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八年级 下册
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
温故知新
矩形的性质
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
想一想
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
菱形
邻边相等
菱形的定义
有一组 的 叫做
邻边相等
平行四边形
A
D
C
B
∵四边形ABCD是平行四边形,
AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
菱形
感受生活
你能举出生活中你看到的菱形吗？
生活
感受
他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
折一折 剪一剪
画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回答以下问题：
１、菱形是轴对称图形吗？
2、菱形有几条对称轴？
3、对称轴之间有什么关系？
4、你能看出图中哪些线段和角相等？
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
菱形ABCD中
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
探究菱形的性质
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
菱形的四条边相等;
菱形是轴对称图形,也是中心对称图形.
已知:如图四边形ABCD是菱形,
求证:菱形的四条边相等
菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角.
A
B
C
D
O
证明(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴DA=DC(菱形的定义).
∵DA=BC,AB=DC,
∴AB=BC=DC=DA.
(2)在△DAC中,又∵AO=CO,
∴DB⊥AC.
DB平分∠ADC（三线合一）.
同理： DB平分∠ABC；
AC平分∠DAB和∠DCB.
(1)AB=BC=CD=DA;
(2)AC⊥BD,
AC平分∠DAB和∠DCB,
BD平分∠ADC和∠ABC.
求证:
A
B
C
D
O
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角；
菱形的性质
运用性质 解决问题
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC
=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求
两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积
（结果保留小数点后一位）．
A
B
C
D
O
生活中的数学
练一练
3cm
600
C
C
B
D
A
O
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60度，则∠ABD＝_______.
3.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
练一练
4.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。
C
B
D
A
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD.
AC⊥BD.
∵Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2，
AB=5cm，AO=4cm.
∴OB=3cm.
∴BD=2OB=6cm.
AC=2OA=8cm.
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八年级 下册
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
矩形 菱形
定义
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形的性质
性质
边
角
对角线
四个角都是直角
相等
互相垂直且平分每一组对角
判定
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
四条边都相等
探究一
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
已知：在 中，AC ⊥ BD，
ABCD
ABCD
求证： 是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
又∵ AC ⊥ BD，
∴BA=BC .
∴ ABCD是菱形.
O
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
例1 如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且
AB=5，AO=4，BO=3．求证： ABCD是菱形．
B
C
A
D
O
求证：四边都相等的四边形是菱形．
如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA．求证：四
边形ABCD是菱形．
D
C
A
B
定理2：四边都相等的四边形是菱形．
发散思维
证明： ∵四边形ABCD中，AB=CD ， BC==AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵ AB=BC，
∴ 平行四边形ABCD是菱形.
？
菱形的
定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角
菱形的四条边都相等
菱形的
判定
C
D
A
B
O
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边都相等的四边形是菱形
小结
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
做一做
2. ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形.
A
B
C
D
O
菱
矩
矩
菱
做一做
三个角是直角
四条边都相等
一个角是直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线互相垂直
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
四边形
平行四边形
矩形
菱形
