2020春中考数学复习专题——中点问题专题（PDF版，共65页）
文档属性
| 名称 | 2020春中考数学复习专题——中点问题专题（PDF版，共65页） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-29 20:08:54 | ||
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文档简介
中点专题
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中点专题
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目录
秘籍一： 见中点-------倍长中线..........................................................................................................5
【方法说明】...................................................................................................................................... 5
【应用场合】...................................................................................................................................... 5
【典例解析】...................................................................................................................................... 6
【题型分类】...................................................................................................................................... 9
题型一 倍长中线..............................................................................................................................9
题型二：倍长中线应用之证明线段不等........................................................................................11
题型三：倍长中线应用之证明线段相等........................................................................................11
题型四：倍长中线应用之证明线段倍分........................................................................................12
题型五：倍长中线应用之证明线段垂直........................................................................................12
题型六：用中线倍长法来证明或计算角的大小关系................................................................... 12
【提高训练】.................................................................................................................................... 16
秘籍二：见中点（或等分点）-----作平行用相似............................................................................. 19
秘籍三：见多个中点-------构造中位线..............................................................................................24
三角形的中位线................................................................................................................................24
三角形中位线性质运用-------中点四边形..................................................................................28
【巩固练习】.................................................................................................................................... 32
梯形中位线........................................................................................................................................ 38
秘籍三：见等腰三角形底边中点-----连接顶点与中点，构造三线合一......................................... 43
秘籍四：见垂直平分线--------构造等腰三角形............................................................................... 48
秘籍五：见直角三角形与中点--------构造斜边上中线................................................................... 49
秘籍六：中线............................................................................................................................................ 58
题型一：中线等分三角形的面积....................................................................................................58
题型二：三角形中线有关的周长问题............................................................................................59
题型三：三角形中线的线段求值和证明问题............................................................................... 59
题型四：三角形中线有关的面积问题............................................................................................62
秘籍六：圆中的中点................................................................................................................................63
题型一：圆心是中点问题................................................................................................................63
题型二：弧的中点问题：................................................................................................................64
题型三：圆中弦的中点....................................................................................................................65
中点专题
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中点专题
联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。当你遇到中
点时，你会产生哪些联想呢？学习完本专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么？
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字
型”全等三角形）；
5、有中点时常构造垂直平分线；
6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；
7、倍长中线；
8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”。
【知识点睛】
线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它
和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜
边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连。在线段
的计算、线段倍分关系的证明、角的相等关系的证明、两直线位置关系的判定等方面有广泛的应
用。 解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、
构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，熟悉以下基本图形、基本结论：如图所示：
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【技巧提炼】
1、已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：
（1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形；
（2）三角形中位线定理。
2、已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。
3、已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连线用“三线合一”。
4、有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形中斜边
中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加。
【小结】
等腰三角形底边中点，考虑三线合一。
斜边中点，考虑斜边上的中线。
一般中点，考虑中线倍长或构造中位线。
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秘籍一： 见中点-------倍长中线
【方法说明】
所谓“中线倍长”，就是加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相
应的顶点，则对应点、对应边都相等。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。
中线倍长其实就是通过图形旋转来构造三角形全等，从而把分散的已知条件集中起来加以利用，
所以中线倍长的辅助线也可以转化为添平行线，同样能达到解决问题的效果。
【秘籍】倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。
倍长中线做法：遇到三角形的中线时，首先考虑的辅助线是将中线延长一倍，使延长线段
与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
解读：凡是与中点连线的线段都可看作是中线，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以
旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的，构成八字全等。
【应用场合】
添加辅助线---倍长中线，目的就是构造全等三角形，因此往往可用来求线段长、角的度数，
用来证明角相等、线段与线段之间的和、差、倍、分等数量关系，还可以用来证明两条线的位
置关系
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【典例解析】
例 1 如图，已知△ABC 中，AD 是中线，AE 是△ABD 的中线，BA=BD，求证： 2AC AE? .
【提示】
思路 1：如图 1，延长 AE 到点 F，便得 EF=AE，连接 DF.
思路 2：如图 2，延长 AF 到点．F，使得 EF=AE，连接 BF
图 1 图 2
【证 1】延长 AE 到点 F,使得 EF=AE, 连接 DF.
∵ AE 是△ABD 的中线, ∴BE=DE, ∴△ABE≌△FDE(SAS), ∴DF=AB, ∠FDE=∠B,
∵ AD 是△ABC 的中线, ∴BD=DC,
∵ BA=BD, ∴DF=DC, ∠BAD=∠2.
∵∠ADC=∠B+∠BAD, ∠ADF=∠2+∠FDE, ∴∠ADC=∠ADF, ∴△ADF≌△ADC, ∴AF=AC,
∵ AF=2AE, ∴AC=2AE.
【证 2】略
【技巧点评】本题将 AE 延长加倍的好处：如果连接 DF，则可得△ABE≌△FDE；如果连接 BF，
则可证明△ADE≌△FBE. 由全等三角形我们能得出一些相等的线段和相等的角，从而为问题的
最终解决创造条件。
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例 2 如图，△ABC 中，AB=AC，E 为 AB 上一点,F 为 AC 延长线上一点，且 BE=CF，EF 交 BC 于 D，
求证：DE DF? ．
【提示】
思路 1：如图①，过点 E作 EG∥AF，交 BC 于 G;
思路 2：如图②，过点 F作 FH∥AB，交 BC 延长线于点 H.
思路 3：如图③，分别过点 E、点 F 作 EM⊥BC 于 M，FH⊥BC，交 BC 的延长线于 H．
1 ② ③
【证 1】
作 EG∥AF 交 BC 于 G． ∴∠1=∠ACB，∠2=∠F,
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB. ∴∠1=∠B，∴BE=GE
∵BE=CF，∴GE=CF.
在△EDG 和△FDC 中, 2
GE CF
F
EDG FDC
??
?? ? ??
?? ? ??
∴△EDG≌△FDC, ∴DE=DF.
（其余证法类似）
【技巧点评】
本题作辅助线的方法有多种，都是由中点构造 X 型的基本图形来解决问题的．
【总结】两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八
字型”全等三角形）。
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例 3、如图：梯形 ABCD 中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,
E 为 AB 中点，求证：DE⊥EC
E
D
CB
A
例 4、如图 6 所示，已知梯形 ABCD，AD∥BC，点 E是 CD 的中点，连接 AE 、 BE。
求证：S△ABE=
2
1
S 四边形 ABCD。
分析：如果直接证明，是不容易，联想到 AD∥BC，点 E 是 CD 的中点，我们延长 AE，与 BC 的
延长线交于点 F，这样，我们就构造出一对八字型的三角形，
并且这对三角形是全等的。这样，就把三角形 ADE 迁移到三角形 ECF 的位置上，问题就好解
决了。
证明：如图 7 所示，延长 AE，与 BC 的延长线交于点 F，
∵ AD∥BC， ∴ ∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，
又∵ 点 E 是 CD 的中点， ∴ DE=CE，
∴ △ADE≌△FCE， ∴ AE=EF，∴ S△ABE= S△BEF，
∵ S△BEF= S△BEC+ S△ECF= S△BEC+ S△ADE， ∴ S△ABE= S△BEC+ S△ADE，
∵ S△ABE+ S△BEC+ S△ADE= S 四边形 ABCD， ∴ 2 S△ABE= S 四边形 ABCD，
∴ S△ABE=
2
1
S 四边形 ABCD。
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【题型分类】
题型一 倍长中线
【例 1】 已知，如图，△ABC 中，AB=4，AC=6，AD 为 BC 边上的中线，则线段 AD 的取值范围是
_________.
【分析】倍长中线造全等
【简解】延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE，则△BDE≌△CDA,BE=AC, 6 4 6 4AE? ? ? ? ,
1 5AD? ?
【巩固】如图，△ABC 中，BD＝DC＝AC，E是 DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE。
【例 2】如图，已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于 F，
AF＝EF，求证：AC＝BE。
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【巩固 1】如图，在△ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 中点，EF∥AD 交 CA 的延长线于点 F，
交 AB 于点 G，若 BG＝CF，求证：AD 为△ABC 的角平分线。
【巩固 2】在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，点 D 为 BC 的中点，点 E、F 分别为 AB、AC 上的点，且
ED⊥FD。以线段 BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、
直角三角形或钝角三角形？
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题型二：倍长中线应用之证明线段不等
【例 3】如图在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．
题型三：倍长中线应用之证明线段相等
【例 4】如图 2，在△ABC 中，AB＞AC，E 为 BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过 E 作 AD 的
平行线，交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G．求证：BF=CG．
A
2 3
G
B E D C
F
1
B D C
A
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A D B E
C
H
G
F
E
2
B D C
1M
A
3
题型四：倍长中线应用之证明线段倍分
【例 5】如图 4，CB，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且 AC=AB．求证：CE=2CD．
题型五：倍长中线应用之证明线段垂直
【例 6】如图，分别以△ABC 的边 AB，AC 为一边在三角形外作正方形 ABEF 和 ACGH，M 为 FH 的
中点．求证：MA⊥BC．
题型六：用中线倍长法来证明或计算角的大小关系
【例 7】如图所示，点 E是 BC边的中点， CDAB ? ，求证： DBAE ??? .
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【例 8】如图， ABC? 中 ACAB ? ，D、E在 BE上，且 ECDE ? ，过D作 ABDF // ，交
AE于点 F ， ACDF ? ，求证： AE平分 BAC? .
【例 9】如图所示，在 ABC? 中， AD是 BC边上的中线， ACAD ? 于点 A， ACAB 2? ，
求 BAC? 的度数.
变式训练：如图所示，已知 ABC? 中， ACDC ? ，D为 BC边的中点， E为DC 边的中点.
求证： AD平分 BAE? ， CAEB ??? .
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【例 10】如图，在 ABC? 中，AD平分 BAC? ，E是 BC中点，F 是CA延长线上一点,连接
EF 交 AB于点G， 且 CFBG ? ，求证： EFAD // .
变式训练：如图所示，分别以 ACAB, 为边向外作正方形 ABEF和正方形 ACMN .取 BC的中
点D，连接 FNAD, ，判断线段 AD和 FN 的位置关系和数量关系.
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【例 11】如图所示， ,90????? EADBAC M 是 BD的中点， ADAEACAB ?? , ,求证：
.CEAM ?
变式训练：在矩形 ABCD中,点 F 在 AD延长线上, DCDF ? ,M 为 AB边上一点, N 为MD
的中点,点 E在直线CF 上(点 E、C不重合).
（1）如图①,若 BCAB ? ,点M 、 A重合, E为CF 的中点,试探究 BN 与 NE的位置关系及
BM
CE
的值,并证明你的结论;
（2）如图②,若 BCAB ? ,点M 、A不重合, NEBN ? ,你在(1)中得到的两个结论是否成立?
若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
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【提高训练】
例 1、如图,在正方形 ABCD中, E 为 AB 边的中点,G , F 分别为 AD , BC 边上的点,若
EFGEBFAG ??? ，， 21 ,求GF 的长.
例 2、 如图,在 ABC? 中, AD是 BC 边上的中线,过点 B 作射线 BE ,分别交 AC , AD于
E , F 若 3:2: ?FDAF ，求 3:1: ?ECAE 的值.
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例 3、如图，已知M 为 ABC? 中 BC边上的中点， AMCAMB ?? , 的平分线分别交 AB、AC
于点 E、F ,连接 EF 。求证 EFCFBE ??
例 4、如图， ABC? 中，AD是 BAC? 的平分线， ECBE ? ，过 E作 ADGH ? 交 AC , AD，
AB的延长线于H ， F ,G，求证： BGABAC 2??
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变式训练：在 ABC? 中, ??? 90BAC , ACAB ? ,M 是 BC边的中点, BCMN ? 交 AC于点
N ,动点 P从点 B出发,沿射线 BA以每秒 3个长度单位运动,联结MP ,同时Q从点 N 出发,
沿射线NC以一定的速度运动,且始终保持 MPMQ ? ,设运动时间为 x秒.
（1）求证: NMQBMP ?? ∽ ;
（2）若 ??? 60B , 34?AB ,设 APQ? 的面积为 y ,求 y与 x的函数关系式.
（3）判断 BP、PQ、CQ之间的数量关系,并说明理由.
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秘籍二：见中点（或等分点）-----作平行用相似
解法归一：
（1）从中点（或等分点）做平行是最常见的辅助线作法，作平行后得中位线或相似；
（2）题目中有线段比、或线段积、或线段平方时，常借助平行得相似来解决；
（3）题目中相关线段所在三角形一看就不全等时，通常借助相似找关系.
1.如图，已知 OA=OB,OA⊥OB，点 C 为 OB 中点，点 D 在 OA 上且
3
1=
AO
AD
,连结 AC,BD 交于点 P.
求
AP
PC
的值.
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2. 已知，在△ABC 中，BC＞AC,点 D 在△ABC 所在的平面上，且 AD=BC，连结 DC.作过 AB、DC
的中点 E、F 的直线，直线 EF 与直线 AD、BC 分别相交于点 M、N.
如图 3-4-2①，当点 D 在 BC 的延长线上时，点 N 恰好与点 F 重合，取 AC 的中点 H，连结
HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF=∠BNE（不需要证明）.
当点 D 在图 3-4-2②或 3-4-2③中的位置时，∠AMF 与∠BNE 有何数量关系？请分别写出猜
想，并任选一种情况证明.
图 3-4-2① 图 3-4-2② 图 3-4-2③
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3．（1）如图 3-4-9①，在四边形 ABCD 中，AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中点，连结 EF 并延长，
分别与 BA、CD 的延长线交于点 M、N,则∠BME=∠CNE（见例 3-4-2 的图 3-4-2②，不需证明）.
（2）如图 3-4-9②，在△ABC 中，AC>AB,D 点在 AC 上，AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中点，
连结 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若∠EFC=600，连结 GD，判断△AGD 的形状，并证明
你的结论.
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4.已知：在△AOB 与△COD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°.
（1）如图 3-4-11①，点 C、D 分别在边 OA、OB 上，连结 AD、BC，点 M 为线段 BC 的中点，连结
OM，则线段 AD 与 OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图3-4-11②，将图3-4-11①中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）.
连结 AD、BC，点 M 为线段 BC 的中点，连结 OM.请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立.若成
立，请证明；若不成立，请说明理由.
图3-4-11① 图3-4-11②
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5.如图 3-5-11，在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=10，F 为 AD 的中点，CE⊥AB 于 E，设∠ABC=?
（600? ? ? 900）.
(1) 当? =600时，求 CE 的长.
(2) 当 600＜ ? ＜900时，
1 是否存在正整数 k，使得∠EFD=k∠AEF，若存在，求出 K 的值；若不存在，请说明理由.
2 连结 CF，当 CE2-CF2取得最大值时，求 tan∠DCF 的值.
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秘籍三：见多个中点-------构造中位线
解读：凡是出现中点或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，或连接中点，
从而达到构造三角形中位线的目的。
三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （如下图： DE为△ABC的一条中位
线）注意：中位线和中线的的区别（AF 为中线）．
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
【秘籍】三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
三角形中位线性质的证明方法：（思想：借助全等，转化为三角形中位线解决问题）
（1）通过旋转图形构造基本图形──平行四边形（2）三个顶点分别向中位线作垂线．
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例题 1 （2014?南岗区一模）如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，点 E在 AC 上，CE=2AE，
AD=9，BE=10，AD 与 BE 交于点 F，则△ABC 的面积是 54 ．
【考点】三角形中位线定理；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】如图，取 CE 的中点 G，连接 DG．构建△BCE 和△ADG 中位线，利用三角形中位线定理
易求 DG、EF 的长度．则 BF=BE﹣EF；再在△BFD 中，由勾股定理求得 BD=6；最后由三角形面积
公式进行解答．
【解答】解：如图，取 CE 的中点 G，连接 DG．
∵△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，即点 D 是 BC 的中点，
∴GD 是△BCE 的中位线，
∴DG∥BE，DG= BE=5．
又∵CE=2AE，
∴AE=GE，即点 E 是 AG 的中点，
∴点 F 是 AD 的中点，
∴AF=DF=4.5，EF 是△ADG 的中位线，
∴EF= DG=2.5，
∴BF=BE﹣EF=7.5．
则在直角△BFD 中，由勾股定理易求 BD=6．
∴BC=12．
则△ABC 的面积是： BC?AD= ×12×9=54．
故答案是：54．
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例题 2 （2015?龙岩）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点 D 以每秒 1 个单位
长度的速度由点 A 向点 B 匀速运动，到达 B 点即停止运动，M，N 分别是 AD，CD 的中点，连接
MN，设点 D 运动的时间为 t．
（1）判断 MN 与 AC 的位置关系；
（2）求点 D 由点 A向点 B 匀速运动的过程中，线段 MN 所扫过区域的面积；
（3）若△DMN 是等腰三角形，求 t 的值．
【分析】（1）利用三角形中位线证明即可；
（2）分别取△ABC 三边 AC，AB，BC 的中点 E，F，G，并连接 EG，FG，根据题意可得线段 MN 扫
过区域的面积就是?AFGE 的面积求解即可；
（3）分三种情况：①当 MD=MN=3 时，②当 MD=DN，③当 DN=MN 时，分别求解△DMN 为等腰三角
形即可．
【解答】解：（1）∵在△ADC 中，M 是 AD 的中点，N是 DC 的中点，
∴MN∥AC；
（2）如图 1，分别取△ABC 三边 AC，AB，BC 的中点 E，F，G，并连接 EG，FG，
根据题意可得线段 MN 扫过区域的面积就是?AFGE 的面积，
∵AC=6，BC=8，
∴AE=3，GC=4，
∵∠ACB=90°，
∴S 四边形 AFGE=AE?GC=3×4=12，
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∴线段 MN 所扫过区域的面积为 12．
（3）据题意可知：MD= AD，DN= DC，MN= AC=3，
①当 MD=MN=3 时，△DMN 为等腰三角形，此时 AD=AC=6，
∴t=6，
②当 MD=DN 时，AD=DC，如图 2，过点 D 作 DH⊥AC 交 AC 于 H，则 AH= AC=3，
∵cosA= = ，
∴ = ，解得 AD=5，
∴AD=t=5．
③如图 3，当 DN=MN=3 时，AC=DC，连接 MC，则 CM⊥AD，
∵cosA= = ，即 = ，
∴AM= ，
∴AD=t=2AM= ，
综上所述，当 t=5 或 6 或 时，△DMN 为等腰三角形．
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三角形中位线性质运用-------中点四边形
1. 观察探究，完成证明和填空．
如图，四边形 ABCD中，点 E、 F 、G、H分别是边 AB、CB、CD、 AD的中点，
顺次连接 E、F 、G、H ，得到的四边形 EFGH 叫中点四边形．
（1）如图，当四边形 ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形 ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形 ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形 ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形 ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（2）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
解答方法：仿照上题我们可以很轻松知道这个题目也是要连接对角线然后利用对角线构成三角
形在结合中位线的相关性质进行推导分析
答案： （1） 填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；
（2）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
解答方法：仿照上题我们可以很轻松知道这个题目也是要连接对角线然后利用对角线构成三角
形在结合中位线的相关性质进行推导分析
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【方法总结】
1 注意如果题目中没有能接着利用条件的图形我们要适当做一些变形。
2 注意复习巩固平行四边形的相关判定。
可以跟孩子思考总结：
顺次连结平行四边形
各边中点
所得的四边形是什么？
平行四边形 顺次连结等腰梯形
各边中点
所得的四边形是什么？
菱形
顺次连结矩形
各边中点
所得的四边形是什么？
菱形 顺次连结对角线相等
各边中点
所得的四边形是什么？
菱形
顺次连结菱形
各边中点
所得的四边形是什么？
矩形 顺次连结对角线垂直
各边中点
所得的四边形是什么？
矩形
顺次连结正方形
各边中点
所得的四边形是什么？
正方形 顺次连结对角线相等且垂直
各边中点
所得的四边形是什么？
正方形
顺次连结梯形
各边中点
所得的四边形是什么？
平行四边形
【方法归纳】中点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明
例 1 求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。
已知：如图 4 所示，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。求证：
四边形 EFGH 是平行四边形。
中点专题
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【分析】由 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，
我们就自然联想到三角形的中位线定理，但是在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只
要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了,运用三角形中位线定理。
【解析】证明：连接 BD，∵ E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。
∴ EF∥AC ，EF =
2
1
AC， GH∥AC，GH=
2
1
AC， ∴ EF∥GH，EF=GH，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
中点四边形
2. ⑴ 如图1，四边形 ABCD 为矩形，求证四边形 EFGH 是菱形
(2) 如图2，若 AC＝BD,则四边形 EFGH 的形状是什么？
【解析】连 AC、BD，用三角形中位线定理
3.⑴如图1，四边形 ABCD 为菱形，求证四边形 EFGH 是矩形
（2）如图2，若 AC⊥BD,则四边形 EFGH 的形状？
【解析】 连 AC，BD
则 AC⊥BD，
先证 EFGH 为平行四边形，
再证∠FEH＝90°
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即可
4. ⑴ 如图1，四边形 ABCD 为正方形，则四边形 EFGH 的形状？
（2） 如图2，若 AC＝BD，AC⊥BD,求证四边形 EFGH 为正方形.
【解析】证 EFGH 为平行四边形,
再证 EF＝EH,
∠FEH＝90°
5.四边形 ABCD 中，AB＝CD,E、F、G、H 分别为 BD、BC、AC、AD 的中点，求证四边形 EFGH 是菱
形.
【解析】证 EFGH 为平行四边形,再证 EF＝EH
6.如图，CA＝CB,CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝90°，M、N、G、H分别为
AE、AB、BD、DE 的中点，求证四边形 MNGH 为正方形.
【解析】连 BE、AD 证△BCE≌△ACD,BE＝AD,BE⊥AD,先证 MNGH 为菱形，
再证∠MNG＝90°即可.
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H
G
F
E
D
CB
A
H
G
F
E
D
CB
A
H
G
F
E
D
CB
A
【巩固练习】
1．已知，任意四边形 ABCD，E、F、G、H分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，依次连接点 E、F、G、
H得四边形 EFGH，则四边形 EFGH 是什么四边形？为什么？
2．已知，任意四边形 ABCD，AC=BD，E、F、G、H分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，依次连接点
E、F、G、H 得四边形 EFGH，则四边形 EFGH 是什么四边形？为什么？
3．已知，任意四边形 ABCD，AC⊥BD，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，依次连接点
E、F、G、H 得四边形 EFGH，则四边形 EFGH 是什么四边形？为什么？
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H
G
F
E
D
CB
A
4．已知，任意四边形 ABCD，AC=BD 且 AC⊥BD，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，
依次连接点 E、F、G、H得四边形 EFGH，则四边形 EFGH 是什么四边形？为什么？
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5. 已知：AB=CD，AN=ND，BM=CM,BG=GD。求证：∠F=∠CEM。
G
N D
MB C
F
A
E
6. 如图，四边形 ABCD 中 AB=CD，E、F、M 分别是 AD、BC、BD 中点，求证：△EMF 是等腰三角
形。
B F
E
D
C
A
M
7.如图，四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 是 AD、BC 中点，GH⊥EF 交 AB、CD 于点 G、H，求证：
∠AGH=∠DHG。
B F
E
D
C
A
G
H
8.如图，四边形 ABCD 中，∠ABC+∠DCB=90
0
，E、F、G、H 是 AD、BC、BD、AD 中点，求证：EF=GH。
A
H
G
E
D
CB F
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9.四边形 ABCD 中，AB=7，CD=3，M、N分别为 AD、BC 的中点，求 MN 的范围。
CN
M
D
B
A
一组中点，一组相等
10. 已知：在△ABC 的两边 AB 、AC 上分别取 BD=CE，F、G 分别为 DE、BC 的中点，∠A 的平分
线 AT 交 BC 于 T ，求证：FG∥AT
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对边中点
11. 已知：ABCD 是凸四边形，且 AC于 N，AC 和 BD 交于 G 点． 求证：∠GMN>∠GNM．
一组相等， 一组中点
12. 如图、四边 ABCD 中，AB=CD，M、N 分别为 AD、BC 的中点，EF⊥MN 交 AB 于 E，交 CD 于 F。
求证：∠AEF=∠DFE
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对边等量关系，对角线中点
13. 已知，如图，在四边形 ABCD 中， CDAB
5
4
? ，E 和 F 分别是 BD、AC 的中点，, ABEF
8
3
? 。
求证： ABDBEF ????? 90
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梯形中位线
1. 定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：连接两底或者一腰一底的线段不是中位线．（如下图）
NM
B C
A D
F
E
B C
A D
F
E
B C
A D
2. 梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
如右：若： BCAD∥ ， MBAM ? ， NCDN ? ，
则： BCMN∥ ， ADMN∥ ，
)(
2
1 BCADMN ??
梯形中位线性质的证明方法：
（1）连结一条对角线（2）过上底一端作一腰平行线（3）过一腰中点作另一腰平等线．
梯形中位线性质运用
例题 1 如图，在梯形 ABCD中， AD∥ BC，对角线 AC⊥ BD，且 12AC ? ， 9BD ? ．求
此梯形的中位线长．
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解题思路：想去梯形中位线的长或者是把上下两底都求出来 或者是把他们的和表示出来 题目
中给到的条件AC、BD的长没法直接用，按照之前我们学习的梯形的辅助线做法作DE∥AC，
交BC的延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，根据已知及平行四边形的性质得梯形的
中位线等于BE的一半，根据勾股定理可求得BE的长，从而不难求得其中位线的长．
答案：解：作DE∥AC，交BC的延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，
∴AD CE? ，
∵AC BD? ，
∴∠BDE 90? ?，
∴梯形的中位线长= ? ?1 1 1AD BC) CE BC BE
2 2 2
? ? ? ?（ ，
因为 BE= 15129 2222 ???? DEBD ，
∴梯形的中位线长=
2
15
．
【牛刀小试】
等腰梯形 ABCD中， AD∥BC，对角线 AC⊥ BD， 8DE cm? ，求它的中位线长．
答案：梯形的中位线长=
15
2
．
A
C
D
B E
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例题 2 如图，梯形 ABCD中， AD∥ BC， BC > AD， E、F 分别是 AC、 BD的中点．
求证： ? ?EF BC AD? ? ．
解题思路：EF的中点条件没法直接利用故而我们需要进行一步转
化可以连接AE并延长，交BC于点 G 或CE、DA延长线相交于G 均可．根据全等三角形的
判定和性质易证明EF是构造的三角形的中位线，根据三角形的中位线定理就可证明．
方法一图 方法二图
答案： 方法一：图所示，连接AE并延长，交BC于点G．
∵AD∥BC，
∴∠ADE =∠GBE，∠EAD =∠EGB，
又∵E为BD中点，
∴△AED≌△GEB． ∴BG AD? ， AE EG? ．
在△AGC中，EF为中位线，
∴ ? ? ? ?1 1 1EF GC BC BG BC AD
2 2 2
? ? ? ? ?
即 ? ?1EF BC AD
2
? ?
方法二：如图所示，设CE、DA延长线相交于G．
∵E为BD中点， AD∥BC，易得△GED≌△CEB．
∴GD CB? ， GE CE? ．
在△CAG中，∵E， F分别为CG，CA中点
∴ ? ? ? ?1 1 1EF GA GD AD BC AD
2 2 2
? ? ? ? ?
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例题 3 如图，在梯形 ABCD中，E、F 分别为 AD、CB的中点，G、H 分别为 BD、 AC
的中点，且E、 F 、G、H 四点在一条直线上， 6AB ? ， 6CD ? ．
求：（1） EF、 EG的长；
（2）试说明GH 与 AB的位置关系；
（3）你能计算GH 的长吗？请写出你的算法并求出结果．
解题思路：本题中有梯形中位线 有三角形中位线 由 EF 是梯形的中位线知，
1EF AB CD 8
2
? ? ?（ ） ；
由EG是三角形的中位线知， 1EG 3
2
AB? ? ；∵EG∥AB，∴GH∥AB，由EG HF 3? ? ，
EF 8? ，可得GH 2? ．
答案 ：（1）∵ E、F分别为AD、BC的中点，则EF为梯形 ABCD的中位线，
∴ EF∥AB， 1EF AB CD 8
2
? ? ?（ ）
∵ E、G分别为AD、BD的中点，
∴ EG为三角形 ABD的中位线，EG 3? ；
（2）由①知：GH∥AB；
（3）GH EH EG? ? ．
因为E、H分别为AD、AC的中点，
EH为三角形ADC的中位线，
EH 5? ，EG GH 2? ?
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【巩固训练】
1．如图，梯形 ABCD中，AD∥ BC，对角线 AC⊥ AB，且 AB = AC， BD = BC．求∠DBC
的度数．
2．已知等腰梯形 ABCD中， AD∥ BC，对角线 AC， AB互相垂直，中位线长为 8．求梯形
ABCD的面积．
3．如图，已知梯形 ABCD中， AB∥CD， E、 F 、G分别为 AB、 AD、CB的中点，如
EF EG? ．
求证：梯形 ABCD是等腰梯形．
答案：1． 30? 2．64? 3．联接AC、BD，由中位线相等得到对角线相等，对角线相等
的梯形是等腰梯形的证．
A
B C
D
A B
CD
E
F G
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秘籍三：见等腰三角形底边中点-----连接顶点与中点，构造三线合一
解读：只要出现等腰三角形，或等腰三角形与中点时，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破
口；
其他位置的也要能看出
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
例 1、如图 1 所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 M 为 BC 中点，MN⊥AC 于点 N，则 MN
等于【 】
A．
6
5
B．
9
5
C．12
5
D．16
5
分析：由 AB=AC=5，所以，三角形 ABC 是等腰三角形，且边 BC 是底边；由点 M为 BC 中点，
如果连接 AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到 AM 是底边 BC 上的高线，这样就能求出三角
形 ABC 的面积，而三角形 AMC 的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形 AMC 中利用三角形的
面积公式，求可以求得 MN 的长。
解: 连接 AM， ∵ AB=AC=5 , 点 M 为 BC 中点 ∴ AM⊥BC，
在直角三角形 AMC 中，AC=5，CM=
2
1
BC=3, ∴ AM=
2222 35 ???CMAC =4，
S△ABC= 2
1
×BC×AM=
2
1
×6×4=12 , S△ACM= 2
1
S△ABC =6；
∴ 6=
2
1
×AC×MN， ∴ MN=
5
12
. 所以，选择 C。
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2、角平分线+中线=等腰三角形（三线合一）
例 2 如图 1，已知ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线.
求证：AB=AC.
设计思想：1、本题是一道一般图形的中点问题，希望通过这道题揭示此类问
题的通法. 由于线段本身就是中心对称图形，而中点就是它的对称中心，因
此若是题目中出现了线段的中点，则应充分利用线段的中心对称的性质，将
别的条件依托中点构造成中心对称图形，这样就能将分散的条件巧妙地集中
起来，这是中点问题最常用的一类辅助线.另一方面，由于三角形的中位线能将线段在位置上进
行平移,同时还能将线段的长度在数量上进行缩放，因此中位线也是中点问题的另一个有力的武
器，它也能将分散的条件巧妙地集中起来，或使隐藏的条件显露出来.因此一般图形的中点问题
的通法是:利用中点构造中心对称图形和作中位线这两种方法.
2、本题还是一道易错题，学生容易错成逆用三线合一性质或错成直接证明ΔABD 和ΔACD
全等。
提示: 如图 2，要证明边相等，由题意知只需要证明相关的角相等，而由已知得到的角∠1=
∠2 又不在同一个三角形中，因此必须利用中点移动条件，使已知条件集中在同一个三角形中，
于是构造中心对称图形或作出中位线，就可以移动∠1 或∠2的位置，使它们集中在同一个三角
形中.
方法一：如图 2，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连结 BE.
易证：EB=AC，∠E=∠2.
得 ∠1=∠E，于是 AB=EB.得 AB=AC.
方法二：如图 3，取 AB 的中点 E,连结 DE，
则 DE 为中位线，DE
2
1
AC，
得∠EDA=∠2,∠EDA=∠1.
∴DE=AE .
∵AE=
2
1
AB，DE =
2
1
AC
∴AB=AC .
图 2
21
A
B C
E
D
图 3
21
A
B C
D
E
A
B C
D
图 1
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例3. 如图1,已知ΔABC中,D是BC的中点,DE⊥DF.
求证:BE+CF>EF.
图 1
设计思想：本题仍然是一般图形中的中点问题,由于上例已经给出了此类问题的通法，希望
通过本题来加强认识，可先让学生仿照上例的做法试着做本题，然后讲解.
分析：要证BE+CF>EF，很显然要利用三角形三边的不等关系，而这三条线段BE、CF、EF又不
在同一个三角形中，因此必须移动它们的位置，使他们集中在同一个三角形中.由于有中点，而
利用中点构造中心对称图形或作出中位线都能很好地实现移形这一目的.
方法一:如图2，延长ED到M,使DM=DE,连结MC和MF,
易证ΔMCD≌ΔEBD,
∴BE=CM.
∵DE⊥DF, DM=DE,
∴EF=MF.
在ΔFCM中，∵CF+CM>MF ∴BE+CF>EF.
说明：延长FD到N,使DN=DF,连结BN和NE也可以.
方法二:如图3，连结BF，取BF的中点M, 取EF的中点H，连结DM、DH、MH，
∴DM，MH为中位线.
∴DM=
1
2
CF，MH=
1
2
BE.
在Rt△EDF中，H为EF的中点，
∴DH=
1
2
EF.
在ΔDMH中，MH+MD>DH,
∴BE+CF>EF.
说明:连结CE，取CE的中点M, 取EF的中点H，连结DM、MH、DH也可以.
A
B C
M
E F
D
图 2
图 3
A
B C
E F
D
M
H
中点专题
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例题4. 已知：如图1，BD、CE分别是 ABC? 的外角平分线，过点 A作 BDAF ? ， CEAG ? ，
垂足分别为F 、G，连接 FG，延长 AF 、 AG，与直线 BC相交，易证
? ?ACBCABFG ???
2
1
.
（1） BD、CE分别是 ABC? 的内角平分线（图 2）；
（2） BD为 ABC? 的内角平分线，CE为 ABC? 的外角平分线（图 3），则在图 2、图 3
两种情况下，线段 FG与 ABC? 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明其中
的一种情况.
例题 5. 如图，在 Rt ABC? 中， ??? 90BAC ， CA BA? ， ????? 15DCADAC ，求证：
BA BD? .
（法一：三角形 CBD 做对称
法 2：以 AD 为边构造等边三角形）
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【提升训练】
1.已知：如图，矩形 ABCD，E 为 CB 延长线上一点，且 AC=CE，F 为 AE 中点，
求证： FDBF ? .
A D
C
F
E
2. 已知 Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，D为 AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕 D 点旋转，
它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于 E、F．（1）当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE⊥AC 于 E
时（如图 1），易证 S△DEF+S△CEF= S△ABC；
（2）当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2和图 3 这两种情况下，上述结论是否成
立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，
不需证明．
【分析】连 CD，△CED≌△BFD，在图 2 中， DEF CEF CDE CDF CDBS S S S S? ? ? ? ?? ? ? ? .
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秘籍四：见垂直平分线--------构造等腰三角形
例题 1： 如图，已知 D为△ABC 的边 BC 的中点，DE⊥DF，则 BE+CF( )
A.大于 EF B. 小于 EF C. 等于 EF D.与 EF 的大小关系无法确定.
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秘籍五：见直角三角形与中点--------构造斜边上中线
【秘籍】只要出现直角三角形，或直角，还有中点，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条
等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。注：有关此类辅助线常常由中点倍
长引出，再构造直角三角形。
他位置的也要能看出
性质模型一：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
原理：矩形的对角线互相平分且相等
证明：如图，以 Rt ABC? 的两条直角边 ,AB BC 为邻边作矩形 ABCD，对角线 AC、
BD 交于点O ，由于矩形的对角线互相平分且相等， 1 1
2 2
BO BD AC? ? ? ，即
Rt ABC? 斜边上的中线等于斜边 AC的一半。
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直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
作用：①证明线段相等或求线段长；
②构造角相等进行等量代换。
判定模型二：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这边的对角必为直角，该三角形为直
角三角形。
原理：对角线相等的平行四边形是矩形。
证明：如图，以Rt ABC? 的两边 ,AB BC 为邻边作平行四边形 ABCD，对角线 AC、BD
交于点O，由于平行四边形的对角线互相平分， 2BD BO AC? ? ? ， ABCD?? 是矩
形， ABC? 为直角，即 ABC? 为直角三角形。
作用：判定三角形为直角三角形，为勾股定理等知识的运用创造条件。
直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
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例 1、在三角形 ABC 中，AD 是三角形的高，点 D 是垂足，点 E、F、G分别是 BC、AB、AC 的
中点，
求证：四边形 EFGD 是等腰梯形。
分析：由点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点，根据三角形中位线定理，知道 FG∥BC,FE
∥AC，FE=
2
1
AC，由直角三角形 ADC，DG 是斜边上的中线，因此，DG=
2
1
AC，所以，EF=DG，这
样，我们就可以说明梯形 EFGD 是等腰梯形了。
证明：∵ 点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点， ∴ FG∥BC ， FE∥AC，FE=
2
1
AC，
∵ AD 是三角形的高， ∴ △ADC 是直角三角形，
∵ DG 是斜边上的中线， ∴DG=
2
1
AC， ∴DG=EF, ∴梯形 EFGD 是等腰梯形。
例 2、如图：锐角△ABC 中，BE、CF 是高点 M、N 分别是 BC、EF 的中点，求证：MN⊥EF.
证明：连接 ME，MF．
则有 ME= BC，MF= BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴ME=MF．
又∵N为 EF 中点，∴MN⊥EF．
解析：遇到直角+中点，应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质。
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例 3、（南充市中考题）如图，△ABC 与△CDE 均为等腰直角三角形，点 B、C、D 在一条直线上，
点 M 是 AE 的中点，下列结论：① +ABC CDE ACES S S? ? ?? ，② BM DM? ，③ BM DM? .正确结论
的个数是（ ）
例 4、如图，已知 AB CDP ， E、F 分别为 AC、BD 的中点，若 AB=5，CD=3，则 EF 的长是( )
A.4 B. 3 C. 1 D.1
例5、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于 D、M为BC的中点，AB=10cm,则 MD的长为__________.
【分析】取 AB 中点 N，为直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理应用创造条件.
【简解】取 AB 中点 N，连接 ND、NM，则MN ACP ,∠NMD=∠C，∠NDB=∠B，从而
1 5
2
DM DN AB? ? ? (cm)
中点专题
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【小结】
解法归一：见直角三角形斜边上的中点和等腰三角形底边的中点，连中线，找边、角、线段的
相等关系，或借助三点共圆进行角转化。
1、连结直角三角形斜边上的中线后，得两个等腰三角形、三条等线段，并且三顶点共圆；
2、特别地，等腰直角三角形斜边上中线把它分为两全等的等腰直角三角形，出现 4个 45°角、
2组等边、2 组长度为 1： 2 的边；
3、逆用可以判定一个三角形是直角三角形.
《直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半》的专题训练
（1）作斜边中线，利用斜边中线性质解题
1.如图，在 ABCRt? 中，AB=AC， ??? 90BAC ，O为 BC 的中点.
①写出点 O 到 ABC? 的三个顶点 A、B、C 的距离的关系（不变证明）
②如果点 N、M 分别在线段 AB、AC 上移动，在移动中保证 AN=BM，请判断 OMN 的形状，并证明
你的结论.
（2）有底中点，连中线，利用等腰三角形三线合一性质证题
2. 如图，在锐角三角形 ABC 中，AD⊥BC 于 D,E、F、G 分别是 AC、AB、BC 的中点。
求证：四边形 OEFG 是等腰梯形。
中点专题
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3、如图所示，BD、CE 是三角形 ABC 的两条高，M、N 分别是 BC、DE 的中点
求证：MN⊥DE
4、已知梯形 ABCD 中，∠B+∠C＝90o，EF 是两底中点的连线，试说明 AB－AD＝2EF
中点专题
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5、如图，四边形 ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o，点 M、N 分别是 BD、AC 的中点。MN、AC 的位置关
系如何？证明你的猜想。
6、过矩形 ABCD 对对角线 AC 的中点 O作 EF⊥AC 分别交 AB、DC 于 E、F，点 G 为 AE 的中点，若
∠AOG＝30o 求证：3OG=DC
中点专题
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7、如图所示；过矩形 ABCD 的顶点 A 作一直线，交 BC 的延长线于点 E，F 是 AE 的中点，连接
FC、FD。 求证：∠FDA=∠FCB
8、 如图 3-2-2，在 Rt△POQ 中，OP=OQ=4.把三角尺的直角顶点放在斜边 PQ 中点 M 处，以 M 为
旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点 A、B．
（1）求证：MA=MB；
（2）连接 AB.探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值.若存在，求出最小
值；若不存在，请说明理由．
图 3-2-2
中点专题
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9、如图 3-2-9，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为 AC 的中线，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，过点 A
作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连接 BG、DF.若 AG=13，
CF=6，则四边形 BDFG 的周长为 .
10、如图,以△ABC 的边 AB、AC 为斜边在△ABC 外作 Rt△ABD 和 Rt△ACE,且∠ABD=∠ACE,P 是
BC 的中点,求证：PD=PE
中点专题
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秘籍六：中线
题型一：中线等分三角形的面积
我们知道：对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.
下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法.
解法归一：遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助
中线等分三角形面积来解决.
1．你用三种不同的方法把图 3-l-l①~图 3-l -1③中△ABC 的面积四等分．
图 3-l-l① 图 3-l-1② 图 3-l-1③
2．请你在图 3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形 ABCD 的面积二等分.
图 3-l-2④ 图 3-l -2⑤ 图 3-l -2⑥
交流分享：（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；（2）借助
一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一.
3．如图,设 M 是△ABC 的重心,且 AM=3,BM=4,CM=5,则△ABC 的面积为________.
【分析】将分散的勾股数集中到一个三角形中，利用重心的性质，重心到顶点的距离是到对边
中点距离的 2 倍，可解. 【简解】延长 MD 到 N，使 DN=DM，连接 CN，可证△BDM≌△CDN,，
CN=BM=4，MN=2DN=AM=3，△CMN 的面积为 6，从而△ABC 面积 18.
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题型二：三角形中线有关的周长问题
1. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线.已知 AB=7cm,AC=5cm.求△ABD 和△ACD 的周长的差.
变式：①在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线.若已知 AB=AC，BC=3cm,若△ABD 的周长比△ACD 的
周长多 1cm，求△ABC 的周长.
②若△ABD 的周长与△ACD 的周长之差为 1cm，求△ABC 的周长.
③若 BC=2cm, △ABD 的周长与△ACD 的周长之差为 1cm，求△ABC 的周长.
题型三：三角形中线的线段求值和证明问题
1.如图，AD 为△ABC 的中线，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交 AB,AC 于 E,F.
求证：BE+CF>EF.
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2.若 AD 是△ABC 的中线，DE⊥AC,DF⊥AB,E,F 分别是垂足.已知 AB=3AC，求 DE 与 DF 的长度之
比.
3.如图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q为 BC 延长线上一点，当
PA＝CQ 时，连结 PQ 交 AC 于 D，则 DE 的长为（ ）
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
1
4
4.（2015?河北区一模）已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD
边上的 P 点处
（Ⅰ）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA．若△OCP 与△PDA 的面积比为
1：4，求边 CD 的长．
（Ⅱ）如图 2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连接 BP．动点 M 在线段 AP 上（点
M与点 P、A 不重合），动点 N在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连接 MN 交 PB 于点 F，作 ME⊥
BP 于点 E．试问当动点 M、N在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变
化规律．若不变，求出线段 EF 的长度．
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5.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，ABP 从点 B 出发沿射线 BA 以 3 cm/s 的速度运动.同时，动点 Q 从点 N 出发沿射线 NC 运动，且
始终保持 MQ⊥MP.设运动时间为 t（s）(t>0).
(1)△PBM 与△QNM 相似吗？请说明理由.
(2)若∠ABC=60°，AB=4 3 cm.
1 求动点 Q 的运动速度；②设△APQ 的面积为 S（cm
2
）,求 S 关于 t的函数关系式.
(3)探索
2BQ , 2PQ , 2CQ 三者之间的数量关系，以图 1为例说明理由.
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题型四：三角形中线有关的面积问题
1. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，试判断△ABD 与△ACD 的面积的数量关系.
2.如图，AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线.
(1)△ABD 与△ADC 的面积有何关系？请说明理由？
(2)若△GFC 的面积 S△GFC=1，求△ABC 的面积.
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秘籍六：圆中的中点
题型一：圆心是中点问题
1. 如图，已知⊙O的半径为 10，CD 为 16，且 AE⊥CD 于 E，BF⊥CD 于 F，求 AE-BF 的值.
2. 如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 是 AC 中点，⊙O经过 A,B,D 三点，CB 的延长线交⊙O 于
E，连接 AE,OD.根据以上条件，写出四个正确的结论.(半径相等及勾股定理结论除外，且不
得添加辅助线)
3.(2015 温州)如图，C 是以 AB 为直径的半圆 O上一点，连接 AC,BC，分别以 AC,BC 为边向外作
正方形ACDE,BCFG.DE,FC,弧 AC,弧 BC的中点分别是M,N,P,Q.若 MP+NQ=14,AC+BC=18,则 AB的长
为（ ）
A. 29 B.
9
70
C.13 D.16
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题型二：弧的中点问题：
1. 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 是弧 AB 的中点，点 D 是弧 AC 的中点，连接 AC,BD 交
于点 E，则求
BE
DE
的值.
2.如图，在⊙O中，P 为弧 BAC 的中点，PD⊥CD,CD 交⊙O于点 A,若 AC=3,AD=2,
则 AB= .
2. 如图，已知△ABC 中，D 为 AC 上一点，且 AD=DC+CB,过点 D作 AC 的垂线交外接圆于点
M，求证：M为优弧 AN 的中点.
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题型三：圆中弦的中点
秘籍：圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
例题 如图 8所示，AB是⊙O 的弦，点C是 AB 的中点，若 8cmAB ? ， 3cmOC ? ，则⊙O 的
半径为 cm．
分析：由点 C 是 AB 的中点，联想到圆的垂径定理，知道 OC⊥AB，这样在直角三角形 AOC
中根据勾股定理，就可以求得圆的半径。
解：∵ 点 C 是 AB 的中点， ∴ OC⊥AB， ∵ AB=8, ∴ AC=4
在直角三角形 AOC 中，AC=4,OC=3, ∴ OA=
2222 43 ???OCAC =5(cm)，因此，
圆的半径是 5cm。
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目录
秘籍一： 见中点-------倍长中线..........................................................................................................5
【方法说明】...................................................................................................................................... 5
【应用场合】...................................................................................................................................... 5
【典例解析】...................................................................................................................................... 6
【题型分类】...................................................................................................................................... 9
题型一 倍长中线..............................................................................................................................9
题型二：倍长中线应用之证明线段不等........................................................................................11
题型三：倍长中线应用之证明线段相等........................................................................................11
题型四：倍长中线应用之证明线段倍分........................................................................................12
题型五：倍长中线应用之证明线段垂直........................................................................................12
题型六：用中线倍长法来证明或计算角的大小关系................................................................... 12
【提高训练】.................................................................................................................................... 16
秘籍二：见中点（或等分点）-----作平行用相似............................................................................. 19
秘籍三：见多个中点-------构造中位线..............................................................................................24
三角形的中位线................................................................................................................................24
三角形中位线性质运用-------中点四边形..................................................................................28
【巩固练习】.................................................................................................................................... 32
梯形中位线........................................................................................................................................ 38
秘籍三：见等腰三角形底边中点-----连接顶点与中点，构造三线合一......................................... 43
秘籍四：见垂直平分线--------构造等腰三角形............................................................................... 48
秘籍五：见直角三角形与中点--------构造斜边上中线................................................................... 49
秘籍六：中线............................................................................................................................................ 58
题型一：中线等分三角形的面积....................................................................................................58
题型二：三角形中线有关的周长问题............................................................................................59
题型三：三角形中线的线段求值和证明问题............................................................................... 59
题型四：三角形中线有关的面积问题............................................................................................62
秘籍六：圆中的中点................................................................................................................................63
题型一：圆心是中点问题................................................................................................................63
题型二：弧的中点问题：................................................................................................................64
题型三：圆中弦的中点....................................................................................................................65
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联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。当你遇到中
点时，你会产生哪些联想呢？学习完本专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么？
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字
型”全等三角形）；
5、有中点时常构造垂直平分线；
6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；
7、倍长中线；
8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”。
【知识点睛】
线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它
和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜
边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连。在线段
的计算、线段倍分关系的证明、角的相等关系的证明、两直线位置关系的判定等方面有广泛的应
用。 解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、
构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，熟悉以下基本图形、基本结论：如图所示：
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【技巧提炼】
1、已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：
（1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形；
（2）三角形中位线定理。
2、已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。
3、已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连线用“三线合一”。
4、有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形中斜边
中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加。
【小结】
等腰三角形底边中点，考虑三线合一。
斜边中点，考虑斜边上的中线。
一般中点，考虑中线倍长或构造中位线。
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秘籍一： 见中点-------倍长中线
【方法说明】
所谓“中线倍长”，就是加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相
应的顶点，则对应点、对应边都相等。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。
中线倍长其实就是通过图形旋转来构造三角形全等，从而把分散的已知条件集中起来加以利用，
所以中线倍长的辅助线也可以转化为添平行线，同样能达到解决问题的效果。
【秘籍】倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。
倍长中线做法：遇到三角形的中线时，首先考虑的辅助线是将中线延长一倍，使延长线段
与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
解读：凡是与中点连线的线段都可看作是中线，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以
旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的，构成八字全等。
【应用场合】
添加辅助线---倍长中线，目的就是构造全等三角形，因此往往可用来求线段长、角的度数，
用来证明角相等、线段与线段之间的和、差、倍、分等数量关系，还可以用来证明两条线的位
置关系
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【典例解析】
例 1 如图，已知△ABC 中，AD 是中线，AE 是△ABD 的中线，BA=BD，求证： 2AC AE? .
【提示】
思路 1：如图 1，延长 AE 到点 F，便得 EF=AE，连接 DF.
思路 2：如图 2，延长 AF 到点．F，使得 EF=AE，连接 BF
图 1 图 2
【证 1】延长 AE 到点 F,使得 EF=AE, 连接 DF.
∵ AE 是△ABD 的中线, ∴BE=DE, ∴△ABE≌△FDE(SAS), ∴DF=AB, ∠FDE=∠B,
∵ AD 是△ABC 的中线, ∴BD=DC,
∵ BA=BD, ∴DF=DC, ∠BAD=∠2.
∵∠ADC=∠B+∠BAD, ∠ADF=∠2+∠FDE, ∴∠ADC=∠ADF, ∴△ADF≌△ADC, ∴AF=AC,
∵ AF=2AE, ∴AC=2AE.
【证 2】略
【技巧点评】本题将 AE 延长加倍的好处：如果连接 DF，则可得△ABE≌△FDE；如果连接 BF，
则可证明△ADE≌△FBE. 由全等三角形我们能得出一些相等的线段和相等的角，从而为问题的
最终解决创造条件。
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例 2 如图，△ABC 中，AB=AC，E 为 AB 上一点,F 为 AC 延长线上一点，且 BE=CF，EF 交 BC 于 D，
求证：DE DF? ．
【提示】
思路 1：如图①，过点 E作 EG∥AF，交 BC 于 G;
思路 2：如图②，过点 F作 FH∥AB，交 BC 延长线于点 H.
思路 3：如图③，分别过点 E、点 F 作 EM⊥BC 于 M，FH⊥BC，交 BC 的延长线于 H．
1 ② ③
【证 1】
作 EG∥AF 交 BC 于 G． ∴∠1=∠ACB，∠2=∠F,
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB. ∴∠1=∠B，∴BE=GE
∵BE=CF，∴GE=CF.
在△EDG 和△FDC 中, 2
GE CF
F
EDG FDC
??
?? ? ??
?? ? ??
∴△EDG≌△FDC, ∴DE=DF.
（其余证法类似）
【技巧点评】
本题作辅助线的方法有多种，都是由中点构造 X 型的基本图形来解决问题的．
【总结】两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八
字型”全等三角形）。
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例 3、如图：梯形 ABCD 中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,
E 为 AB 中点，求证：DE⊥EC
E
D
CB
A
例 4、如图 6 所示，已知梯形 ABCD，AD∥BC，点 E是 CD 的中点，连接 AE 、 BE。
求证：S△ABE=
2
1
S 四边形 ABCD。
分析：如果直接证明，是不容易，联想到 AD∥BC，点 E 是 CD 的中点，我们延长 AE，与 BC 的
延长线交于点 F，这样，我们就构造出一对八字型的三角形，
并且这对三角形是全等的。这样，就把三角形 ADE 迁移到三角形 ECF 的位置上，问题就好解
决了。
证明：如图 7 所示，延长 AE，与 BC 的延长线交于点 F，
∵ AD∥BC， ∴ ∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，
又∵ 点 E 是 CD 的中点， ∴ DE=CE，
∴ △ADE≌△FCE， ∴ AE=EF，∴ S△ABE= S△BEF，
∵ S△BEF= S△BEC+ S△ECF= S△BEC+ S△ADE， ∴ S△ABE= S△BEC+ S△ADE，
∵ S△ABE+ S△BEC+ S△ADE= S 四边形 ABCD， ∴ 2 S△ABE= S 四边形 ABCD，
∴ S△ABE=
2
1
S 四边形 ABCD。
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【题型分类】
题型一 倍长中线
【例 1】 已知，如图，△ABC 中，AB=4，AC=6，AD 为 BC 边上的中线，则线段 AD 的取值范围是
_________.
【分析】倍长中线造全等
【简解】延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE，则△BDE≌△CDA,BE=AC, 6 4 6 4AE? ? ? ? ,
1 5AD? ?
【巩固】如图，△ABC 中，BD＝DC＝AC，E是 DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE。
【例 2】如图，已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于 F，
AF＝EF，求证：AC＝BE。
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【巩固 1】如图，在△ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 中点，EF∥AD 交 CA 的延长线于点 F，
交 AB 于点 G，若 BG＝CF，求证：AD 为△ABC 的角平分线。
【巩固 2】在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，点 D 为 BC 的中点，点 E、F 分别为 AB、AC 上的点，且
ED⊥FD。以线段 BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、
直角三角形或钝角三角形？
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题型二：倍长中线应用之证明线段不等
【例 3】如图在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．
题型三：倍长中线应用之证明线段相等
【例 4】如图 2，在△ABC 中，AB＞AC，E 为 BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过 E 作 AD 的
平行线，交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G．求证：BF=CG．
A
2 3
G
B E D C
F
1
B D C
A
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12 / 65
A D B E
C
H
G
F
E
2
B D C
1M
A
3
题型四：倍长中线应用之证明线段倍分
【例 5】如图 4，CB，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且 AC=AB．求证：CE=2CD．
题型五：倍长中线应用之证明线段垂直
【例 6】如图，分别以△ABC 的边 AB，AC 为一边在三角形外作正方形 ABEF 和 ACGH，M 为 FH 的
中点．求证：MA⊥BC．
题型六：用中线倍长法来证明或计算角的大小关系
【例 7】如图所示，点 E是 BC边的中点， CDAB ? ，求证： DBAE ??? .
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【例 8】如图， ABC? 中 ACAB ? ，D、E在 BE上，且 ECDE ? ，过D作 ABDF // ，交
AE于点 F ， ACDF ? ，求证： AE平分 BAC? .
【例 9】如图所示，在 ABC? 中， AD是 BC边上的中线， ACAD ? 于点 A， ACAB 2? ，
求 BAC? 的度数.
变式训练：如图所示，已知 ABC? 中， ACDC ? ，D为 BC边的中点， E为DC 边的中点.
求证： AD平分 BAE? ， CAEB ??? .
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【例 10】如图，在 ABC? 中，AD平分 BAC? ，E是 BC中点，F 是CA延长线上一点,连接
EF 交 AB于点G， 且 CFBG ? ，求证： EFAD // .
变式训练：如图所示，分别以 ACAB, 为边向外作正方形 ABEF和正方形 ACMN .取 BC的中
点D，连接 FNAD, ，判断线段 AD和 FN 的位置关系和数量关系.
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【例 11】如图所示， ,90????? EADBAC M 是 BD的中点， ADAEACAB ?? , ,求证：
.CEAM ?
变式训练：在矩形 ABCD中,点 F 在 AD延长线上, DCDF ? ,M 为 AB边上一点, N 为MD
的中点,点 E在直线CF 上(点 E、C不重合).
（1）如图①,若 BCAB ? ,点M 、 A重合, E为CF 的中点,试探究 BN 与 NE的位置关系及
BM
CE
的值,并证明你的结论;
（2）如图②,若 BCAB ? ,点M 、A不重合, NEBN ? ,你在(1)中得到的两个结论是否成立?
若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
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【提高训练】
例 1、如图,在正方形 ABCD中, E 为 AB 边的中点,G , F 分别为 AD , BC 边上的点,若
EFGEBFAG ??? ，， 21 ,求GF 的长.
例 2、 如图,在 ABC? 中, AD是 BC 边上的中线,过点 B 作射线 BE ,分别交 AC , AD于
E , F 若 3:2: ?FDAF ，求 3:1: ?ECAE 的值.
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例 3、如图，已知M 为 ABC? 中 BC边上的中点， AMCAMB ?? , 的平分线分别交 AB、AC
于点 E、F ,连接 EF 。求证 EFCFBE ??
例 4、如图， ABC? 中，AD是 BAC? 的平分线， ECBE ? ，过 E作 ADGH ? 交 AC , AD，
AB的延长线于H ， F ,G，求证： BGABAC 2??
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变式训练：在 ABC? 中, ??? 90BAC , ACAB ? ,M 是 BC边的中点, BCMN ? 交 AC于点
N ,动点 P从点 B出发,沿射线 BA以每秒 3个长度单位运动,联结MP ,同时Q从点 N 出发,
沿射线NC以一定的速度运动,且始终保持 MPMQ ? ,设运动时间为 x秒.
（1）求证: NMQBMP ?? ∽ ;
（2）若 ??? 60B , 34?AB ,设 APQ? 的面积为 y ,求 y与 x的函数关系式.
（3）判断 BP、PQ、CQ之间的数量关系,并说明理由.
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秘籍二：见中点（或等分点）-----作平行用相似
解法归一：
（1）从中点（或等分点）做平行是最常见的辅助线作法，作平行后得中位线或相似；
（2）题目中有线段比、或线段积、或线段平方时，常借助平行得相似来解决；
（3）题目中相关线段所在三角形一看就不全等时，通常借助相似找关系.
1.如图，已知 OA=OB,OA⊥OB，点 C 为 OB 中点，点 D 在 OA 上且
3
1=
AO
AD
,连结 AC,BD 交于点 P.
求
AP
PC
的值.
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2. 已知，在△ABC 中，BC＞AC,点 D 在△ABC 所在的平面上，且 AD=BC，连结 DC.作过 AB、DC
的中点 E、F 的直线，直线 EF 与直线 AD、BC 分别相交于点 M、N.
如图 3-4-2①，当点 D 在 BC 的延长线上时，点 N 恰好与点 F 重合，取 AC 的中点 H，连结
HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF=∠BNE（不需要证明）.
当点 D 在图 3-4-2②或 3-4-2③中的位置时，∠AMF 与∠BNE 有何数量关系？请分别写出猜
想，并任选一种情况证明.
图 3-4-2① 图 3-4-2② 图 3-4-2③
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3．（1）如图 3-4-9①，在四边形 ABCD 中，AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中点，连结 EF 并延长，
分别与 BA、CD 的延长线交于点 M、N,则∠BME=∠CNE（见例 3-4-2 的图 3-4-2②，不需证明）.
（2）如图 3-4-9②，在△ABC 中，AC>AB,D 点在 AC 上，AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中点，
连结 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若∠EFC=600，连结 GD，判断△AGD 的形状，并证明
你的结论.
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4.已知：在△AOB 与△COD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°.
（1）如图 3-4-11①，点 C、D 分别在边 OA、OB 上，连结 AD、BC，点 M 为线段 BC 的中点，连结
OM，则线段 AD 与 OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图3-4-11②，将图3-4-11①中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）.
连结 AD、BC，点 M 为线段 BC 的中点，连结 OM.请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立.若成
立，请证明；若不成立，请说明理由.
图3-4-11① 图3-4-11②
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5.如图 3-5-11，在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=10，F 为 AD 的中点，CE⊥AB 于 E，设∠ABC=?
（600? ? ? 900）.
(1) 当? =600时，求 CE 的长.
(2) 当 600＜ ? ＜900时，
1 是否存在正整数 k，使得∠EFD=k∠AEF，若存在，求出 K 的值；若不存在，请说明理由.
2 连结 CF，当 CE2-CF2取得最大值时，求 tan∠DCF 的值.
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秘籍三：见多个中点-------构造中位线
解读：凡是出现中点或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，或连接中点，
从而达到构造三角形中位线的目的。
三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （如下图： DE为△ABC的一条中位
线）注意：中位线和中线的的区别（AF 为中线）．
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
【秘籍】三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
三角形中位线性质的证明方法：（思想：借助全等，转化为三角形中位线解决问题）
（1）通过旋转图形构造基本图形──平行四边形（2）三个顶点分别向中位线作垂线．
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例题 1 （2014?南岗区一模）如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，点 E在 AC 上，CE=2AE，
AD=9，BE=10，AD 与 BE 交于点 F，则△ABC 的面积是 54 ．
【考点】三角形中位线定理；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】如图，取 CE 的中点 G，连接 DG．构建△BCE 和△ADG 中位线，利用三角形中位线定理
易求 DG、EF 的长度．则 BF=BE﹣EF；再在△BFD 中，由勾股定理求得 BD=6；最后由三角形面积
公式进行解答．
【解答】解：如图，取 CE 的中点 G，连接 DG．
∵△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，即点 D 是 BC 的中点，
∴GD 是△BCE 的中位线，
∴DG∥BE，DG= BE=5．
又∵CE=2AE，
∴AE=GE，即点 E 是 AG 的中点，
∴点 F 是 AD 的中点，
∴AF=DF=4.5，EF 是△ADG 的中位线，
∴EF= DG=2.5，
∴BF=BE﹣EF=7.5．
则在直角△BFD 中，由勾股定理易求 BD=6．
∴BC=12．
则△ABC 的面积是： BC?AD= ×12×9=54．
故答案是：54．
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例题 2 （2015?龙岩）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点 D 以每秒 1 个单位
长度的速度由点 A 向点 B 匀速运动，到达 B 点即停止运动，M，N 分别是 AD，CD 的中点，连接
MN，设点 D 运动的时间为 t．
（1）判断 MN 与 AC 的位置关系；
（2）求点 D 由点 A向点 B 匀速运动的过程中，线段 MN 所扫过区域的面积；
（3）若△DMN 是等腰三角形，求 t 的值．
【分析】（1）利用三角形中位线证明即可；
（2）分别取△ABC 三边 AC，AB，BC 的中点 E，F，G，并连接 EG，FG，根据题意可得线段 MN 扫
过区域的面积就是?AFGE 的面积求解即可；
（3）分三种情况：①当 MD=MN=3 时，②当 MD=DN，③当 DN=MN 时，分别求解△DMN 为等腰三角
形即可．
【解答】解：（1）∵在△ADC 中，M 是 AD 的中点，N是 DC 的中点，
∴MN∥AC；
（2）如图 1，分别取△ABC 三边 AC，AB，BC 的中点 E，F，G，并连接 EG，FG，
根据题意可得线段 MN 扫过区域的面积就是?AFGE 的面积，
∵AC=6，BC=8，
∴AE=3，GC=4，
∵∠ACB=90°，
∴S 四边形 AFGE=AE?GC=3×4=12，
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∴线段 MN 所扫过区域的面积为 12．
（3）据题意可知：MD= AD，DN= DC，MN= AC=3，
①当 MD=MN=3 时，△DMN 为等腰三角形，此时 AD=AC=6，
∴t=6，
②当 MD=DN 时，AD=DC，如图 2，过点 D 作 DH⊥AC 交 AC 于 H，则 AH= AC=3，
∵cosA= = ，
∴ = ，解得 AD=5，
∴AD=t=5．
③如图 3，当 DN=MN=3 时，AC=DC，连接 MC，则 CM⊥AD，
∵cosA= = ，即 = ，
∴AM= ，
∴AD=t=2AM= ，
综上所述，当 t=5 或 6 或 时，△DMN 为等腰三角形．
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三角形中位线性质运用-------中点四边形
1. 观察探究，完成证明和填空．
如图，四边形 ABCD中，点 E、 F 、G、H分别是边 AB、CB、CD、 AD的中点，
顺次连接 E、F 、G、H ，得到的四边形 EFGH 叫中点四边形．
（1）如图，当四边形 ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形 ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形 ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形 ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形 ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（2）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
解答方法：仿照上题我们可以很轻松知道这个题目也是要连接对角线然后利用对角线构成三角
形在结合中位线的相关性质进行推导分析
答案： （1） 填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；
（2）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
解答方法：仿照上题我们可以很轻松知道这个题目也是要连接对角线然后利用对角线构成三角
形在结合中位线的相关性质进行推导分析
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【方法总结】
1 注意如果题目中没有能接着利用条件的图形我们要适当做一些变形。
2 注意复习巩固平行四边形的相关判定。
可以跟孩子思考总结：
顺次连结平行四边形
各边中点
所得的四边形是什么？
平行四边形 顺次连结等腰梯形
各边中点
所得的四边形是什么？
菱形
顺次连结矩形
各边中点
所得的四边形是什么？
菱形 顺次连结对角线相等
各边中点
所得的四边形是什么？
菱形
顺次连结菱形
各边中点
所得的四边形是什么？
矩形 顺次连结对角线垂直
各边中点
所得的四边形是什么？
矩形
顺次连结正方形
各边中点
所得的四边形是什么？
正方形 顺次连结对角线相等且垂直
各边中点
所得的四边形是什么？
正方形
顺次连结梯形
各边中点
所得的四边形是什么？
平行四边形
【方法归纳】中点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明
例 1 求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。
已知：如图 4 所示，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。求证：
四边形 EFGH 是平行四边形。
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【分析】由 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，
我们就自然联想到三角形的中位线定理，但是在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只
要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了,运用三角形中位线定理。
【解析】证明：连接 BD，∵ E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。
∴ EF∥AC ，EF =
2
1
AC， GH∥AC，GH=
2
1
AC， ∴ EF∥GH，EF=GH，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
中点四边形
2. ⑴ 如图1，四边形 ABCD 为矩形，求证四边形 EFGH 是菱形
(2) 如图2，若 AC＝BD,则四边形 EFGH 的形状是什么？
【解析】连 AC、BD，用三角形中位线定理
3.⑴如图1，四边形 ABCD 为菱形，求证四边形 EFGH 是矩形
（2）如图2，若 AC⊥BD,则四边形 EFGH 的形状？
【解析】 连 AC，BD
则 AC⊥BD，
先证 EFGH 为平行四边形，
再证∠FEH＝90°
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即可
4. ⑴ 如图1，四边形 ABCD 为正方形，则四边形 EFGH 的形状？
（2） 如图2，若 AC＝BD，AC⊥BD,求证四边形 EFGH 为正方形.
【解析】证 EFGH 为平行四边形,
再证 EF＝EH,
∠FEH＝90°
5.四边形 ABCD 中，AB＝CD,E、F、G、H 分别为 BD、BC、AC、AD 的中点，求证四边形 EFGH 是菱
形.
【解析】证 EFGH 为平行四边形,再证 EF＝EH
6.如图，CA＝CB,CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝90°，M、N、G、H分别为
AE、AB、BD、DE 的中点，求证四边形 MNGH 为正方形.
【解析】连 BE、AD 证△BCE≌△ACD,BE＝AD,BE⊥AD,先证 MNGH 为菱形，
再证∠MNG＝90°即可.
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H
G
F
E
D
CB
A
H
G
F
E
D
CB
A
H
G
F
E
D
CB
A
【巩固练习】
1．已知，任意四边形 ABCD，E、F、G、H分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，依次连接点 E、F、G、
H得四边形 EFGH，则四边形 EFGH 是什么四边形？为什么？
2．已知，任意四边形 ABCD，AC=BD，E、F、G、H分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，依次连接点
E、F、G、H 得四边形 EFGH，则四边形 EFGH 是什么四边形？为什么？
3．已知，任意四边形 ABCD，AC⊥BD，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，依次连接点
E、F、G、H 得四边形 EFGH，则四边形 EFGH 是什么四边形？为什么？
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H
G
F
E
D
CB
A
4．已知，任意四边形 ABCD，AC=BD 且 AC⊥BD，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，
依次连接点 E、F、G、H得四边形 EFGH，则四边形 EFGH 是什么四边形？为什么？
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5. 已知：AB=CD，AN=ND，BM=CM,BG=GD。求证：∠F=∠CEM。
G
N D
MB C
F
A
E
6. 如图，四边形 ABCD 中 AB=CD，E、F、M 分别是 AD、BC、BD 中点，求证：△EMF 是等腰三角
形。
B F
E
D
C
A
M
7.如图，四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 是 AD、BC 中点，GH⊥EF 交 AB、CD 于点 G、H，求证：
∠AGH=∠DHG。
B F
E
D
C
A
G
H
8.如图，四边形 ABCD 中，∠ABC+∠DCB=90
0
，E、F、G、H 是 AD、BC、BD、AD 中点，求证：EF=GH。
A
H
G
E
D
CB F
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9.四边形 ABCD 中，AB=7，CD=3，M、N分别为 AD、BC 的中点，求 MN 的范围。
CN
M
D
B
A
一组中点，一组相等
10. 已知：在△ABC 的两边 AB 、AC 上分别取 BD=CE，F、G 分别为 DE、BC 的中点，∠A 的平分
线 AT 交 BC 于 T ，求证：FG∥AT
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对边中点
11. 已知：ABCD 是凸四边形，且 AC
一组相等， 一组中点
12. 如图、四边 ABCD 中，AB=CD，M、N 分别为 AD、BC 的中点，EF⊥MN 交 AB 于 E，交 CD 于 F。
求证：∠AEF=∠DFE
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对边等量关系，对角线中点
13. 已知，如图，在四边形 ABCD 中， CDAB
5
4
? ，E 和 F 分别是 BD、AC 的中点，, ABEF
8
3
? 。
求证： ABDBEF ????? 90
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梯形中位线
1. 定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：连接两底或者一腰一底的线段不是中位线．（如下图）
NM
B C
A D
F
E
B C
A D
F
E
B C
A D
2. 梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
如右：若： BCAD∥ ， MBAM ? ， NCDN ? ，
则： BCMN∥ ， ADMN∥ ，
)(
2
1 BCADMN ??
梯形中位线性质的证明方法：
（1）连结一条对角线（2）过上底一端作一腰平行线（3）过一腰中点作另一腰平等线．
梯形中位线性质运用
例题 1 如图，在梯形 ABCD中， AD∥ BC，对角线 AC⊥ BD，且 12AC ? ， 9BD ? ．求
此梯形的中位线长．
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解题思路：想去梯形中位线的长或者是把上下两底都求出来 或者是把他们的和表示出来 题目
中给到的条件AC、BD的长没法直接用，按照之前我们学习的梯形的辅助线做法作DE∥AC，
交BC的延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，根据已知及平行四边形的性质得梯形的
中位线等于BE的一半，根据勾股定理可求得BE的长，从而不难求得其中位线的长．
答案：解：作DE∥AC，交BC的延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，
∴AD CE? ，
∵AC BD? ，
∴∠BDE 90? ?，
∴梯形的中位线长= ? ?1 1 1AD BC) CE BC BE
2 2 2
? ? ? ?（ ，
因为 BE= 15129 2222 ???? DEBD ，
∴梯形的中位线长=
2
15
．
【牛刀小试】
等腰梯形 ABCD中， AD∥BC，对角线 AC⊥ BD， 8DE cm? ，求它的中位线长．
答案：梯形的中位线长=
15
2
．
A
C
D
B E
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例题 2 如图，梯形 ABCD中， AD∥ BC， BC > AD， E、F 分别是 AC、 BD的中点．
求证： ? ?EF BC AD? ? ．
解题思路：EF的中点条件没法直接利用故而我们需要进行一步转
化可以连接AE并延长，交BC于点 G 或CE、DA延长线相交于G 均可．根据全等三角形的
判定和性质易证明EF是构造的三角形的中位线，根据三角形的中位线定理就可证明．
方法一图 方法二图
答案： 方法一：图所示，连接AE并延长，交BC于点G．
∵AD∥BC，
∴∠ADE =∠GBE，∠EAD =∠EGB，
又∵E为BD中点，
∴△AED≌△GEB． ∴BG AD? ， AE EG? ．
在△AGC中，EF为中位线，
∴ ? ? ? ?1 1 1EF GC BC BG BC AD
2 2 2
? ? ? ? ?
即 ? ?1EF BC AD
2
? ?
方法二：如图所示，设CE、DA延长线相交于G．
∵E为BD中点， AD∥BC，易得△GED≌△CEB．
∴GD CB? ， GE CE? ．
在△CAG中，∵E， F分别为CG，CA中点
∴ ? ? ? ?1 1 1EF GA GD AD BC AD
2 2 2
? ? ? ? ?
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例题 3 如图，在梯形 ABCD中，E、F 分别为 AD、CB的中点，G、H 分别为 BD、 AC
的中点，且E、 F 、G、H 四点在一条直线上， 6AB ? ， 6CD ? ．
求：（1） EF、 EG的长；
（2）试说明GH 与 AB的位置关系；
（3）你能计算GH 的长吗？请写出你的算法并求出结果．
解题思路：本题中有梯形中位线 有三角形中位线 由 EF 是梯形的中位线知，
1EF AB CD 8
2
? ? ?（ ） ；
由EG是三角形的中位线知， 1EG 3
2
AB? ? ；∵EG∥AB，∴GH∥AB，由EG HF 3? ? ，
EF 8? ，可得GH 2? ．
答案 ：（1）∵ E、F分别为AD、BC的中点，则EF为梯形 ABCD的中位线，
∴ EF∥AB， 1EF AB CD 8
2
? ? ?（ ）
∵ E、G分别为AD、BD的中点，
∴ EG为三角形 ABD的中位线，EG 3? ；
（2）由①知：GH∥AB；
（3）GH EH EG? ? ．
因为E、H分别为AD、AC的中点，
EH为三角形ADC的中位线，
EH 5? ，EG GH 2? ?
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【巩固训练】
1．如图，梯形 ABCD中，AD∥ BC，对角线 AC⊥ AB，且 AB = AC， BD = BC．求∠DBC
的度数．
2．已知等腰梯形 ABCD中， AD∥ BC，对角线 AC， AB互相垂直，中位线长为 8．求梯形
ABCD的面积．
3．如图，已知梯形 ABCD中， AB∥CD， E、 F 、G分别为 AB、 AD、CB的中点，如
EF EG? ．
求证：梯形 ABCD是等腰梯形．
答案：1． 30? 2．64? 3．联接AC、BD，由中位线相等得到对角线相等，对角线相等
的梯形是等腰梯形的证．
A
B C
D
A B
CD
E
F G
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秘籍三：见等腰三角形底边中点-----连接顶点与中点，构造三线合一
解读：只要出现等腰三角形，或等腰三角形与中点时，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破
口；
其他位置的也要能看出
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
例 1、如图 1 所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 M 为 BC 中点，MN⊥AC 于点 N，则 MN
等于【 】
A．
6
5
B．
9
5
C．12
5
D．16
5
分析：由 AB=AC=5，所以，三角形 ABC 是等腰三角形，且边 BC 是底边；由点 M为 BC 中点，
如果连接 AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到 AM 是底边 BC 上的高线，这样就能求出三角
形 ABC 的面积，而三角形 AMC 的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形 AMC 中利用三角形的
面积公式，求可以求得 MN 的长。
解: 连接 AM， ∵ AB=AC=5 , 点 M 为 BC 中点 ∴ AM⊥BC，
在直角三角形 AMC 中，AC=5，CM=
2
1
BC=3, ∴ AM=
2222 35 ???CMAC =4，
S△ABC= 2
1
×BC×AM=
2
1
×6×4=12 , S△ACM= 2
1
S△ABC =6；
∴ 6=
2
1
×AC×MN， ∴ MN=
5
12
. 所以，选择 C。
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2、角平分线+中线=等腰三角形（三线合一）
例 2 如图 1，已知ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线.
求证：AB=AC.
设计思想：1、本题是一道一般图形的中点问题，希望通过这道题揭示此类问
题的通法. 由于线段本身就是中心对称图形，而中点就是它的对称中心，因
此若是题目中出现了线段的中点，则应充分利用线段的中心对称的性质，将
别的条件依托中点构造成中心对称图形，这样就能将分散的条件巧妙地集中
起来，这是中点问题最常用的一类辅助线.另一方面，由于三角形的中位线能将线段在位置上进
行平移,同时还能将线段的长度在数量上进行缩放，因此中位线也是中点问题的另一个有力的武
器，它也能将分散的条件巧妙地集中起来，或使隐藏的条件显露出来.因此一般图形的中点问题
的通法是:利用中点构造中心对称图形和作中位线这两种方法.
2、本题还是一道易错题，学生容易错成逆用三线合一性质或错成直接证明ΔABD 和ΔACD
全等。
提示: 如图 2，要证明边相等，由题意知只需要证明相关的角相等，而由已知得到的角∠1=
∠2 又不在同一个三角形中，因此必须利用中点移动条件，使已知条件集中在同一个三角形中，
于是构造中心对称图形或作出中位线，就可以移动∠1 或∠2的位置，使它们集中在同一个三角
形中.
方法一：如图 2，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连结 BE.
易证：EB=AC，∠E=∠2.
得 ∠1=∠E，于是 AB=EB.得 AB=AC.
方法二：如图 3，取 AB 的中点 E,连结 DE，
则 DE 为中位线，DE
2
1
AC，
得∠EDA=∠2,∠EDA=∠1.
∴DE=AE .
∵AE=
2
1
AB，DE =
2
1
AC
∴AB=AC .
图 2
21
A
B C
E
D
图 3
21
A
B C
D
E
A
B C
D
图 1
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例3. 如图1,已知ΔABC中,D是BC的中点,DE⊥DF.
求证:BE+CF>EF.
图 1
设计思想：本题仍然是一般图形中的中点问题,由于上例已经给出了此类问题的通法，希望
通过本题来加强认识，可先让学生仿照上例的做法试着做本题，然后讲解.
分析：要证BE+CF>EF，很显然要利用三角形三边的不等关系，而这三条线段BE、CF、EF又不
在同一个三角形中，因此必须移动它们的位置，使他们集中在同一个三角形中.由于有中点，而
利用中点构造中心对称图形或作出中位线都能很好地实现移形这一目的.
方法一:如图2，延长ED到M,使DM=DE,连结MC和MF,
易证ΔMCD≌ΔEBD,
∴BE=CM.
∵DE⊥DF, DM=DE,
∴EF=MF.
在ΔFCM中，∵CF+CM>MF ∴BE+CF>EF.
说明：延长FD到N,使DN=DF,连结BN和NE也可以.
方法二:如图3，连结BF，取BF的中点M, 取EF的中点H，连结DM、DH、MH，
∴DM，MH为中位线.
∴DM=
1
2
CF，MH=
1
2
BE.
在Rt△EDF中，H为EF的中点，
∴DH=
1
2
EF.
在ΔDMH中，MH+MD>DH,
∴BE+CF>EF.
说明:连结CE，取CE的中点M, 取EF的中点H，连结DM、MH、DH也可以.
A
B C
M
E F
D
图 2
图 3
A
B C
E F
D
M
H
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例题4. 已知：如图1，BD、CE分别是 ABC? 的外角平分线，过点 A作 BDAF ? ， CEAG ? ，
垂足分别为F 、G，连接 FG，延长 AF 、 AG，与直线 BC相交，易证
? ?ACBCABFG ???
2
1
.
（1） BD、CE分别是 ABC? 的内角平分线（图 2）；
（2） BD为 ABC? 的内角平分线，CE为 ABC? 的外角平分线（图 3），则在图 2、图 3
两种情况下，线段 FG与 ABC? 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明其中
的一种情况.
例题 5. 如图，在 Rt ABC? 中， ??? 90BAC ， CA BA? ， ????? 15DCADAC ，求证：
BA BD? .
（法一：三角形 CBD 做对称
法 2：以 AD 为边构造等边三角形）
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【提升训练】
1.已知：如图，矩形 ABCD，E 为 CB 延长线上一点，且 AC=CE，F 为 AE 中点，
求证： FDBF ? .
A D
C
F
E
2. 已知 Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，D为 AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕 D 点旋转，
它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于 E、F．（1）当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE⊥AC 于 E
时（如图 1），易证 S△DEF+S△CEF= S△ABC；
（2）当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2和图 3 这两种情况下，上述结论是否成
立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，
不需证明．
【分析】连 CD，△CED≌△BFD，在图 2 中， DEF CEF CDE CDF CDBS S S S S? ? ? ? ?? ? ? ? .
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秘籍四：见垂直平分线--------构造等腰三角形
例题 1： 如图，已知 D为△ABC 的边 BC 的中点，DE⊥DF，则 BE+CF( )
A.大于 EF B. 小于 EF C. 等于 EF D.与 EF 的大小关系无法确定.
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秘籍五：见直角三角形与中点--------构造斜边上中线
【秘籍】只要出现直角三角形，或直角，还有中点，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条
等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。注：有关此类辅助线常常由中点倍
长引出，再构造直角三角形。
他位置的也要能看出
性质模型一：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
原理：矩形的对角线互相平分且相等
证明：如图，以 Rt ABC? 的两条直角边 ,AB BC 为邻边作矩形 ABCD，对角线 AC、
BD 交于点O ，由于矩形的对角线互相平分且相等， 1 1
2 2
BO BD AC? ? ? ，即
Rt ABC? 斜边上的中线等于斜边 AC的一半。
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直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
作用：①证明线段相等或求线段长；
②构造角相等进行等量代换。
判定模型二：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这边的对角必为直角，该三角形为直
角三角形。
原理：对角线相等的平行四边形是矩形。
证明：如图，以Rt ABC? 的两边 ,AB BC 为邻边作平行四边形 ABCD，对角线 AC、BD
交于点O，由于平行四边形的对角线互相平分， 2BD BO AC? ? ? ， ABCD?? 是矩
形， ABC? 为直角，即 ABC? 为直角三角形。
作用：判定三角形为直角三角形，为勾股定理等知识的运用创造条件。
直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
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例 1、在三角形 ABC 中，AD 是三角形的高，点 D 是垂足，点 E、F、G分别是 BC、AB、AC 的
中点，
求证：四边形 EFGD 是等腰梯形。
分析：由点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点，根据三角形中位线定理，知道 FG∥BC,FE
∥AC，FE=
2
1
AC，由直角三角形 ADC，DG 是斜边上的中线，因此，DG=
2
1
AC，所以，EF=DG，这
样，我们就可以说明梯形 EFGD 是等腰梯形了。
证明：∵ 点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点， ∴ FG∥BC ， FE∥AC，FE=
2
1
AC，
∵ AD 是三角形的高， ∴ △ADC 是直角三角形，
∵ DG 是斜边上的中线， ∴DG=
2
1
AC， ∴DG=EF, ∴梯形 EFGD 是等腰梯形。
例 2、如图：锐角△ABC 中，BE、CF 是高点 M、N 分别是 BC、EF 的中点，求证：MN⊥EF.
证明：连接 ME，MF．
则有 ME= BC，MF= BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴ME=MF．
又∵N为 EF 中点，∴MN⊥EF．
解析：遇到直角+中点，应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质。
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例 3、（南充市中考题）如图，△ABC 与△CDE 均为等腰直角三角形，点 B、C、D 在一条直线上，
点 M 是 AE 的中点，下列结论：① +ABC CDE ACES S S? ? ?? ，② BM DM? ，③ BM DM? .正确结论
的个数是（ ）
例 4、如图，已知 AB CDP ， E、F 分别为 AC、BD 的中点，若 AB=5，CD=3，则 EF 的长是( )
A.4 B. 3 C. 1 D.1
例5、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于 D、M为BC的中点，AB=10cm,则 MD的长为__________.
【分析】取 AB 中点 N，为直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理应用创造条件.
【简解】取 AB 中点 N，连接 ND、NM，则MN ACP ,∠NMD=∠C，∠NDB=∠B，从而
1 5
2
DM DN AB? ? ? (cm)
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【小结】
解法归一：见直角三角形斜边上的中点和等腰三角形底边的中点，连中线，找边、角、线段的
相等关系，或借助三点共圆进行角转化。
1、连结直角三角形斜边上的中线后，得两个等腰三角形、三条等线段，并且三顶点共圆；
2、特别地，等腰直角三角形斜边上中线把它分为两全等的等腰直角三角形，出现 4个 45°角、
2组等边、2 组长度为 1： 2 的边；
3、逆用可以判定一个三角形是直角三角形.
《直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半》的专题训练
（1）作斜边中线，利用斜边中线性质解题
1.如图，在 ABCRt? 中，AB=AC， ??? 90BAC ，O为 BC 的中点.
①写出点 O 到 ABC? 的三个顶点 A、B、C 的距离的关系（不变证明）
②如果点 N、M 分别在线段 AB、AC 上移动，在移动中保证 AN=BM，请判断 OMN 的形状，并证明
你的结论.
（2）有底中点，连中线，利用等腰三角形三线合一性质证题
2. 如图，在锐角三角形 ABC 中，AD⊥BC 于 D,E、F、G 分别是 AC、AB、BC 的中点。
求证：四边形 OEFG 是等腰梯形。
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3、如图所示，BD、CE 是三角形 ABC 的两条高，M、N 分别是 BC、DE 的中点
求证：MN⊥DE
4、已知梯形 ABCD 中，∠B+∠C＝90o，EF 是两底中点的连线，试说明 AB－AD＝2EF
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5、如图，四边形 ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o，点 M、N 分别是 BD、AC 的中点。MN、AC 的位置关
系如何？证明你的猜想。
6、过矩形 ABCD 对对角线 AC 的中点 O作 EF⊥AC 分别交 AB、DC 于 E、F，点 G 为 AE 的中点，若
∠AOG＝30o 求证：3OG=DC
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7、如图所示；过矩形 ABCD 的顶点 A 作一直线，交 BC 的延长线于点 E，F 是 AE 的中点，连接
FC、FD。 求证：∠FDA=∠FCB
8、 如图 3-2-2，在 Rt△POQ 中，OP=OQ=4.把三角尺的直角顶点放在斜边 PQ 中点 M 处，以 M 为
旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点 A、B．
（1）求证：MA=MB；
（2）连接 AB.探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值.若存在，求出最小
值；若不存在，请说明理由．
图 3-2-2
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9、如图 3-2-9，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为 AC 的中线，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，过点 A
作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连接 BG、DF.若 AG=13，
CF=6，则四边形 BDFG 的周长为 .
10、如图,以△ABC 的边 AB、AC 为斜边在△ABC 外作 Rt△ABD 和 Rt△ACE,且∠ABD=∠ACE,P 是
BC 的中点,求证：PD=PE
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秘籍六：中线
题型一：中线等分三角形的面积
我们知道：对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.
下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法.
解法归一：遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助
中线等分三角形面积来解决.
1．你用三种不同的方法把图 3-l-l①~图 3-l -1③中△ABC 的面积四等分．
图 3-l-l① 图 3-l-1② 图 3-l-1③
2．请你在图 3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形 ABCD 的面积二等分.
图 3-l-2④ 图 3-l -2⑤ 图 3-l -2⑥
交流分享：（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；（2）借助
一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一.
3．如图,设 M 是△ABC 的重心,且 AM=3,BM=4,CM=5,则△ABC 的面积为________.
【分析】将分散的勾股数集中到一个三角形中，利用重心的性质，重心到顶点的距离是到对边
中点距离的 2 倍，可解. 【简解】延长 MD 到 N，使 DN=DM，连接 CN，可证△BDM≌△CDN,，
CN=BM=4，MN=2DN=AM=3，△CMN 的面积为 6，从而△ABC 面积 18.
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题型二：三角形中线有关的周长问题
1. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线.已知 AB=7cm,AC=5cm.求△ABD 和△ACD 的周长的差.
变式：①在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线.若已知 AB=AC，BC=3cm,若△ABD 的周长比△ACD 的
周长多 1cm，求△ABC 的周长.
②若△ABD 的周长与△ACD 的周长之差为 1cm，求△ABC 的周长.
③若 BC=2cm, △ABD 的周长与△ACD 的周长之差为 1cm，求△ABC 的周长.
题型三：三角形中线的线段求值和证明问题
1.如图，AD 为△ABC 的中线，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交 AB,AC 于 E,F.
求证：BE+CF>EF.
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2.若 AD 是△ABC 的中线，DE⊥AC,DF⊥AB,E,F 分别是垂足.已知 AB=3AC，求 DE 与 DF 的长度之
比.
3.如图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q为 BC 延长线上一点，当
PA＝CQ 时，连结 PQ 交 AC 于 D，则 DE 的长为（ ）
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
1
4
4.（2015?河北区一模）已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD
边上的 P 点处
（Ⅰ）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA．若△OCP 与△PDA 的面积比为
1：4，求边 CD 的长．
（Ⅱ）如图 2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连接 BP．动点 M 在线段 AP 上（点
M与点 P、A 不重合），动点 N在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连接 MN 交 PB 于点 F，作 ME⊥
BP 于点 E．试问当动点 M、N在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变
化规律．若不变，求出线段 EF 的长度．
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5.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB
始终保持 MQ⊥MP.设运动时间为 t（s）(t>0).
(1)△PBM 与△QNM 相似吗？请说明理由.
(2)若∠ABC=60°，AB=4 3 cm.
1 求动点 Q 的运动速度；②设△APQ 的面积为 S（cm
2
）,求 S 关于 t的函数关系式.
(3)探索
2BQ , 2PQ , 2CQ 三者之间的数量关系，以图 1为例说明理由.
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题型四：三角形中线有关的面积问题
1. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，试判断△ABD 与△ACD 的面积的数量关系.
2.如图，AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线.
(1)△ABD 与△ADC 的面积有何关系？请说明理由？
(2)若△GFC 的面积 S△GFC=1，求△ABC 的面积.
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秘籍六：圆中的中点
题型一：圆心是中点问题
1. 如图，已知⊙O的半径为 10，CD 为 16，且 AE⊥CD 于 E，BF⊥CD 于 F，求 AE-BF 的值.
2. 如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 是 AC 中点，⊙O经过 A,B,D 三点，CB 的延长线交⊙O 于
E，连接 AE,OD.根据以上条件，写出四个正确的结论.(半径相等及勾股定理结论除外，且不
得添加辅助线)
3.(2015 温州)如图，C 是以 AB 为直径的半圆 O上一点，连接 AC,BC，分别以 AC,BC 为边向外作
正方形ACDE,BCFG.DE,FC,弧 AC,弧 BC的中点分别是M,N,P,Q.若 MP+NQ=14,AC+BC=18,则 AB的长
为（ ）
A. 29 B.
9
70
C.13 D.16
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题型二：弧的中点问题：
1. 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 是弧 AB 的中点，点 D 是弧 AC 的中点，连接 AC,BD 交
于点 E，则求
BE
DE
的值.
2.如图，在⊙O中，P 为弧 BAC 的中点，PD⊥CD,CD 交⊙O于点 A,若 AC=3,AD=2,
则 AB= .
2. 如图，已知△ABC 中，D 为 AC 上一点，且 AD=DC+CB,过点 D作 AC 的垂线交外接圆于点
M，求证：M为优弧 AN 的中点.
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题型三：圆中弦的中点
秘籍：圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
例题 如图 8所示，AB是⊙O 的弦，点C是 AB 的中点，若 8cmAB ? ， 3cmOC ? ，则⊙O 的
半径为 cm．
分析：由点 C 是 AB 的中点，联想到圆的垂径定理，知道 OC⊥AB，这样在直角三角形 AOC
中根据勾股定理，就可以求得圆的半径。
解：∵ 点 C 是 AB 的中点， ∴ OC⊥AB， ∵ AB=8, ∴ AC=4
在直角三角形 AOC 中，AC=4,OC=3, ∴ OA=
2222 43 ???OCAC =5(cm)，因此，
圆的半径是 5cm。
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