人教版高中数学选修1-1《3.3.1函数的单调性与导数》导学案（Word版）

2.25导学案
1.3.1函数的单调性与导数（第1课时）
【学习目标】
理解函数单调性和导数的关系.
2、会利用导数判断函数的单调性.
【重点难点】
重点：函数的单调性和导数的关系.
难点：利用导数判断函数的单调性.
【知识回顾】
回顾函数单调性的定义.
2、利用定义判断的单调性.
【问题探究】
知识点一、函数单调性和导数的关系
问题1：如上图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，
图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
问题2：
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而 ，即是增函数．相应地， 0
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而 ，即是减函数．相应地， 0
问题3：观察下列函数及其图像，函数的单调性与其导数正负有什么关系呢？
（1）对于函数， ，在R上 0，在R上为 函数.
（2）对于函数， ，在上， 0，在上 为 函数；在上， 0，在上为 函数.
（3）对于函数， ，在R上 0，而在R上为 函数.
（4）对于函数， ，在上， 0，在上为 函数；在上， 0，在上为 函数.
如图，导数f'(x0)表示函数f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调递增；
在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调递减．
问题4：一般的，在某个区间内，如果, 则在区间内为 ；如果, 则在区间内为. .
问题5：如果在某个区间内恒有0，那么函数有什么特征？
注：1、若在某区间上有有限个点使，在其余的点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）；2、由推出为增函数，但反之不一定．如函数在上单调递增，但．
知识点二、用函数的导数研究函数的单调性.
例1．已知导函数f'(x)的下列信息：
当时10；当x=4，或x=1时，f'(x)=0.
试画出函数图像的大致形状．
例2、判断函数的单调性，并求出单调区间。
（1）f(x)=x3+3x； （2）f(x)=x2—2x+3；
（3） （4）f(x)=2x3+3x2—24x+1.
问：求解函数单调区间的步骤：_________________________________________________.
【当堂检测】
1、判断函数的单调性，并求出单调区间：
（1）；（2）；（3）.
2、请尝试完成课本26页练习2.