一、复习巩固
1．化简 的结果是( )
A．cos B．sin
C．－cos D．－sin
解析：∵∈，
∴ ＝＝sin.
答案：B
2．已知＝－5，那么tan α的值为( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析：由＝－5，分子分母同除以cos α得：＝－5，解得tan α＝－.
答案：D
3．化简：＝( )
A．cos 10°－sin 10°
B．sin 10°－cos 10°
C．sin 10°＋cos 10°
D．不确定
解析：原式＝
＝
＝|sin 10°－cos 10°|＝cos 10°－sin 10°.
答案：A
4．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为( )
A．－ B．
C．－ D.
解析：由题意知θ∈(0，π)，又sin θcos θ＝－，所以sin θ>0，cos θ<0，θ所以sin θ－cos θ>0，
sin θ－cos θ＝＝＝.
答案：D
5．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：sin4α－cos4α＝(sin2 α＋cos2 α)(sin2 α－cos2 α)
＝sin2 α－cos2 α＝2sin2 α－1＝2×2－1＝－.
答案：B
6．已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A. B．±
C. D．－
解析：由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，解得sin θcos θ＝.
答案：C
7．已知tan θ＝2，则＝__________.
解析：＝＝＝－3.
答案：－3
8．化简－的值为__________．
解析：－＝
＝＝－2tan2θ.
答案：－2tan2θ
9．化简：
＋.
解析：原式＝
＋
＝＋
＝
10．求证：＝.
证明：左边＝＝，
右边＝＝.
∵sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
∴＝，
即左边＝右边，∴原式成立．
二、综合应用
11．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：(sin α＋cos α)2＝，
∴2sin αcos α＝－＜0，
又∵α∈(0，π)，sin α＞0.
∴cos α＜0，
∴α为钝角．
答案：B
12．已知sin α－cos α＝，则tan α＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：将等式sin α－cos α＝两边平方，得到2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin2 α＋cos2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0，
由sin α－cos α＝和sin α＋cos α＝0，
解得sin α＝，cos α＝－，故tan α＝＝－1.
答案：A
13．已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为__________．
解析：由Δ≥0知，a≤.
又
由①式两边平方得：sin αcos α＝－，
所以＝－，所以a＝－.
答案：－
14．化简(1＋tan2 α)·cos2 α＝__________.
解析：原式＝·cos2 α＝cos2 α＋sin2 α＝1.
答案：1
15．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin A·cos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
解析：(1)由sin A＋cos A＝，
两边平方，得1＋2sin A·cos A＝，
所以sin A·cos A＝－.
(2)由(1)得sin A·cos A＝－<0.
又0
所以A为钝角．所以△ABC是钝角三角形．
(3)因为sin A·cos A＝－，
所以(sin A－cos A)2＝1－2sin A·cos A＝1＋＝，
又sin A>0，cos A<0，
所以sin A－cos A>0，
所以sin A－cos A＝.
又sin A＋cos A＝，
所以sin A＝，cos A＝－.
所以tan A＝＝＝－.
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