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七年级 下册
新课标（BS）
数 学
1 用表格表示的变量间关系
视频：一对父女三十年的照片之路
随着时间的流逝，你从小变大，变老！
视频：万物生长纪录片
万事万物不变的是它永不停息的“变”！
王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间 (如图).他们得到如下数据：
支撑物高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下滑时间/s 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35
1.23
0.55
0.32
0.24
0.18
0.12
0.09
0.09
0.06
(1)支撑物高度为70 cm时，小车下滑时间是多少？
(2)如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
(3)h每增加10 cm，t的变化情况相同吗？
1.59
变小
不同
(4)估计当h＝110时，t的值是多少.你是怎样估计的？
(5)随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？
估计是1.30秒,因为时间越来越少.
下滑的时间t发生了变化，小车下滑的路程没有.
在上面的实验中，t随着h的变化而变化，h是自变量，
t是因变量；小车下滑的距离始终没变，所以在变化过
程中数值始终不变的量叫做常量
例1 林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上
都有三个量，其中一个表示单价(元/升)的数值固定
不变，另外两个量分别表示加油量(升)、加油金额
(元)，数值一直在变化，在这三个量中______是常
量，________是自变量，_________是因变量．
单价
加油量
加油金额
自变量和因变量的区分方法：
1.看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因变量是后发生变化的量；
2.看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变量是一个被动变化的量；
3.看因果关系，自变量是起因，因变量是结果．
能区分自变量和因变量了吗？
例2 父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低”，
并且出示了下面的表格：
父亲给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答：
(1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么 随着h的变化，t如何变化？
随着h的升高，t在降低.
(2)你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
－10℃
(3)你能预测出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
－10－6=－16(℃).
1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间
的变化而变化的，在这一问题中，因变量是( )
A．沙漠 B．体温 C．时间 D．骆驼
B
2.一个圆柱的高h为10 cm，当圆柱的底面半径r由小到大变
化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中( )
A．r是因变量，V是自变量 B．r是自变量，V是因变量
C．r是自变量，h是因变量 D．h是自变量，V是因变量
B
3.下表所列为某商店薄利多销的情况.某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量(单位：件)发生相应的变化(如表)：
这个表反映了____个变量之间的关系，______是自变量，________是因变量.从表中可以看出每降价5元，日销量增加____件，从而可以估计降价之前的日销量为____件.
两
降价
日销量
30
750
4.研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量 有如下关系：
氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
反映了氮肥的施用量和土豆的产量之间的关系．
氮肥的施用量是自变量，土豆的产量是因变量．
(2)当氮肥的施用量是101 kg/hm2 (hm2是单位“公顷” 的
符号)时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？
当氮肥的施用量是101 kg/hm2时，土豆的产量是32.29 t/hm2.如果不施氮肥，土豆的产量是15.18 t/hm2.
氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由.
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
氮肥的施用量为336 kg/hm2时比较适宜，因为此时土豆的产量最高．
土豆的产量随氮肥的施用量的增加先增加，
增加到一定程度后又降低．
氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
小结
自变量
因变量
被动变化的量
常量
变量
主动变化的量
2.自变量是在一定范围内主动变化的量.
3.因变量是随自变量变化而变化的量.
1.常量是在变化过程中始终不变的量.
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2 用关系式表示的变量间关系
在“小车下滑的时间”中，
1.支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量.其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化,
2.支撑物的高度h是自变量，
3.小车下滑的时间t是因变量.
还记得区分自变量和因变量的方法吗？
如图，三角形ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化.
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)如果三角形的底边长为x (cm)，那么三角形的面积y (cm2)
可以表示为_______.
(3)当底边长从 12 cm变化到 3 cm时，三角形的面积从______cm2变化到 ______cm2.
三角形的底边长度是自变量，三角形的面积是因变量.
y=3x
36
9
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法，利用关系式，
如y=3x，我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值.
关系式法：
1.关系式是两个变量之间关系的定量表达；
2.关系式是在给定自变量值后能确定相应的因变量的值，但是因变量可能不唯一
(4)估计当h＝110时，t的值是多少.你是怎样估计的？
(5)随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？
估计是1.30秒,因为时间越来越少.
下滑的时间t发生了变化，小车下滑的路程没有.
在上面的实验中，t随着h的变化而变化，h是自变量，
t是因变量；小车下滑的距离始终没变，所以在变化过
程中数值始终不变的量叫做常量
你还记得圆锥的体积公式是什么吗？
其中的字母表示什么？
r
h
变化中的圆锥
h
r
r
h
底面半径不变
高变
高不变
底面半径变
双击图标查看
如图，圆锥的高是4cm,当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)如果圆锥底面半径为r(cm)，那么圆锥的体积V(cm3)与r的关系式为 .
(3)当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由 cm3变化到 cm3.
圆锥的底面半径的长度是自变量，圆锥的体积是因变量.
如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h cm由大到小变化时，圆柱的体积V(cm3)随之发生变化.
(1)在这个变化中，自变量和因变量各是什么？
(2)写出圆柱的体积V与高h之间的关系式.
自变量是圆柱的高h，因变量是圆柱的体积V.
V= =πh.
(3)当h由10 cm变化到5cm时，V是怎样变化的？
(4)当h=0时，V等于多少？此时表示什么？
当h=10cm时，V=πh=10πcm3；
当h=5cm时，V=πh=5πcm3.
所以当h由10cm变化到5cm时，
V从10πcm3变化到5πcm3.
V=0,此时表示平面图形为—直径为2cm的圆.
你知道什么是“低碳生活”吗？ “低碳生活”
是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳
(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式.
（1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式
表示为_____________，其中的字母分别表
示__________________________.
（2）在上述关系式中，耗电量
每增加1kW·h，二氧化
碳排放量增加___________.
当耗电量从1kW·h增加到
100kW·h时，二氧化碳排
放量从_________增加到
_________.
0.785kg
78.5kg
0.785kg
y=0.785x
二氧化碳排放量 耗电量
（3）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m3、
自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这
几项的二氧化碳排放量.
家居用电的二氧化碳：
110×0.785=86.35（kg）
开私家车的二氧化碳：
75×2.7=202.5（kg）
家用天然气的二氧化碳：
20×0.19=3.8（kg）
家用自来水的二氧化碳：
5×0.91=4.55（kg）
对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度x(℃)与华氏温度y(°F)之间存在的关系为：y=1.8x+32,如图所示：
(1)用表格表示当x从－10到30(每次增加10)，y的相应的值.
解：(1)
(2)某天，连云港的最高气温是8℃，悉尼的最高气温是91°F，问这一天悉尼的最高气温比连云港
的最高气温高多少摄氏度(结果保留整数)？
解：(2)y=91，则1.8x+32=91，
所以有x≈33，
33－8=25(℃).
所以这一天悉尼的最高气温比连云港的高25℃.
小结
1.关系式：是表示变量之间关系的一种方法
2.关系式法优点：可以准确的知道任意一自变量值所对应的因变量的值
3.关系式法的运用：利用常见几何图形的基本公式，如面积、周长、体积等，来表示变量间的关系
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数 学
3 第1课时
用图像式表示的变量间关系（一）
1.对于两个变量之间的关系，我们已经分别学习了
________和__________两种表示方法.
列表法
关系式法
2.张小明星期日去郊外爬山，他的爸爸为他记录了如下数据：
爬坡长度x/m 30 50 80 100 150 200
爬坡时间t/min 2 3.7 6.5 9 14 20
（1）当爬坡100 m时，所花的时间是多少？
（2）当爬坡每增加20 m时，所花时间增加的数值相同吗？
（3）从数据的变化中，你能得到什么变化趋势？
9 min
不相同
随着爬坡长度的增加，所需要的时间越来越多.
3.圆锥的高是5 cm，当圆锥的底面半径由小到大时，圆锥的体积也随之发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果圆锥底面半径为r（cm），体积为V（cm3）,则V与r之间有什么关系？
（3）当底面半径为3 cm时，圆锥的体积是多少？
（4）圆锥的体积随底面半径的增大怎样变化？
自变量是底面半径，因变量是圆锥体积.
增大
温度/ ?C
27
31
M
D
N
37
15
E
23
3
请根据下图填空：
(1)上午9时的温度是____,
12时呢?
(2)这一天的最高温度是___,
是____时达到的, 最低温
度呢?
(3)这一天的温差是____,
从最低温度到最高温度经
过____小时.
14?C
27?C
31?C
37?C
15
23?C
3时
12
温度/ ?C
D
E
F
(4)在什么时间范围内温度在上升? 在什么时间范围内温度在下降?
(5)图中的A点表示的是什么?
B点呢?
(6)你能预测次日凌晨1时的温度吗? 说说你的理由.
0时到3时、15到24时
21时的温度是310C
0时的温度是260C
大约是240C左右
3时到15时
横轴
纵轴
0
1.用图像表示变量间的关系最大的特点就是直观；
2.图像的水平数轴（横轴）上的点表示自变量，竖直数轴（纵轴）上的点表示因变量；
3.图像能较为直观的反映变化趋势
例题 一天，小明发烧了，早晨吃过药后，感觉好多了，体温基本正常，下午体温又开始上升，吃过药后又感觉体温正常了，如图是他的体温变化图．
(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？
(2)根据图象填表：
(3)当时间取0～24时之间的一个确定值时，小明的体温能确定吗？
时间/时 6 12 18 24
体温/℃ ? ? ? ?
时间(时)与体温（oC）
39
36
37.8
36.3
能确定
骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．
（1）一天中，骆驼的体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
A
温度/℃
时间/时
35至40℃
12小时
（图中25时表示次日凌晨1时）
A
温度/℃
时间/时
（图中25时表示次日凌晨1时）
（3）在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？
（2）从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？
（4）你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时 有什么关系吗？
其他时刻呢？
3℃
上升：4至16时和28至40时
下降：0至4时，16至28时和40至48时
体温一样
海水受日月的引力而产生潮汐现象，早晨海水上涨叫做潮，黄昏海水上涨叫做汐，合称潮汐. 潮汐与人类的生活有着密切的联系. 下面是某港口从0时到12时的水深情况.
(1)大约什么时刻港口的水最深？深度约是多少？
大约3时港口的水最深，深度约是7.5 ．
(2)大约什么时刻港口的水最浅？深度约是多少？
大约9时港口的水最浅，深度约是2.4 m．
3时到9时港口水深在减少．
(4)在什么时间范围内，港口水深在减少？
0时到3时和9时到12时港口水深在增加．
(3)在什么时间范围内，港口水深在增加？
(5)A，B两点分别表示什么？还有几时水的深度与A点所表示的深度相同?
A点表示6时港口的水深大约为5 m，B点表示12时港口的水深大约为4.3m；0时水的深度与A点所表示的深度相同．
(6)说一说这个港口从0时到12时的水深是怎样变化的.
0时到3时水深在增加；3时到9时水深在减少；9时到12时水深又在增加
小结
1.图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观．
2.曲线型图象能够反映出数据的变化趋势，通过结合横纵数轴表示的意义，我们能够很直观的感受到数据的意义.
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3 第2课时
用图像法表示的变量间关系（二）
我们已经学习了几种表示变量之间关系的方法?
1.表格法
下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价的幅度变化，日销量（单位：件）随之发生变化：
降价（元） 5 10 15 20 25 30 30
日销量（件） 718 787 845 895 937 973 1000
在这个表中反映了 个变量之间的关系，
是自变量， 是因变量.
2
每件商品的降价
日销量
变量间的数值具体，对应清楚
2.关系式法
某出租车每小时耗油5千克，若t小时耗油q千克，
则自变量是 ，因变量是____,q与t的关系式
是 .
t
q
q＝5t
变量间的内在关系确定
3.图象法（曲线型图象）
下图表示了某港口某日从0时到6时水深变化的情况.
1）大约什么时刻港口的水最
深？约是多少？
0
5
6
4
3
2
1
1
2
3
4
8
7
6
5
水深/米
时间/时
A
2）A点表示什么？
3）说说这个港口从0时到6时
的水位是怎样变化的？
变量的变化趋势直观
在3时最深，约为7米
在4时最深，约为6.5米
在0~3时水位上升，
在3~6时水位下降
每一辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度. 你知道现在汽车的速度是多少吗？
约为50km/h
0
4
8
12
16
20
24
90
60
30
时间/分
速度/（千米/时）
汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的.下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.
（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？
共经过了24分，最高时速是90千米/时.
0
4
8
12
16
20
24
90
60
30
时间/分
速度/（千米/时）
（2）汽车在哪些时段保持匀速行驶？时速分别是多少？
大约在2分到6分，18分到22分之间汽车匀速行驶，速度分别为30千米/时和90千米/时.
0
4
8
12
16
20
24
90
60
30
时间/分
速度/（千米/时）
（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
出发后8分到10分之间，汽车处于静止状态，可能遇到了特殊情况，如等红灯，或在加油，或发生了交通事故等
0
4
8
12
16
20
24
90
60
30
时间/分
速度/（千米/时）
（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.
汽车从0分到2分加速行驶，2分到6分匀速行驶，6分到8分减速行驶，8分到10分停止不前，10分到18分加速行驶,18分到22分匀速行驶，22分到24分减速行驶直至速度为0．
0
4
8
12
16
20
24
90
60
30
时间/分
速度/（千米/时）
在一个变化过程中，两个变量之间的关系，有时随着自变量
的变化，因变量与自变量之间的关系也会发生变化，反映在图象上
就是分段图象．
折线（分段）图像：
能根据不同部分图像中变量间的关系特点来合理的解释实际问题
建立图像和文字间对应的“数形”的统一
例题 新成药业集团研究开发了一种新药，在实验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐渐减少，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化情况如图.当儿童按规定剂量服药后：
(1)血液中含药量最高是多少微克？
(2)A点表示什么意义？
(3)当每毫升血液中含药量为2微克以上时，治疗疾病
是有效的，那么这个有效期是多长时间？
(1)血液中含药量最高是多少微克？
(2)A点表示什么意义？
(3)当每毫升血液中含药量为2微克以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效期是多长时间？
解：(1)血液中含药量最高是4微克；
(2)由于A点所对应的自变量的值为10，因变量的值为0，所以A点表示服药后10小时，血液中含药量为0微克；
(3)由图象可知，当时间在1小时到6小时之间时，含药量大于2 微克，所以，有效期的时间为:6－1＝5(小时)．
1.一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速 行驶.汽车到达下一个车站,乘客上下车后汽车开始加 速,一段时间后又开始匀速行驶.下面的那一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的变化情况?
速度
速度
0
时间
0
0
0
速度
速度
A
B
C
D
B
2.下图的图象反映的过程是：小明从家去超市买文具，又去书店购书，然后回家．其中x(min)表示时间，y(km)表示小明离家的距离，小明家、超
市、书店在同一条直线上．根据图象回答下列问题．
(1)超市离小明家有多远？小明走到超市用了多少时间？
(2)超市离书店有多远？小明在书店购书用了多少时间？
(3)书店离小明家有多远？小明从书店走回家的平均速度是每分钟多少米？
折线图像的不同部分对应不同的实际情形（常考）
你能从图中分别找到从家去超市、在超市购物、从超市到书店、在书店选书和从书店回家所对应的图像部分吗？
(1)由图象可以看出超市离小明家1.1 km，
小明走到超市用了15 min.
(2)超市离书店2－1.1＝0.9(km)，
小明在书店购书用了55－37＝18(min)．
(3)由图象可以看出书店离小明家2 km，
小明从书店走回家的平均速度是
小结
2.图象法能直观反映变量间的整体变化情况及变化规律，是表格法、关系式法所无法代替的.
1.在表示两变量间关系时，图象法是关系式和表格法的几何表现形式.
3.根据图象的变化趋势或周期性特征，不仅可回顾事情的过去，还可预测事情的未来.
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