苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：08《集合》全章复习与巩固(提高)(word）

《集合》全章复习与巩固

【学习目标】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，并初步掌握集合的表示方法.
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.
3. 理解补集的含义，会求补集；
4. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
【知识网络】
【典型例题】
类型一、集合的概念
例1．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【解析】以上四个都不相同。
集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的点集合；
集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1。
【总结升华】
认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．
举一反三：
【变式1】设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】排除法：集合M、N都是点集，因此只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C表示区间（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D。
【变式2】 设集合，，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】集合M表示函数的定义域，有；
集合N表示函数的值域，有，故选A.
【变式3】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
方法一：，
2k+1为奇数，而k+2为整数，∴，故选B。
方法二：将描述法表示转化为列举法，则
，
∴，故选B.
例2.已知集合，，，，，则 （ ）

【思路点拨】解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．
【答案】
【解析】集合是函数的值域，所以.
例3．设集合，，若，求的值及集合、．
【解析】∵且，∴．
（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，∴且；
（2）若，则或．
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，∴；
当时，，，
由得 ① 或 ②
由①得，由②得，
∴或，此时．
例4．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {(3，2)}，N = {(2，3)} B．M = {(x，y)|x + y = 1}，N = {y|x +y = 1}
C．M = {4，5}，N = {5，4} D．M = {1，2}，N = {(1， 2)}
【答案】C
【解析】由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。
类型二、元素与集合的关系
例5.用符号“”或“”填空．
(1)0_____N；(2)-1______ N；(3)______ Q；(4)_____Z；(5)0______；(6)_____Q.
【思路点拨】确定元素是否在集合中，要根据元素是否满足集合的性质来确定.
【解析】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
举一反三：
【变式1】用符号“”或“”填空．
(1)
(2)
(3)
【思路点拨】给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.
【解析】(1)
(2)令，则
令，则
(3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，
∴
【总结升华】第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.
例6. 已知：集合，且，求.
【思路点拨】由，得到或，然后解方程，并检验.
【解析】∵ ，则或，
∴ 或.
当时，且， ∴舍去，
故
【总结升华】
1. 已知若集合是用列举法表示的，则 一定等于其中的一个元素；若集合是用描述法表示的，则一定满足描述集合中元素的共同特性，如满足方程（组）、不等式等。
2. 注意检验是否符合题意以及元素的互异性.
举一反三：
【变式】设集合，， 若，，则与集合N的关系是 ；
【答案】；
【解析】由于，，故可设，
于是
∵，∴，∴.
例7．已知，则满足条件的集合A的个数是 。
【解析】解法一：列举法
因为集合A中必有元素a、b，且又是集合{a，b，c，d，e}的真子集．从而满足条件的集合A是：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d)，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，共7个．
解法二：
令，其中集合B可以是集合{c，d，e}的任意真子集，由于集合{c，d，e}的真子集共有=7个，所以满足条件的集合A共有7个．
【总结升华】
1.这类问题主要考查子集与真子集的概念，解答这类问题应弄清楚符合条件r的集合A的最大集合(元素个数最多)与最小集合(元素个数最少)是什么，注意不要多写或遗漏．
2.元集合的子集的个数为.
举一反三：
【变式1】已知集合，集合，那么的子集的个数为 ；
【答案】4；
解析：直线与圆交于两点和，
故的子集的个数为4.
【变式2】已知集合，集合，那么的子集的个数为 。
【答案】4；
【解析】表示经过定点（1，1），斜率为的直线，
不包括通过（1，1）与轴垂直的直线即.
可化为，表示圆心在（0，1）,半径等于1的圆.
又（1，1）是圆上的点, 所以直线与圆有两个交点,故的子集的个数为4.
类型三：集合中元素性质的应用
例8. ，则M=( )
A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4}
【解析】集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以
由aZ，所以-1≤a≤4
当a=-1时，符合题意；
当a=0时，不符合题意；
当a=1时，不符合题意；
当a=2时，符合题意；
当a=3时，符合题意；
当a=4时，符合题意.
故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确.
例9. 已知集合M={x|ax2+2x+1=0}中只含有一个元素，则a=________.
【思路点拨】由集合M中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
【答案】0，1.
【解析】当a=0时，可得是一次方程，故满足题意，当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.
类型四：集合的表示方法
例10．用列举法表示集合：
(1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0}
(2)B={(x，y)|x+y=3， xN， yN}
(3)C={y|x+y=3，xN， yN}
(4)
(5)
(6)P={x|x(x-a)=0， aR}
【思路点拨】本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.
【解析】(1)A={1，-2，-1，2}
(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}
(3)C={0，1，2，3}
(4)D={(0，0)}
(5)M={0}
(6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.
【总结升华】此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母aR，需要分类讨论.
举一反三：
【变式1】用列举法表示下列集合.
(1) A={x|x=(-1)n， n(N}；
(2) B={(x，y)|3x+2y=16， x(N， y(N}；
(3) C={16的正整数约数}.
【解析】(1)A={1，-1}；
(2)B={(0，8)， (2，5)， (4，2)}；
(3)C={1，2，4，8，16}.
【变式2】用描述法表示下列集合.
(1)A={3，6，9，12，15，18，21}；
(2)B={，，，，，……}.
【解析】(1)A={x|x=3n， 1≤n≤7， n∈N}；
(2)B={x|x=， n∈N+}.
类型五：集合间的关系
例11．用适当的符号填空：
(1)_________{0}； (2) {x||x|≤1}___________{x|x2≤1}
(3){y|y=2x2}__________{y|y=3x2-1} (4){x||x|>1}__________{x|x>1}
(5){(x，y)|-2≤x≤2}_______________{(x，y)|-1(6)若A={0， ， (1，-1)， {1}}， 则{1}_________A，________A， {0，}________A， {0} _______A；
(7)__________ {}
【解析】(1) (2)= (3) (4) (5) (6) ，， ， (7) ()
【总结升华】区分元素与集合间的关系 ，集合与集合间的关系.
例12. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
举一反三：
【变式1】已知集合A={1，3，a}， B={a2}，并且B是A的真子集，求实数a的取值.
【解析】∵， ∴a2A，
则有：
（1）a2=1a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1；
（2）a2=3a=
（3）a2=aa=0， a=1，舍去a=1，则a=0
综上：a=-1， a=或a=0.
【总结升华】根据集合元素的互异性，需分类讨论.
例13．已知：M={x，xy，}， N={0，|x|，y}且M=N，求x，y的值.
【思路点拨】M=N———M、N元素相同；M、N各含三个互异元素；分类讨论思想.
【解析】(1)若x=0则N={0，0，y}与元素互异性不符，∴x≠0
同理y≠0， ∴即x=y.
(2) 若x=|x|，则xy=y
∴x≥0， ∴x=1， y=1与元素互异性不符.
(3)若x=y， xy=|x|，即x2=|x|，解得：x=y=-1.
举一反三：
【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
∴当b=1时，a=-1，
当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
【变式2】已知集合A={x，xy，}，集合B={0，|x|，y}，若A=B，试求
【解析】由A=B，知A，B所含元素相同.由O{0，|x|，y}可知
若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了A中元素互异性，所以x≠0.
若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即B中元素0，y是相同元素，破坏了B中元素的互异性，故xy≠0
若，则x=y，A，B可写为
A={x，x2，0}，B={0，|x|，x}
由A=B可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，A中元素|x|与x相同，破坏了A中元素互异性，故 x≠1
当x=-1时，A={-1，1，0}，B={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=(-2)+2+(-2)+……+(-2)+2+(-2)
=-2.
类型六：集合的运算
例14. 设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
例15．（1）设全集U={不超过5的自然数}，A={x|x2-5x+6=0}，B={x|x2-7x+12=0}，则A∩B= ，
A∪B= ，= ，= ；
（2）设全集，已知，，则Ｍ∩Ｎ= ，
= 。
【解析】
（1）方法一：
U={0，1，2，3，4，5}，A={2，3}，B={3，4}，则
A∩B={3}，A∪B={2，3，4}，={0，1，3，4，5}，={0，1，5}.
方法二：用韦恩图示：
由图知A∩B={3}，A∪B={2，3，4}，={0，1，3，4，5}，={0，1，5}.
（2）由不等式，得Ｍ=(-，1)，由不等式，得Ｎ=(-1，+)，
因而Ｍ∩Ｎ=(-1，1)，，.
【总结升华】
1.本题主要考察集合的交、并、补综合运算。要求对集合的描述法表示有较深刻的认识。集合的三种表示语言要熟悉。
2. 关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行计算.
3. 对元素个数较少的集合的运算常采用公式法或韦恩图法，而对不等式解集的运算一般用数轴法较为简捷.
举一反三：
【变式】设全集，，，，则AB=____________．
【答案】∵用韦恩图示：
　　∴由图知.
类型七：集合运算综合应用
例16．已知集合，
，若，求实数的取值范围．
【思路点拨】本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围．
【解析】解法一：由得 ①
∵，∴方程①在区间上至少有一个实数解，
首先，由，解得：或．
设方程①的两个根为、，
（1）当时，由及知、都是负数，不合题意；
（2）当时，由及知、是互为倒数的两个正数，
故、必有一个在区间内，从而知方程①在区间上至少有一个实数解，
综上所述，实数的取值范围为．
解法二：问题等价于方程组在上有解，
即在上有解，
令，则由知抛物线过点，
∴抛物线在上与轴有交点等价于　 ①　
或 ②
由①得，由②得，
∴实数的取值范围为．
例17．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 011∈[1]
②-3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];
④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”.
其中，正确结论的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【思路点拨】根据题目中所给的“类”的概念，对逐个选项进行判断，从中找出正确的.
【解析】选C. 对于①：，故①正确；
对于②：，，故②不正确；
对于③: 整数集
,故③正确；对于④：若整数属于同一类，则
，
，若
，“，故④正确，正确结论的个数是3.
例18. 已知,若,求实数的值,并求.
【解析】 ∵,∴,即.
由已知可得，, ∴.
(ⅰ)当时，∴,与题设相符.
(ⅱ)当时，∴与题设矛盾.
(ⅲ)当时， ={4} 与题设矛盾.
∴，这时=.
【总结升华】
本题容易出现由求出，而不对的条件进行验证。此题是集合在一定条件约束下求参数的问题，体现了分类讨论的数学思想。
举一反三：
【变式1】若集合A={x|x2+x-6=0}, B={x|mx+1=0，m∈R}, 且BA，则m的取值的集合是________。
【答案】可求A={-3,2}, 化简集合B时注意对m的讨论，
当m=0时，mx+1=0无解，∴B=，满足BA；
当m(0时，, ∵ BA，∴或， ∴ 或,
综上所述，m的取值的集合是：.
【变式2】设全集，集合，AU，，则k等于____________．
【答案】∵，∴4∈U而4A．
∴．∴或．
而时，A＝｛1，-7｝，U＝｛1，2，4｝，不满足题意．
而时，A＝｛1，2｝，U＝｛1，2，4｝,AＵ，且，满足题意．
故应填4．
【变式3】设集合,,
,且， ，求的值．
【答案】B＝｛2，3｝，C＝｛－4，2｝，
　∵，∴－4A，2A．
　又，∴3A，
即是方程的解．
　∴．∴＝5或＝－2．
　当＝5时，与不符，
故舍去＝5．
　　当＝－2时，满足，，
　　综上所述，＝－2．
例19. 设集合，，若，求的取值范围.
【思路点拨】不等式的解集的有关问题一般应当借助于数轴解决。
【解析】集合，用数轴表示,如图：
　∵，
（1）若时，需k＋1＞2k－1，即k＜2．
（2）时，只需
或k＞6．

　∴满足条件的的取值范围是：＜2或＞6．
【总结升华】
1. 有关含参数集合的运算,通常先确定参数的取值,再进行有关运算.尤其解决与不等式有关问题时,抓住集合的交并补等概念,借助于数轴解决,但要特别注意端点的取舍.
2. 解答这类问题，最容易忽略的情形。空集是一个特殊的集合，在研究集合之间的关系及运算时必须要注意。
3. 对于不等式集合的字母讨论中有可能（或
；但对于区间则一定有.
举一反三：
【变式】设,若，求实数的取值范围。
【解析】

(1) 当时，,
解得，与矛盾.
(2) 当时，,
解得，故.
(3）当时，,
解得故
综上可得：
例20. 已知，，且，求实数的取值范围。
【解析】方法一:
，对A进行分以下三种情况：
(1)，此时，满足.
(2),此时，满足.
(3)，
由一元二次方程的求根公式有.
∵（如图），
∴由图知
综上所述：的取值范围是.
方法二:
（1）当，即，时，符合题意；
（2）当，即时
∵，∴方程的根都在内，
令，则满足
综上所述：的取值范围是.
【总结升华】
1. “”包含两层含义：或；要体会时，和的区别.
2. 一元二次方程、不等式、函数之间联系紧密，可以相互转化。
举一反三：
【变式1】已知集合,若求实数的取值范围.
【答案】由，则，所以，
即 ，解得.
下面考察(即方程的二根均非负)时,的取值范围：
则.
故所求范围为上述范围在中的补集,即为.
∴满足条件的实数m的取值范围为.
【变式2】已知集合,集合,又，求实数的取值范围.
【答案】根据题意,由知：方程组在内有解，
消去，等价于方程在内有解.
令,则
若有一解,则 ,∴
若有两解,则， ∴
综上可知：.
【巩固练习】
1．下列命题正确的有( )
(1)很小的实数可以构成集合；
(2)集合与集合是同一个集合；
(3)这些数组成的集合有个元素；
(4)集合是指第二和第四象限内的点集.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列四个集合中，是空集的是( )
A． B．
C． D．
3．若全集，则集合的真子集共有( )
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
4．若为全集，下面三个命题中真命题的个数是( )
(1)若；
(2)若；
(3)若.
A．个 B．个 C．个 D．个
5．设集合，，则( )
A． B． C． D．
6．若集合，，且，则的值为( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0
7．设，则.
8．若且，则 .
9．已知集合至多有一个元素，则的取值范围 ；若至少有一个元素，则的取值范围 .
10．若集合，，则_____________．
11．设集合，，且，则实数的取值范围是 .
12．用列举法表示集合：= .
13．设全集，集合，，那么等于________________.
14．设.
15．设，其中，如果，求实数的取值范围.
16．设，集合，；若，求的值.
17．全集，，如果则这样的实数是否存在？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
18．已知集合，若，求实数的值.
19．设全集，，.
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】(1)错的原因是元素不确定，(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同，
(3)，有重复的元素，应该是个元素，(4)本集合还包括坐标轴.
2．【答案】D
【解析】选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根.
3．【答案】C
【解析】，真子集有.
4．【答案】D
【解析】(1)；
(2)；
(3)证明：∵，∴；
同理， ∴.
5．【答案】 B
【解析】；，整数的范围大于奇数的范围.
6．【答案】D
【解析】当时，满足，即；当时，
而，∴；∴.
7．【答案】
【解析】.
8．【答案】
【解析】由，则，且.
9．【答案】，
【解析】当中仅有一个元素时，，或；
当中有个元素时，；
当中有两个元素时，.
10．【答案】
【解析】，显然.
11．【答案】
【解析】，则得.
12．【答案】
【解析】(的约数).
13．【答案】
【解析】，代表在直线上，但是挖掉的点，代表直线外，但是包含点的点；
代表直线外的点，代表直线上的点，∴.
14．【解析】由得的两个根，
即的两个根，
∴，，
∴.
15．【解析】由，而，
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而；
∴得
∴.
16．【解析】，由，
当时，，符合；
当时，，而，∴，即
∴或.
17．【解析】由得，即，，
∴，∴.
18．【解析】∵，∴，而，
∴当，
这样与矛盾，；
当符合
∴.
19．【解析】当时，，即；
当时，即，且
∴，∴
而对于，即，∴
∴.