8.3 实际问题与二元一次方程组课件
图片预览
文档简介
(共27张PPT)
人教版 七年级数学下
8.3实际问题与二元一次方程组
学习目标
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.（重点）
2.学会利用二元一次方程组解决和差倍分、几何图形、行程等实际问题.（重点、难点）
回顾旧知
思考1、解二元一次方程组有哪些方法？
代入消元法和加减消元法。
思考2、如何合理的选择消元法来解二元一次方程组？
（1）代入消元法：当存在未知数的系数的绝对值是1 的时候我们优先
选择代入法，对于有的问题我们选择整体代入；
（2）加减消元法：当未知数的系数相等或者互为相反数又或者存在整
倍数关系时我们优先选择加减法。
合作探究---列方程组解决和差倍分问题
探究一：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18到20 kg，每头小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李
大叔估计的准确吗？
思考2：如何设未知数？
设平均每头大牛1天约用饲料x kg,每头小牛1天约用饲料y kg
思考1：我们怎样检验李大叔估计的值是否准确呢？
分别计算出1头大牛和1头小牛每天实际需要饲料量。
思考3：题中有哪些等量关系？
(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;
(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料
为940kg.
探究一：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18到20 kg，每头小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李
大叔估计的准确吗？
合作探究---列方程组解决和差倍分问题
解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，
根据等量关系，列方程组：
答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.
+ = 675,
+ = 940.
30x
15y
42x
20y
解得： x= ,
y= .
20
5
剧情发展：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？
解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，则：
+ = 42,
+ = 20.
8x
5y
4x
2y
解得：
x =4
y = 2
答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.
合作探究---列方程组解决和差倍分问题
小试牛刀
1、课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各多少只？
解得：
答：鸡有23只，兔有12只.
小试牛刀
2、某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？
等量关系有：胜的场数+平的场数=11；胜场得分+平场得分=27.
解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得
8
y
3x
y
3
答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.
x
通过以上题目，总结
用二元一次方程组解
决实际问题的步骤
归纳总结
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用______表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用_________ _ 或___________ 解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元法
加减消元法
合作探究---列方程组解决几何图形问题
探究二：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
合作探究---列方程组解决几何图形问题
转换成数学语言：
A
D
C
B
已知：长方形ABCD， AB=CD=200m， AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.怎样划分土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
A
D
C
B
A
D
C
B
合作探究---列方程组解决几何图形问题
这里研究的实际上是长方形面积分割问题。
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
我们可以画出示意图来帮助分析
F
E
F
E
合作探究---列方程组解决几何图形问题
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
等量关系式有几个？
合作探究---列方程组解决几何图形问题
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
设AE＝xm，BE＝ym.
先求出两种作物的面积
SAEFD=100x
SEFCB=100y
再写出两种作物的总产量
甲：100x×1
乙：100y×2
则列方程为
100x:200y=3:4
总产量=
？
1 : 2
x
y
200m
100
如何设未知数呢？
则列方程为
x+y=200
单位面积产量×面积
合作探究---列方程组解决几何图形问题
A
D
C
F
B
E
根据题意列方程组为
100x:200y=3:4
x
y
200m
100m
x+y=200
解得
x=120
y=80
你觉得该如何答题比较完整呢？
甲种作物
乙种作物
解：
过点E作EF⊥AB，交CD于点F.
设AE＝x m，BE＝y m.
答：将这块土地分为长120 m,宽100 m 和长 100m, 宽80m
的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
合作探究---列方程组解决几何图形问题
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
A
D
C
B
E
x
y
F
x+y=100
乙种作物
甲种作物
解：过点E作EF⊥AD，交BC于点F.
设DE＝xm，AE＝ym.
200x:400y=3:4
200y
200x
x=60
y=40
解得
根据题意列方程组为
200m
100m
答：将这块土地分为长200 m,宽60 m 和长 200m,宽40m 的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
小试牛刀
一个长方形，它的长减少4cm，宽增加2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，求原长方形的长与宽。
X-4
4
y
2
Ⅰ
Ⅱ
?
合作探究---列方程组解决行程问题问题
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路。如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min，甲地到乙地全程是多少？
合作探究---列方程组解决行程问题问题
分析：甲地到乙地的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.
平路：4 m/h
下坡路：5 m/h
上坡路：3 m/h
走平路的时间+走下坡路的时间=________，
走上坡路的时间+走平路的时间= _______．
42min
54min
合作探究---列方程组解决行程问题问题
平路时间 坡路时间 总时间
甲到乙
乙到甲
解：设甲地到乙地平路长x m，上坡路长y m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
答：甲地到乙地的距离是3.1千米。
所以1.6+1.5=3.1（km）
本题还有其他方法吗？
小试牛刀
1、甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？
分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
小试牛刀
（1） 同时出发，同向而行
甲出发点
乙出发点
4km
甲追上乙
乙2h行程
甲2h行程
甲2h行程=4km+乙2h行程
（2） 同时出发，相向而行
甲出发点
乙出发点
4km
相遇地
甲0.5h
行程
乙0.5h
行程
甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km
小试牛刀
解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.
根据题意，得
解方程组，得
答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.
小试牛刀
2、我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时.
答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时.
课堂小结
畅谈收获：本节课你有哪些收获？
二元一次方程组的应用
应用
有关和差倍分的问题
几何图形的问题
行程问题
步骤
审题
设未知数
列方程组
解方程组
检验并作答
课后作业
课本教材第8页：5、6题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
人教版 七年级数学下
8.3实际问题与二元一次方程组
学习目标
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.（重点）
2.学会利用二元一次方程组解决和差倍分、几何图形、行程等实际问题.（重点、难点）
回顾旧知
思考1、解二元一次方程组有哪些方法？
代入消元法和加减消元法。
思考2、如何合理的选择消元法来解二元一次方程组？
（1）代入消元法：当存在未知数的系数的绝对值是1 的时候我们优先
选择代入法，对于有的问题我们选择整体代入；
（2）加减消元法：当未知数的系数相等或者互为相反数又或者存在整
倍数关系时我们优先选择加减法。
合作探究---列方程组解决和差倍分问题
探究一：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18到20 kg，每头小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李
大叔估计的准确吗？
思考2：如何设未知数？
设平均每头大牛1天约用饲料x kg,每头小牛1天约用饲料y kg
思考1：我们怎样检验李大叔估计的值是否准确呢？
分别计算出1头大牛和1头小牛每天实际需要饲料量。
思考3：题中有哪些等量关系？
(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;
(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料
为940kg.
探究一：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18到20 kg，每头小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李
大叔估计的准确吗？
合作探究---列方程组解决和差倍分问题
解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，
根据等量关系，列方程组：
答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.
+ = 675,
+ = 940.
30x
15y
42x
20y
解得： x= ,
y= .
20
5
剧情发展：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？
解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，则：
+ = 42,
+ = 20.
8x
5y
4x
2y
解得：
x =4
y = 2
答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.
合作探究---列方程组解决和差倍分问题
小试牛刀
1、课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各多少只？
解得：
答：鸡有23只，兔有12只.
小试牛刀
2、某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？
等量关系有：胜的场数+平的场数=11；胜场得分+平场得分=27.
解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得
8
y
3x
y
3
答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.
x
通过以上题目，总结
用二元一次方程组解
决实际问题的步骤
归纳总结
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用______表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用_________ _ 或___________ 解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元法
加减消元法
合作探究---列方程组解决几何图形问题
探究二：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
合作探究---列方程组解决几何图形问题
转换成数学语言：
A
D
C
B
已知：长方形ABCD， AB=CD=200m， AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.怎样划分土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
A
D
C
B
A
D
C
B
合作探究---列方程组解决几何图形问题
这里研究的实际上是长方形面积分割问题。
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
我们可以画出示意图来帮助分析
F
E
F
E
合作探究---列方程组解决几何图形问题
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
等量关系式有几个？
合作探究---列方程组解决几何图形问题
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
设AE＝xm，BE＝ym.
先求出两种作物的面积
SAEFD=100x
SEFCB=100y
再写出两种作物的总产量
甲：100x×1
乙：100y×2
则列方程为
100x:200y=3:4
总产量=
？
1 : 2
x
y
200m
100
如何设未知数呢？
则列方程为
x+y=200
单位面积产量×面积
合作探究---列方程组解决几何图形问题
A
D
C
F
B
E
根据题意列方程组为
100x:200y=3:4
x
y
200m
100m
x+y=200
解得
x=120
y=80
你觉得该如何答题比较完整呢？
甲种作物
乙种作物
解：
过点E作EF⊥AB，交CD于点F.
设AE＝x m，BE＝y m.
答：将这块土地分为长120 m,宽100 m 和长 100m, 宽80m
的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
合作探究---列方程组解决几何图形问题
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
A
D
C
B
E
x
y
F
x+y=100
乙种作物
甲种作物
解：过点E作EF⊥AD，交BC于点F.
设DE＝xm，AE＝ym.
200x:400y=3:4
200y
200x
x=60
y=40
解得
根据题意列方程组为
200m
100m
答：将这块土地分为长200 m,宽60 m 和长 200m,宽40m 的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
小试牛刀
一个长方形，它的长减少4cm，宽增加2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，求原长方形的长与宽。
X-4
4
y
2
Ⅰ
Ⅱ
?
合作探究---列方程组解决行程问题问题
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路。如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min，甲地到乙地全程是多少？
合作探究---列方程组解决行程问题问题
分析：甲地到乙地的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.
平路：4 m/h
下坡路：5 m/h
上坡路：3 m/h
走平路的时间+走下坡路的时间=________，
走上坡路的时间+走平路的时间= _______．
42min
54min
合作探究---列方程组解决行程问题问题
平路时间 坡路时间 总时间
甲到乙
乙到甲
解：设甲地到乙地平路长x m，上坡路长y m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
答：甲地到乙地的距离是3.1千米。
所以1.6+1.5=3.1（km）
本题还有其他方法吗？
小试牛刀
1、甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？
分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
小试牛刀
（1） 同时出发，同向而行
甲出发点
乙出发点
4km
甲追上乙
乙2h行程
甲2h行程
甲2h行程=4km+乙2h行程
（2） 同时出发，相向而行
甲出发点
乙出发点
4km
相遇地
甲0.5h
行程
乙0.5h
行程
甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km
小试牛刀
解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.
根据题意，得
解方程组，得
答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.
小试牛刀
2、我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时.
答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时.
课堂小结
畅谈收获：本节课你有哪些收获？
二元一次方程组的应用
应用
有关和差倍分的问题
几何图形的问题
行程问题
步骤
审题
设未知数
列方程组
解方程组
检验并作答
课后作业
课本教材第8页：5、6题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php