苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：06并集、交集(提高)（word)）

并集、交集

【学习目标】
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单的集合并集与交集；
【典型例题】
类型一、并集
例1．设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B．
【解析】∵A∩B={}，
∴是方程2x2+px+q=0的解，则有：
(1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)
联立方程(1)(2)得到：
∴方程(1)为2x2+7x-4=0，
∴方程的解为：x1=， x2=-4， ∴ ，
由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3=， x4=，
∴B={， }，则A∪B={， ，-4}．
举一反三：
【变式1】设集合M={3，a}，N={x|x2-3x<0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为( )
A． {1，3，a} B． {1，2，3，a} C． {1，2，3} 　D． {1，3}
【答案】C
【解析】由N={x|x2-3x<0，xZ}可得：N={x|0【变式2】（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
（2）已知：A={y|y=3x2}， B={y|y=-x2+4}， 求：A∩B，A∪B；
（3）已知集合A={-3， a2 ，1+a}， B={a-3， a2+1， 2a-1}， 其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B．
【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}．
（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R．
（3）∵A∩B={-3}，-3B，则有：
[1]a-3=-3(a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}(A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；
[2]2a-1=-3(a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}．
【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性．其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件．
例2．设集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为( )
A． {1，3，a} B． {1，2，3，a} C． {1，2，3} 　D． {1，3}
【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．
【答案】D
【解析】由N={x|x2-2x<0，xZ}可得：N={x|0举一反三：
【变式】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B．
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去．
例3．（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
（2）已知：A={y|y=3x2}， B={y|y=-x2+4}， 求：A∩B，A∪B；
（3）已知集合A={-3， a2 ，1+a}， B={a-3， a2+1， 2a-1}， 其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B．
【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}．
【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}．
（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R．
（3）∵A∩B={-3}，-3B，则有：
①a-3=-3(a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}(A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；
②2a-1=-3(a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}．
【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性．其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件．
举一反三：

【变式】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B．
【答案】｛2，3，6，18｝
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去．
综上A∪B=｛2，3，6，18｝
类型二、交集
例4．设集合，，，求．
【答案】,
【解析】先将集合、、、转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可．
集合表示3的倍数所组成的集合；
集合表示除以3余1的整数所组成的集合；
集合表示除以3余2的整数所组成的集合；
集合表示除以6余1的整数所组成的集合；
,．
【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化．如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成．类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来．
举一反三：
【变式】已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2-2x+8，xR}，则M∩N等于( )
A． B． R C． {-1，9} D． [-1，9]
【答案】D
【解析】集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D．
例5．（2019年福建三明月考）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）A恰有两个子集；
（Ⅲ）
【思路点拨】（Ⅰ）若，则关于x的方程 没有实数解，则m≠0，由此能求出实数m的取值范围．
（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
（Ⅲ）若，则关于x的方程在区间内有解，这等价于当时，求值域：，由此能求出实数m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）m＞1；（Ⅱ）{0，1}；（Ⅲ）（0，1]
【解析】（Ⅰ）若，则关于x的方程 没有实数解，则m≠0，
且△=4－4m＜0，所以m＞1；
（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程 恰有一个实数解，
讨论：①当m=0时，，满足题意；
②当m≠0时，△=4－4m，所以m=1．
综上所述，m的集合为{0，1}．
（Ⅲ）若则关于x的方程在区间内有解，
这等价于当时，求值域：
∴m∈（0，1]
【总结升华】本题考查实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用．
类型三、并集、交集的综合应用
例6．已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）．
【思路点拨】解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．
【解析】由题知可解得A={y|y>a2+1或y由，得
∴或．
即A∩B＝φ时a的范围为或．而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为．
【总结升华】（1）一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．
（2）解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论思想的应用．空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解．
例7．（2019年浙江舟山月考）已知U=R，集合A={x｜1≤x≤4}，B={x｜a≤x≤a+2}．
（Ⅰ）若a=3，求A∪B，；
（Ⅱ）若BA，求a的范围．
【思路点拨】（Ⅰ）若a=3，根据集合的基本运算求A∪B，；
（Ⅱ）利用条件BA，确定a的范围即可．
【答案】（Ⅰ）A∪B={x｜1≤x≤5}，；（Ⅱ）1≤a≤2
【解析】（Ⅰ）若a=3，∴B={x｜3≤x≤5}．
∴A∪B={x｜1≤x≤5}，
，
∴．
（Ⅱ）∵BA，A={x｜1≤x≤4}，B={x｜a≤x≤a+2}．
∴，即，
解得1≤a≤2．
【总结升华】本题主要考查集合的基本运算，以及集合的应用，比较基础．
例8． 设全集为R，M={x|ax+b≠0，a≠0}，N={x|cx+d≠0，c≠0}，试用集合M、N表示集合{x|(ax+b)·(cx+d)=0}．
【解析】由，同理，
∴{x|(ax+b)·(cx+d)=0}={x|ax+b=0或cx+d=0}
={x|ax+b=0}∪{x|cx+d=0}
=(CRM)∪(CRN)
例9． 设
(1)若aZ，则是否有aS？
(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？
【解析】(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；
(2)x1，x2S，则
∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z
∴x1·x2S．
举一反三：
【变式1】设全集I＝{不超过5的正整数}，A＝{x｜x2－5x＋q＝0}，B＝{x｜x2＋px＋12＝0}且
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求实数p与q的值．
【解析】因(CUA)∪B＝{1，3，4，5}则B{1，3，4，5}且x2＋px＋12＝0
即B＝{3，4} ∴{1，5}CUA 即{2，3，4}A
又 x2－5x＋q＝0，即A＝{2，3}
故p＝－（3＋4）＝－7，q＝2×3＝6
【总结升华】此题难点在于寻找B及A中元素是什么,找到元素后运用韦达定理即可得到结果．
【变式2】设A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，B≠且BA，求a、b．
【解析】因A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}
B≠，BA，那么x2－2ax＋b＝0的两根为－3，4，或有重根－3，4．
即B＝{－3}或B＝{4}或B＝{－3，4}
当x＝－3时，a＝－3，b＝9
x＝4时，a＝4，b＝16
当x＝－3，x2＝4时，a＝（－3＋4）＝，b＝－12．
【巩固练习】
1．设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ）
　　A． B． C．A=B D．A∩B=
2．已知集合，，，则M、N、P满足关系( )
A． B．
C． D．
3．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）

4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（ ）
A．AB B．BA C． D．
5．已知全集U(U≠)和子集M、N、P，且，，则M与P的关系是( )
A． B．M＝P
C． D．
6．设集合，，则( )
A． B． C． D．
7．（2019年河南郑州月考）已知集合A={x｜x＜a}，B={x｜1＜x＜2}，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． a≤2 B． a＜1 C． a≥2 D． a＞2
8．已知集合A＝{x|－19．（2019年河北邢台月考）已知集合A＝{－1,2}，B＝{x｜mx＋1＝0}，若A∪B＝A，则m的取值集合为________．
10．若，则= ．
11．设全集，集合，，那么等于________________．
12．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（），都有（表示两个数中的较小者）则的最大值是 ．
13．已知集合A＝{x|x2－3x＋4＝0}，B＝{x|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，若APB，求满足条件的集合P．
14．设集合，，若，求实数a的取值范围．
15．（2019年上海月考）已知集合，且，，求a，b的值．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】学生易错选C。错因是未正确理解集合概念，误以为A={-1，2}，
其实{(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}={(-1, 2)}，A是点集而B是数集，故正确答案应选D。
2．【答案】B
【解析】因，，，因此选B。
3．【答案】B
【解析】由，得，则,选B．
4．【答案】C
【解析】
5．【答案】B
【解析】注意
6．【答案】 B
【解析】 ；，整数的范围大于奇数的范围．
7．分析：由题意知集合A={x｜x＜a}，B={x｜1＜x＜2}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
【答案】C
【解析】∵集合A={x｜x＜a}，B={x｜1＜x＜2}，
∴，
因为，
所以a≥2，
故选C．
点评：此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是考试中的常考内容．
8．【答案】a≥3
【解析】借助数轴
9．【答案】
【解析】由题意，当时，m=0；
当时，
因为A∪B＝A
所以或
所以m=1或
10．【答案】
【解析】，．
11．【答案】
【解析】，代表在直线上，但是挖掉的点，代表直线外，但是包含点的点；
代表直线外的点，代表直线上的点，∴．
12．【答案】11
【解析】含2个元素的子集有15个，但、、只能取1个；、只能取1个；、只能取1个，故满足条件的两个元素的集合有11个．
13．【答案】 集合P有{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}，{－4，－1,1}共7个
【解析】∵方程x2－3x＋4＝0的判别式Δ＝－7<0，
∴方程无解，即A＝．
由方程(x＋1)(x2＋3x－4)＝0，得x＝－1，或x＝－4，或x＝1．
∴B＝{－4，－1,1}．
又∵APB，∴P≠且PB．
故满足条件的集合P有{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}，{－4，－1,1}共7个．
14． 【答案】综合(1)、(2)，可知实数a的取值范围是a≤―1或a＝1．
【解析】∵A＝{0，－4}，，于是有以下几种情况
(1)当A＝B时，此时B＝{0，－4}
∴0，－4是方程的根
∴
解得a＝1
(2)当时，又可分为
①B≠时，即B＝{0}或B＝{－4}
∴⊿，
∴a＝－1，B＝{0}满足条件
②B≠时，即⊿，
∴a<－1
综合(1)、(2)，可知实数a的取值范围是a≤―1或a＝1．
15．分析：求出A与B的并集中不等式的解集确定出并集，由A，B，以及A与B的并集、交集确定出a与b的值即可．
【答案】a=－2，b=－3
【解析】∵A={x|－2＜x＜－1或），，且，，
∴B={x｜－1＜x≤3}，即－1，3为的解，
∴－1+3=－a，－1×3=b，
解得：a=－2，b=－3．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．