对数及对数运算
【学习目标】
1.理解对数的概念,能够进行指数式与对数式的互化;
2.了解常用对数与自然对数的意义;
3.能够熟练地运用对数的运算性质进行计算;
4.了解换底公式及其推论,能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明.
5.能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用.
【要点梳理】
要点一、对数概念
1.对数的概念
如果,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
要点诠释:
对数式logaN=b中各字母的取值范围是:a>0 且a(1, N>0, b(R.
2.对数具有下列性质:
(1)0和负数没有对数,即;
(2)1的对数为0,即;
(3)底的对数等于1,即.
3.两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数,.以e(e是一个无理数,)为底的对数叫做自然对数, .
4.对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
要点二、对数的运算法则
已知
(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和;
推广:
(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数;
(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数;
要点诠释:
(1)利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如:log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,因为虽然log2(-3)(-5)是存在的,但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.
(2)不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来,即下面的等式是错误的:
loga(M(N)=logaM(logaN,
loga(M·N)=logaM·logaN,
loga.
要点三、对数公式
1.对数恒等式:
2.换底公式
同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0, a≠1, M>0的前提下有:
(1)
令 logaM=b, 则有ab=M, (ab)n=Mn,即, 即,即:.
(2),令logaM=b, 则有ab=M, 则有
即, 即,即
当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
.
【典型例题】
类型一、对数的概念
例1.求下列各式中的取值范围:
(1);(2);(3).
【答案】(1);(2);(3)且
【解析】(1)由题意,,即为所求.
(2)由题意
即.
(3)由题意
解得且.
【总结升华】在解决与对数有关的问题时,一定要注意:对数真数大于零,对数的底数大于零且不等于1.
举一反三:
【变式1】函数的定义域为 .
【答案】
类型二、指数式与对数式互化及其应用
例2.将下列指数式与对数式互化:
(1);(2);(3);(4);(5);(6).
【解析】运用对数的定义进行互化.
(1);(2);(3);(4);(5);(6).
【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
举一反三:
【变式1】求下列各式中x的值:
(1) (2) (3)lg1000=x (4)
【答案】(1);(2);(3)3;(4)-4.
【解析】将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.
(1);
(2);
(3)10x=1000=103,于是x=3;
(4)由.
【变式2】计算:并比较.
【解析】
.
类型三、利用对数恒等式化简求值
例3.(2019 广东湛江期中)不用计算器计算:
【答案】
【解析】原式
【总结升华】对数恒等式中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为真数.
举一反三:
【变式1】求的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0)
【答案】
【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.
.
类型四、积、商、幂的对数
例4. 表示下列各式
【解析】(1);
(2);
(3);
(4)=.
【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径,因此我们必须准确地把握它们.在运用对数的运算性质时,一要注意真数必须大于零;二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算.
举一反三:
【变式1】求值
(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【答案】(1)22;(2)1;(3)2.
【解析】(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
类型五、换底公式的运用
例5.已知,求.
【答案】
【解析】
解法一:,,
于是.
解法二:,,
于是
解法三:,,
.
解法四:,
又.
令,则,
即
.
【总结升华】(1)利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数,进一步应用对数运算的性质.
(2)题目中有指数式和对数式时,要注意指数式与对数式的互化,将它们统一成一种形式.
(3)解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用.
举一反三:
【变式1】求值:(1);(2);(3).
【答案】(1);(2);(3).
【解析】(1)
;
(2);
(3)法一:
法二:.
类型六、对数运算法则的应用
例6.求值
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)-10;(2)0;(3)3;(4)13
【解析】(1)原式=
(2)原式=
=
(3)原式=
(4)原式
举一反三:
【变式1】计算下列各式的值
(1);(2).
【答案】(1)3;(2)1.
【解析】(1)原式==2=2+1=3;
(2)原式=+=
=.
【变式2】(2019年浙江舟山月考)已知,则 .
【思路点拨】判断出,根据分段函数的式子求解,再利用对数运算求解.
【答案】3
【解析】∵,
∴,
故答案为:3
【巩固练习】
1.下列说法中错误的是( )
A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可化为对数式
C.以10为底的对数叫做常用对数 D.以e为底的对数叫做自然对数
2.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=10;④若e=lnx,则x=e2,其中正确的是( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
3.下列等式成立的有( )
①;②;③;④;⑤;
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④⑤
4.对数式中,实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若,则下列说法正确的是( )
①若,则;②,则;
③,则;④若,则.
A.①③ B.②④ C.② D.①②③④
6.(2019年安徽亳州月考)若,则=( )
A. 3a B. C.a D.
7.已知,且等于( )
A. B. C. D.
8.若,则( )
A. B. C. D.
9.(2019江西三县月考)计算的结果是()
A. B. 2 C. D. 3
10.若,则x= .
11.若 ;
12.若,则 .
13.(1)设,求;
(2)已知,用表示.
14.(2019年江苏淮安月考)计算下列各式的值:
(1)
(2).
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】由对数的概念知,指数式中,只有,且的指数式才可以化为对数式.
2.【答案】C
【解析】由知①②正确.
3.【答案】B
【解析】;
4.【答案】C
【解析】由对数的定义可知所以且,故选C.
5.【答案】C
【解析】注意使成立的条件是M、N必须为正数,所以①③④不正确,而②是正确的,故选C.
6.分析:直接利用对数的性质化简表达式,然后把代入即可.
【答案】A
【解析】
故选A.
7.【答案】D
【解析】因为,所以,所以.
8.【答案】B
【解析】,因为,所以,故选B.
9.【答案】B
【解析】.
故选:B.
10.【答案】-13
【解析】 由指数式与对数式互化,可得,解得.
11.【答案】12
【解析】 .
12.【答案】1
【解析】因为所以,又因为所以,所以原式=.
13.【答案】(1)9 (2)
【解析】(1)利用换底公式得:,得.
(2)由对数换底公式得:
=2()=.
14.分析:(1)根据指数幂的性质对数函数运算的性质即可求出,
(2)利用对数的运算性质和换底公式,计算即可.
【答案】(1);(2)-1
【解析】(1),
(2)