子集、全集、补集
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集；了解空集和全集的含义；
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
【典型例题】
类型一、集合间的“包含”关系
【例1】 集合，集合，那么间的关系是（ ）.
A. B. C. = D.以上都不对
【答案】B
【解析】先用列举法表示集合、，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合是非负偶数集，即.集合中的元素.而（为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即.由依次得0,2,6,12，，即.
综上知，，应选.?
【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
举一反三：
【变式】已知集合,,,
,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【例2】 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.
举一反三：
【变式1】已知，则这样的集合有 个.
【答案】7个
【变式2】同时满足：①；②，则的非空集合有（ ）
A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个
【答案】C
【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.
【变式3】已知集合;,则中所含元素的个数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】,,,共10个
【例3】集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【答案】以上四个集合都不相同
【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；
集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．
【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．
举一反三：
【变式1】 设集合，，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合M表示函数的定义域，有；
集合N表示函数的值域，有，故选A.
【变式2】
设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
【答案】B
【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
类型二、全集、补集
【例4】已知全集，求CuA.
【思路点拨】CuA隐含了，对于，注意不要忘记的情形.
【答案】 当时，CuA=；当时，CuA=；当时，CuA=.
【解析】
当时，方程无实数解.
此时.CuA=
当时，二次方程的两个根，必须属于.
因为，所以只可能有下述情形：
当时，，此时 CuA=；
当时，，此时 CuA=.
综上所述，当时，CuA=；
当时，CuA=；
当时，CuA=.
【总结升华】求集合的补集，只需在全集中剔除集合的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合的元素不确定，因此必须分类讨论才行.
举一反三：
【变式】设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
类型三、子集、全集、补集综合应用
例5. 设集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【思路点拨】由关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.
【答案】（1）或；（1）2．
【解析】首先化简集合，得.
（1）由，可知集合为，或为、，或为.
①若时，，解得.
②若,代入得.
当时，符合题意；
当时，也符合题意.
③若，代入得，解得或.
当时，已讨论，符合题意；
当时，，不符合题意.
由①②③，得或.
（2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知.
【总结升华】在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.
举一反三：
【变式】设全集，集合，若CuA，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】 CuA=，.
CuA，，即.实数的取值范围是.
例6.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值.
【答案】a＝0或a＝－或a＝
【解析】因P＝{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}
当a＝0时，Q={x｜ax＋1＝0}＝，QP成立.
又当a≠0时，Q＝{x｜ax＋1＝0}＝{－}，
要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.
综上所述，a＝0或a＝－或a＝
【总结升华】这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.
举一反三：
【变式】（2019 湖南张家界期末）已知集合．
（1）若，求 ；（2）若，求实数的取值所组成的集合．
【答案】C
【解析】（1）由题意，
当时，
（2）由题意，
∴ 当时，
当时，
例7．（2019 北京西城期末）已知集合A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，C={x|x≥a，a∈R}．
（1）若（A∪B）∩C=，求实数a的取值范围；
（2）若（A∪B）C，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．
【答案】（1）a≥3 （2）a≤－4
【解析】
（1）∵A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，又（A∪B）∩C=，如图，a≥3；
（2）画数轴同理可得：a≤－4．
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．
【巩固练习】
1．设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ）
A、 B、 C、A=B D、A∩B=
2. 已知集合，，，则M、N、P满足关系( )
A． B．
C． D．
3．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）
4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（ ）
A． AB B． BA C． D．
5．（2019 福建莆田期中）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合，则集合中元素的个数为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
6．设集合，，则( )
A． B． C． D．
7．设，则.
8．已知集合A＝{x|－1
9．若且，则 .
10．（2019 北京西城期中）某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有 人．
11．设全集，集合，，那么等于________________.
12．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（），都有（表示两个数中的较小者）则的最大值是 .
13.已知集合A＝{x|x2－3x＋4＝0}，B＝{x|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，若APB，求满足条件的集合P.
14．（2019 福建期中）已知集合，，．
（Ⅰ）求A∪B；；
（Ⅱ）若，求a的取值范围．
15．设，集合，；若，求的值.
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】.学生易错选C。错因是未正确理解集合概念，误以为A={-1，2}，
其实{(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}={(-1, 2)}，A是点集而B是数集，故正确答案应选D。
2.【答案】B
【解析】因，，，因此选B。
3．【答案】B
【解析】由，得，则,选B．
4．【答案】C
【解析】
5．【答案】B
【解析】A={1，2}，B={2，4}，A∪B={1，2，4}，
∴ ，
故选B．
6.【答案】 B
【解析】 ；，整数的范围大于奇数的范围.
7.【答案】
【解析】.
8.【答案】a≥3
【解析】借助数轴
9.【答案】
【解析】由，则，且.
10.【答案】12
【解析】全体员工类人：设既不会骑车也不会驾车的人数为人；仅会骑车的人数为()人；仅会驾车的人数为()人；既会骑车也会驾车的人数为57人.
∴+，∴.
11.【答案】
【解析】，代表在直线上，但是挖掉的点，代表直线外，但是包含点的点；
代表直线外的点，代表直线上的点，∴.
12.【答案】11
【解析】含2个元素的子集有15个，但、、只能取1个；、只能取1个；、只能取1个，故满足条件的两个元素的集合有11个.
13.【答案】 集合P有{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}，{－4，－1,1}共7个
【解析】∵方程x2－3x＋4＝0的判别式Δ＝－7<0，
∴方程无解，即A＝．
由方程(x＋1)(x2＋3x－4)＝0，得x＝－1，或x＝－4，或x＝1.
∴B＝{－4，－1,1}．
又∵APB，∴P≠且PB.
故满足条件的集合P有{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}，{－4，－1,1}共7个．
14．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）∵ ，，
∴ A∪B
或
或
（Ⅱ）若，由数轴知
15. 【答案】 或
【解析】，由，
当时，，符合；
当时，，而，∴，即
∴或.
