北师大版数学八年级下册第四--五章考点讲义与典型例题（pdf版、例题不含答案）

北师大版八下第四章 分解因式考点
一. 分解因式
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个
多项式分解因式.
2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区
别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
例 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
(A)(a+3)(a-3)=a2-9 (B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1
(C)a2b+ab2=ab(a+b) (D)x2+1=x(x+
x
1 )
二. 提公因式法
1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式
提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的
方法叫做提公因式法.
如: )( cbaacab ???
2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能
是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对
加法的分配律,即: )( cbammcmbma ?????
3. 易错点:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不能
漏掉.
例 下列各式的因式分解中正确的是（ ）
(A)-a2+ab-ac= -a(a+b-c) (B)9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy)
(C)3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b) (D)
2
1 xy2+
2
1 x2y=
2
1 xy(x+y)
分解因式 （1）
2
1 a2(x-2a)2-
4
1 a(2a-x)3
（2）-3ma3+6ma2-12ma
三. 运用公式法
1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.
这种分解因式的方法叫做运用公式法.
2. 主要公式:
(1)平方差公式: ))((22 bababa ????
(2)完全平方公式: 222 )(2 bababa ???? 222 )(2 bababa ????
3. 因式分解要分解到底. 如 ))(( 222244 yxyxyx ???? 就没有分解到
底.
4. 运用公式法:
(1)平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式
的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异
号.
(2)完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式
的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的 2倍.
5. 因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使
用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运
用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分
解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再
分解为止.
例 下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2
例 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
(A)
4
1
2mm ?? (B) 22 2 yxyx ??? (C) 22 4914 baba ??? (D) 1
3
2
9
2
?? nn
例 将 xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则 n的值
为 .
例 已知(4x+y-1)2+ 2?xy =0，求 4x2y-4x2y2+xy2的值.
例 计算 )
10
11)(
9
11()
3
11)(
2
11( 2232 ???? ? 的值是
四. 分组分解法:
1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
如: ))(()()( nmbanmbnmabnbmanam ??????????
2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后
是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继
续分解因式.
3. 注意: 分组时要注意符号的变化.
第五章 分式与分式方程考点
一. 分式
1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不
能整除时,就出现了分式. 整式 A除以整式 B,可以表示成
B
A
的形式.如果除式 B中含有字母,那么称
B
A为分式,对于任意一
个分式,分母都不能为零.
2. 整式和分式统称为有理式,即有:
?
?
?
分式
整式
有理式
3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依
据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以(或除以)同
一个不等于零的整式,分式的值不变.
)0(, ?
?
?
?
?
?
? M
MB
MA
B
A
MB
MA
B
A
4. 一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性
质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是
把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.
例 下列代数式：①
yx
yx
?
? ；②
1
3
2 ?x
；③
x
x 1
3
? ；④
4
xy；⑤
14.3
ba ? ，
其中整式有____________，分式有___________（只填序号）.
例 分式
3
92
?
?
x
x 当 x __________时分式的值为零，当 x
__________时分式
x
x
21
21
?
? 有意义.
例 如果 2a
b
? ，则
2 2
2 2
a ab b
a b
? ?
?
=__________.
二. 分式的乘除
1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分
母;
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式
相乘.
即:
BD
AC
D
C
B
A
?? ,
CB
DA
C
D
B
A
D
C
B
A
?
?
????
2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. 即:
)( 为正整数n
B
A
B
A
n
nn
??
?
?
?
?
?
逆向运用
n
n
n
B
A
B
A
?
?
?
?
?
?? ,当 n为整数时,仍然有 n
nn
B
A
B
A
??
?
?
?
?
? 成立.
3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.
例 计算（1） 22
2
21
10
6
5
3
2
x
y
x
y
y
x
?? （2）
x
x
x
x
x
x 4
22
3 2 ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
三. 分式的加减法
1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几
个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
式,叫做分式的通分.
2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为
同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.
(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则
用式子表示是:
C
BA
C
B
C
A ?
??
(2)异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加
减;
上述法则用式子表示是:
BD
BCAD
BD
BC
BD
AD
D
C
B
A ?
????
3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简
公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字
母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则
首先对多项式进行因式分解.
例 计算（1）
mn
n
nm
m
mn
nm
?
?
?
?
?
?2 （2） 3
3
1
??
?
x
x
四. 分式方程
1. 解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②
解这个整式方程;
③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简
公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
2. 列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)
方程;
④解方程,并验根;⑤写出答案.
例 解方程
1
4
1
1
2 ?
?
?
?
xx
x +1
例 某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检
查，结果甲厂有 48 件合格产品，乙厂有 45 件合格产品，甲
厂的合格率比乙厂高 5%，求甲厂的合格率？