苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：31函数模型及其应用(基础)（word)）

函数模型及其应用

【学习目标】
1.能根据实际问题的情景建立函数模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的答案.
2.理解数据拟合是对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助现代计算工具解决一些简单的实际问题.
3.能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，启发、引导学生数学地观察世界、感受世界，引导学生合作交流.
4.培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、解答应用问题的基本思想和步骤

1.解应用题的基本思想
2.解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).
要点二、几类函数模型及其增长差异
（1）几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
二次函数模型
指数函数模型
对数函数模型
幂函数模型
（2）三种增长型函数之间增长速度的比较
①指数函数与幂函数
在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内会小于，但由于的增长快于的增长，因而总存在一个，当时，有>。
②对数函数与幂函数（）
对数函数的增长速度，不论与值的大小如何总会慢于的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数，使时有。
由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在上，总会存在一个，使时有
要点三、函数应用题应注意的问题及常见错误
1.函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.
其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.
2.解函数应用问题常见的错误：
（1）不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；
（2）在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件。
3.解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：
（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；
（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
【经典例题】
类型一、一次函数与分段函数模型
例1．已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明 其中和均为常数；
【证明】（Ⅰ）令，则，∵，∴。
（Ⅱ）①令，∵，∴，则。
假设时，，则，而，∴，即成立。
②令，∵，∴，
假设时，，则，而，∴，即成立。∴成立。
【总结升华】该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化，而不是一味的向函数求值方面靠拢。
例2. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为月产量的函数f (x)。
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【思路点拨】这里已有函数模型，只需对分段讨论，写出利润的表达式即可
【答案】（1）；
(2) 每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。
【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而。
（2）当0≤x≤400时，
，
∴当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f (x)=60000－100x是减函数，
f (x)＜60000－100×400＜25000。
∴当x=300时，f (x)的最大值为25000。
∴每月生产300台仪器时，利润最大。
最大利润为25000元。
【总结升华】 由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x；②收益函数为一分段函数。解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益－总成本。由于R (x)为分段函数，所以f (x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题。分段函数是一类重要的函数，生活中很多实例都是分段函数模型，解决此类问题主要是构造分段函数，然后分步解决，构造分段函数时要力求准确、简捷，做到分段合理，不重不漏。
举一反三：
【变式】我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x);
(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？
【解析】(1)f(x)=5x(15≤x≤40),
(2)由f(x)=g(x)得，或
即x=18或x=10(舍).
当15≤x<18时，f(x)-g(x)=5x-90<0,
∴f(x)当x=18时，f(x)=g(x),即可以选甲家，也可以选乙家；
当180,
∴f(x)>g(x),即选乙家;
当300,∴f(x)>g(x),即选乙家.
综上所述，当15≤x<18时，选甲家，当x=18时，可以选甲家，也可以选乙家，当18
例3．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．
（Ⅰ）写出y的表达式；
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）当时，；当时，．
【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：
总的淋雨量为：，
即
（Ⅱ）①当即时
在上单调递减
时，最小，．
②当即时
在上单调递减，在上单调递增．
当时，最小，．
答：当雨速的分速度，时，；当雨速的分速度，时，．
类型二、二次函数模型
例4．一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（ ）时该客车的年平均利润最大。
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
x年
4
6
8
…
（万元）
7
11
7
…
【解析】表中已给出了二次函数模型
，
由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则
。
解得a=－1，b=12，c=-25，
即。
而取“=”的条件为，
即x=5，故选（B）。
【总结升华】一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。
例5．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？
?
刹车时车速v/km/h
15
30
40
50
60
80
刹车距离s/m
1.23
7.30
12.2
18.40
25.80
44.40
?
【思路点拨】所求问题就变为根据上表数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题。此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系，根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数。
【解析】假设变量v与s之间有如下关系式：，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）。再在散点图中任意选取两点A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是
。（代入其他数据有偏差是许可的）
将s=15.13代入得
，
解得v≈45.07。
所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h。
举一反三：
【变式】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【解析】（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
类型三、指数函数模型
例6．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题：
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）。
（1．01210=1．127，1.01215=1.196,1.01216=1.210）
【思路解析】列出前几年该城市人口总数y与年份x的函数关系观察规律，总结出y与x的函数关系按要求求解（2）、（3）两小题.
【解析】（1）1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%),
2年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)2
同理，3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3
……………………
X年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(x∈N).
（2）10年后人口总数为100×（1+1.2）10≈112.7(万)
（3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100×（1+1.2%）x=120,x=log1.0121.20≈16（年）。
因此，大约16年以后城市人口将达到120万人。
【总结升华】高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握。解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答。
例7．急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负．控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前．
(1)世界人口在过去的40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
(2)我国人口在2006年底达到13.14亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2019年底至多有多少亿？
以下对数值可供计算时使用:
N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
lgN
0.0043
0.0065
0.0073
0.1173
0.3010
N
12.48
13.11
13.14
14.51
lgN
1.0962
1.1176
1.1186
1.1616
【思路解析】(1)本题求每年人口增长率,但已知40年内翻一番,所以在解题方法上,可用方程的思想来解；
(2)本题是计算10年后我国人口的数量，由于题设中已知10年前以及每年的增长率，所以在解题方法上，可先找到函数关系，直接计算求解．
【解析】(1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为a,n年后的人口数为y，则y=a(1+x)n,
依题意得：2a=a(1+x)40,即2=(1+x)40,
两边取对数得，lg2=40lg(1+x),
则lg(1+x)==0.007 525,
所以1+x≈1.017,得x≈0.017,
故每年的人口平均增长率约是1.7%.
(2)依题意得y≤13.14(1+1%)10,
两边取对数得，lgy≤lg13.14+10lg(1+1%)≈1.161 6,y≤14.51,故2 016年至多有人口14.51亿.
【总结升华】这是一类增长率问题，在实际问题中，有关人口增长、银行利息、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式．
举一反三：
【变式1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。
【答案】 0.943×105.
【解析】 这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105 Pa和x=1000 m时y=0.90×105 Pa可求。
将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx中，得
，∴。
将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k，
∴。
由计算器算得k=－1.15×10－4，
∴。
将x=600代入上述函数关系式得，
由计算器算得y=0.943×105 Pa。
答：600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa。
【总结升华】 函数y=c·akx（a、c、k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可。
【变式2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下的问题：
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；
（4）如果20年后该城市的人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？
【答案】（1）y=100×（1+1.2)x；（2）15年；（3）0.9%．
【解析】本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律．
（1）1年后该城市人口总数为：
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y=100×(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3；
……
x年后该城市人口总数为：y=100×（1+1.2)x．
（2）10年后，人口总数为：100×(1+1.2%)10≈112.7（万人）．
（3）设x年后该城市人口将达到120万人，
即100×(1+1.2%)x=120，
．
（4）设年增长率为x，依题意，得100×(1+x)20≤120，
由此有(1+x)20≤1.2，
由计算器计算得1+x≤1.009，∴x≤0.009=0.9%，
即年自然增长率应控制在0.9%以内．
类型四、对数函数模型
例8．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.
解析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为；
2小时后，细胞总数为；
3小时后，细胞总数为；
4小时后，细胞总数为；
可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为： ，
由，得，两边取以10为底的对数，得，
∴，
∵，
∴.
答：经过46小时，细胞总数超过个。
【总结升华】对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。
类型五、自建函数模型

例9．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应各投入几列列车运行?
【思路点拨】（1）根据题意列出不等式求解（2）列出不等式求解，因为计算过程中，数字比较大，可以使用计算器。
【答案】（1）20（2）10 8
【解析】
（1）设内环线列车平均速度最小为
由题得：
解得。
答：内环线列车的最小平均速度为每小时20千米。
（2）设内、外环线分别投入列车数量为、列
由题得：
即
得，
解得：，由计算器得：。
答：内、外环线应各投入10列、8列列车运行，才能使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过分钟。
举一反三：
【变式】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）
【答案】（1）550
（2）
（3）6000 11000
【解析】（1）设零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
．
因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元．
（2）当0＜x≤100时，P=60．
当100＜x＜550时，．
当x≥550时，P=51．
∴
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000．
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个时，利润是11000元．
【巩固练习】
1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：
1．99
3
4
5．1
6．12
1．5
4．04
7．5
12
18．01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A. B. C. D.
2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如下图所示，那么图象所应对的函数模型是（ ）
A．分段函数 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是（ ）
A．增加7.84% B．减少7.84% C．减少9.5% D．不增不减
4．据调查，某地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（ ）
A．y=0.1x+800（0≤x≤4000） B．y=0.1x+1200（0≤x≤4000）
C．y=－0.1x+800（0≤x≤4000） D．y=－0.1x+1200（0≤x≤4000）
5．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
6．以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹，t秒后的高度x米可由x=at－4.9t2确定，已知5秒后子弹高245米，问子弹保持245米以上（含245米）高度共有（ ）
A．4秒 B．5秒 C．6秒 D．7秒
7．一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如右图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v=f (h)的大致图象可能是下图中四个选项中的（ ）
8．下表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高h米处落下，弹跳高度d与下落高度h的关系：
h（米）
50
80
100
150
…
d（米）
25
40
50
75
…
写出一个能表示这种关系的式子为________．
9．某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k（万元）是单位产品数Q的函数，，则总利润L（Q）的最大值是________．
10．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=ekt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示细菌个数，则k=________，经过5小时，1个细菌能繁殖为________个．
11．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一个新价，以使按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是________。
12．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
(Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
(Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15=1.6)
13．某农产品去年各季度的市场价格如下表：
季度
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
每吨售价（元）
195.5
200.5
204.5
199.5
今年某公司计划按去年各季市场价格的“平衡价m”（平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。
（1）根据题中条件填空，m=________（元／吨）；
（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。
14．有一批影碟机，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价为760元，以此类推，每多买一台，单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
15．某种名牌钢笔，每支进价为50元，当销售价格为每支x元，且50≤x≤80时，每天售出支数，若想当天售出的钢笔获利最大，售价应定为每支多少元？最大利润是多少？
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】把的值分别代入四个函数式，结果最最近的就是。
2．【答案】A
【解析】 由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．
3．【答案】B
【解析】设该商品原价为a，四年后价格为a(1+0.2)2(1―0.2)2=0.9216a。所以(1―0.9216)a=0.0784a=7.84%，即比原来减少了7.84%。
4．【答案】D
【解析】 根据题意总收入分为两部分：普通车存车费用为0.2x元和变速车存车费用为(4000－x)×0.3元，所以y=0.2x+1200―0.3x=―0.1x+1200．只有D符合．
5．【答案】C
【解析】 设湖水量每年为上一年的q%，则，所以，即x年后湖水量为．
6．【答案】B
【解析】已知x=at―4.9t2，由条件t=5秒时，x=245米，得a=73.5，所以x=73.5t―4.9t2≥245，解得5－t≥10．因此，子弹保持在245米以上的高度有5秒．
7．【答案】B
【解析】由鱼缸的形状可知，水的体积随h的减小，一开始减少得慢，后来又减少得快，然后再减少得慢．
8．【答案】
【解析】观察表中数据即可．
9．【答案】2500万元
【解析】 总利润L=总收入k－总支出（生产成本+固定成本）．所以．故当Q=300时，总利润的最大值为2500万元．
10．【答案】2ln2 1024
【解析】 将代入，得，所以，k=2ln2，这时函数关系式为，令t=5（小时），得y=210=1024（个）．
11．【答案】
【解析】设新价为b，依题意，有b(1―20%)―a(1―25%)=b(1―20%)·25%，化简得。∴，即。
12．【解析】(Ⅰ)第1年末的住房面积．
第2年末的住房面积(a·-b)·-b=a·()2-b(1+)=1.21a-2.1b(m2)．
(Ⅱ)第3年末的住房面积[a·()3-b(1+)]-b=a·()3-b[1++()2]．
第4年末住房面积为a·()4-b[1++()2+()3]．
第5年末住房面积为a·()5-b[1++()2+()3+()4]=1.15a-b=1.6a-6b
依题意可知，1.6a-6b=1.3a，解得b=，所以每年拆除的旧房面积为(m2)．
13．【解析】 （1）∵f (m)=(m―195.5)2+(m―200.5)2+(m―204.5)2+(m―199.5)2=4m2―1600m+160041，∴m=200。
（2）降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万吨，收购总金额为200a(1+2x%)，
故（0＜x＜10）。
（3）原计划税收为200a×10%=20a（万元），
依题意，得，即x2+40x－84≤0。
解得－42≤x≤2。又0＜x＜10，∴0＜x≤2。
∴x的取值范围是0＜x≤2。
14．【答案】甲
【解析】设某单位购买x台影碟机，甲、乙两商场的差价为y元，则去甲商场购买共花费(800－20x)x，去乙商场花费600x（x∈N*），
由题意得800－20x≥440，∴1≤x≤18（x∈N*）．
∴当1≤x≤18（x∈N*）时，y=(800―20x)x―600x=200x―20x2；
当x＞18（x∈N*）时，y=440x―600x=―160x．
则y＞0时，1≤x＜10（x∈N*）；y=0时，x=10；y＜10时，x＞10（x∈N*）．
综上可知，若买少于10台，去乙商场购买花费较少；若买10台，去甲、乙商场购买花费一样；若买超过10台，则去甲商场购买花费较少．
15．【答案】每支定价为60元时，每天获利最大，最大利润为250元。
【解析】设售价定为每支x元，则每支利润为（x－50）元。当天总利润为y元。
则，x∈[50，80]。
变形得，yx2－(80y+104)x+1600y+50×104=0。
因为关于x的一元二次方程有实数解，所以。
所以Δ=(80y+104)2－4y(1600y+50×104)≥0。
解得。当y=250元时，x=60元。所以每支定价为60元时，每天获利最大，最大利润为250元。