 从 E出发，沿段 EF以每秒 1个单位的速度运动到 F，再沿着线段 FC
以每秒
5
3
个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，
请直接写出最少时间和此时点 F的坐标．
图 1 图 2
动点最值专题
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5．如图，抛物线 y＝
1
2
x2＋mx＋n与直线 y＝－
1
2
x＋3交于 A，B两点，交 x
轴于 D，C 两点，连接 AC，BC
已知 A(0，3)，C(3，0)．
（1）求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值；
（2）在（1）条件下，设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一
动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段
EA以每秒 2个单位的速度运动到 A后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M
在整个运动中用时最少？
动点最值专题
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【强化训练】
1、已知在平面直角坐标系中， (2,0)A 、 (0,3)B 、 (3,0)C ，设 D 是线段 BC 上
一点（不含端点），连接 AD，一动点 M从点 A出发，沿线段 AD以每秒一个
单位速度运动到 D 点，再沿线段 DB 以每秒 2个单位的速度运动到 B 后停
止，当点 D的坐标是多少时，当 M 在整个运动过程中用时最少？
2、已知在平面直角坐标系中， ( 2,0)A ? 、 ( 5,3 3)B ? 、 (4,0)C ，设 D 为线段 BC
上一点（不含端点），连接 AD，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AD以每秒一
个单位长度运动到 D 点，再沿线段 DB以每秒 2 个单位的速度运动到 B后停
止，当点 D的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？
动点最值专题
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3、在平面直角坐标系中，已知
1( ,0)
2
A 、 (0, 4)B 、 (2,0)C ，设 D 为线段 BC 上
一点（不含端点），连接 AD，一动点 M从点 A出发，沿线段 AD以每秒一个
单位速度运动到 D 点，再沿线段 DB 以每秒 5个单位的速度运动到 B 后停
止，当点 D的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？
4、（2009 北京）如图，在平面直角坐标系 xOy中， ABC? 三个顶点的坐标分
别为 ? ?6,0A ? ， ? ?6,0B ， ? ?0,4 3C ，延长 AC到点 D，使 CD﹦ 12 AC，过点 D作
DE∥AB 交 BC 的延长线于点 E.
（1）求 D 点的坐标；
（2）作 C点关于直线 DE的对称点 F，分别连结 DF、
EF，若过 B 点的直线 y kx b? ? 将四边形 CDFE 分成周
长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设 G 为 y轴上一点，点 P 从直线 y kx b? ? 与 y
动点最值专题
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轴的交点出发，先沿 y轴到达 G点，再沿 GA 到达 A点，若 P 点在 y 轴上运
动的速度是它在直线 GA上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P点按
照上述要求到达 A点所用的时间最短.（要求：简述确定 G 点位置的方法，
但不要求证明）
动点最值专题
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5、（2016 江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的
图像经过点 A（-1，0），B（0，- 3）、C（2，0），其中对称轴与 x轴交于
点 D。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若 P 为 y轴上的一个动点，连接 PD，则 PDPB ?
2
1
的最小值为。
（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。
1 若平面内存在点 N，使得 A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这
样的点 N 共有 个；
2 连接 MA、MB，若∠AMB 不小于 60°，求 t的取值范围。
动点最值专题
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6 、（2015 日照）如图，抛物线 2
1
2
y x mx n? ? ? 与直线 1 3
2
y x? ? ? 交于 A，B
两点，交 x轴与 D，C两点，连接 AC，BC，已知 A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为 y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于
点 Q，问：是否存在点 P使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？若
存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设 E为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M从点 D出发，
沿线段 DE以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA以每秒 2个单位
的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时
最少？
动点最值专题
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2.2 阿氏圆
【题目类型】
求圆上一动点到两定点的距离最小值（系数不为 1的两线段和最值问题）。
例如，点 P为圆 O 动点，C、D为两定点，求 PC+k?PD最小值。
【解题原理】
两线段和最值问题一般需要转化为两点之间线段最短。
求线段和的最值问题，一般依据两点之间线段最短，三角形的两边之和大于第三边，
垂线段最短，同圆或等圆中直径是最长的弦等四条公理货定理。
此题中的“PC+k?PD”是两条线段的线性组合，那么最迫切需要解决的问题是系数
k 的处理，也就是说能否将 k?PD转化为一条以 P 为一个端点的线段，如果能，则可将
问题“PC+k?PD”转化为两条共顶点的线段和求最值问题，即可利用最值四定理解决。
【一般解题步骤】
1. 连接动点至圆心 O（将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接
OP、OD；
2. 计算出所连接的这两条线段 OP、OD 长度；
3. 计算这两条线段长度的比 OP/OD=m；
4. 观察 m值是否为等于所求线段和中的系数 k；
①如果 m=k
? 在这个三角形（△POD）中构造母子三角形相似；
? OP、OD 长度已知且 OP 与 OD 夹角已知，利用 SAS 构造相似(△MOP∽△POD)；
? 构造做法是过动点 P 在另一条固定长度的线段 OD 上找出一点 M，这时候使得
点 M、圆心 O、动点 P 构成的三角形△MOP 与三角形相△POD 似 (△MOP∽△
POD)；如果系数 k 小于 1，在 OD 上找点 M；如果系数 k大于 1，点 M 在 OD 的
延长线上。
? 根据相似求出点 M坐标；
②如果 m≠k
? 如果 m≠k ,一般需要对所求式子 PC+k×PD进行转化；
? 例如 PC+2PD或 PC+1/2PD
? 将 2PC+PD=2（PC+1/2PD）或 PC+1/2PD=1/2（2PC+PD）
动点最值专题
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? 转化后利用步骤①如果 m=k的方法求解 M点。
5. 在利用两点之间线段最短求最小值。
例题讲解：
例 1、如图 1，抛物线 y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与 x 轴交于点 A（4，0），
与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m，0）（0＜m＜4），过点 E 作 x 轴
的垂线交直线 AB于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM⊥AB 于点 M．
（1）求 a 的值和直线 AB的函数表达式；
（2）设△PMN 的周长为 C1，△AEN 的周长为 C2，若 1
2
C
C
＝ 6
5
，求 m 的値；
（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OE绕点 O逆时针旋转得到 OE′，
旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接 E′A、E′B，求 E′A＋
2
3
E′B
的最小值．
动点最值专题
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第 28 题图 1 第 28 题图 2
解：（1）把点 A（4，0）代入 y＝ax2＋(a＋3)x＋3，得
16a＋4(a＋3)＋3＝0．
解得 a＝－
3
4
．
∴抛物线的函数表达式为：y＝－
3
4
x2＋
9
4
x＋3．
把 x＝0代入上式，得 y＝3．
∴点 B 的坐标为（0，3）．
由 A（4，0），B（0，3）可得直线 AB的函数表达式为：
y＝－
3
4
x＋3．
（2）根据题意，得
OE＝m，AE＝4－m，AB＝5，
点 P 的坐标可表示为(m，－
3
4
m 2＋
9
4
m＋3)．
∴PE＝－
3
4
m 2＋
9
4
m＋3……………………………………①
∵△AEN∽△AOB，∴
AN
AB
＝
NE
BO
＝
AE
4
．∴
AN
5
＝
NE
3
＝
4－m
4
．
动点最值专题
69 /77
∴AN＝
5
4
(4－m)， NE＝
3
4
(4－m)．
∵△PMN∽△AEN，且 1
2
C
C
＝ 6
5
，
∴
PN
AN
＝ 6
5
．∴PN ＝ 6
5
AN＝ 6
5
×
5
4
(4－m)＝
3
2
(4－m)．
∴PE＝NE＋PN＝
3
4
(4－m)＋
3
2
(4－m)＝
9
4
(4－m)………②
由①、②，得
－
3
4
m 2＋
9
4
m＋3＝
9
4
(4－m)．
解得 m1＝2，m2＝4(不合题意，舍去)．
∴m 的値为 2．
（3）在（2）的条件下，m 的値为 2，点 E（2，0），OE＝2．
∴OE′＝OE＝2．
如图，取点 F(0，
4
3
)，连接 FE′、AF．
则 OF＝
4
3
，AF＝ 42＋(
4
3
)
2
＝
4
3
10．
第 28 题答案图
动点最值专题
70 /77
∵
OF
OE′
＝
4
3
2
＝
2
3
，
OE′
OB
＝
2
3
， 且 ∠FOE′ ＝ ∠E′OB ，
∴△FOE′∽△E′OB．∴
FE′
E′B
＝
2
3
．∴FE′＝
2
3
E′B．
∴E′A＋
2
3
E′B＝E′A＋FE′≥AF＝
4
3
10．
∴E′A＋
2
3
E′B的最小值为
4
3
10．
巩固练习：
1、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆 C 半径为 2，P
为圆上一动点，连接 AP，BP，
1
2
AP BP? 最小值为（ ）
A、 37 B、6 C、 2 17 D、 4
2、如图，在△ABC 中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点 B为圆心作圆 B与 AC
相切，点 P为圆 B上任一动点，则
2
2
PA PC? 的最小值是 ．
动点最值专题
71 /77
3、如图，菱形 ABCD 的边长为 2，锐角大小为 60°，⊙A 与 BC 相切于点 E，
在⊙A 上任取一点 P，则
3
2
PB PD? 的最小值为 ．
4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P
是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA﹦135°，则 2PD﹢PC 的最小
值是 ．
5、（1）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆
B上的一个动点，求
1
2
PD PC? 的最小值和 1
2
PD PC? 的最大值．
（2）如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B的半径为 6，点 P是圆 B
上的一个动点，求
2
3
PD PC? 的最小值和 2
3
PD PC? 的最大值．
（3）如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B﹦90°，圆 B 的半径为,2，
y
x
动点最值专题
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点 P是圆 B上的一个动点，求
1
2
PD PC? 的最小值和 1
2
PD PC? 的最大值．
图 1 图 2 图 3
动点最值专题
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N
M
E
D
CB
A
三、“费马点”模型
通过“旋转 60°”挪成“折线”，再利用“两点之间线段最短”模型——“费马点”模型
旋转变换是把一个图形绕某个点旋转一个角度，其作用是不改变原有图形
的性质，但改变其位置，使之组合成新的有利论证的图形．有些最值
问题必须通过旋转变换才能转化成基本问题，旋转变换是解决最值难
题的必不可少的手段之一．
【引例】如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M为对角线
BD（不含 B点）上任意一点，将 BM绕点 B逆时针旋转 60°得到 BN，连接
EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小；
②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由；
（3）当 AM＋BM＋CM 的最小值为 3＋1时，求正方形的边长．
动点最值专题
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例 1 如图 1（1），已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的
距离之和的最小值为 2 6? ，求此正方形的边长．
分析：本题已知三条线段的和最小，这三条线段又“碰”在一起，怎
么利用这个条件成了本题的难点．注意到题中有正方形边长相等这样的有
利条件，考虑通过旋转变换把三条线段“展开来”，然后再“接起来”成“三
折线”，让折线的两端放在两个定点，这实际是费尔马问题的变形，只是背
景不同。
D
E
CB
A
图 1（1） 图 1（2） 图 1（3）
解：如图 1（2），连接 AC，把△AEC 绕点 C 顺时针旋转 60°，得到△
GFC，连接 EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC 都是等边三角形，则 EF=CE，
又 FG=AE，所以 AE+BE+CE = BE+EF+FG．
∵ 点 B、点 G为定点（G 为定点 A绕定点 C 顺时针旋转 60°所得），
∴ 线段 BG即为点 E到 A、B、C三点的距离之和的最小值，此时 E、F
两点都在 BG 上（如图 1（3））．
设正方形的边长为a，那么 BO=CO= 2
2
a，GC= 2a, GO= 6
2
a
∴ BG=BO+GO =
2
2
a + 6
2
a
∵ 点 E 到 A、B、C三点的距离之和的最小值为 2 6? ，
动点最值专题
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∴
2
2
a + 6
2
a= 2 6? ，∴ a =2．
解题策略：通过旋转变换，改变线段的位置，优化图形的结构，把高
难度的最值问题转化为“两点之间线段最短”的基本问题．使用这一方法
解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目
出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转 60° 或
90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一
起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决。
【变式 1】如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB＝2，则 AP
＋BP＋CP 的最小值为 ．
【变式 2】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P，BC=6，∠ABC=150°，
则线段 AP+BP+PD 的最小值为 ．
（变式 2） (解答)
动点最值专题
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N
M
E D
CB
A
【变式 3】如图四边形 ABCD 是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE 是等边三角形，
M为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM绕点 B 逆时针旋转 60°得
到 BN，连接 EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形 ABCD 的边长为 1，则 AM＋CM 的最小值 1；
②△AMB≌△ENB；
③S 四边形 AMBE＝S 四边形 ADCM；④连接 AN，则 AN⊥BE；
⑤当 AM＋BM＋CM 的最小值为 2 3时，菱形 ABCD 的边长为 2．
A．①②③ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
动点最值专题
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线段极值解题方略
线段极值有规律
折直斜垂是根据
一条线段易解决
动点轨迹是秘诀
动点定点两边连
定角出来轨迹现
定角定线面对面
动点轨迹必是圆
动点圆心连一连
最大最小在两边
定角若在定线边
动点轨迹是直线
斜大于垂记心间
最小极值就出现
线段之和求极值
折大于直是关键
翻折平移和旋转
还是不行整搬迁
所有和值成一线
求出该长结论现
遇到系数不要怕
相似找线代替它
放大难了缩小易
切记系数应唯一
两个都有提一提
已知线段比一比
系数比值如统一
相似作图很容易
系数比值难统一
这样题目莫动笔
遇到疑难你莫急
解题方略来帮你
（本口诀来自网络）
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