一、复习巩固
1．已知f(x)＝sin x，下列式子中成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x
B．f(2π－x)＝sin x
C．f＝－cos x
D．f(π－x)＝－f(x)
解析：f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sin x，
f(2π－x)＝sin(2π－x)＝－sin x，
f＝sin＝－cos x，
f(π－x)＝sin(π－x)＝sin x＝f(x)．
答案：C
2．下列各式中，不正确的是( )
A．sin(180°－α)＝sin α
B．cos＝sin
C．cos＝－sin α
D．tan(－α)＝－tan α
解析：由诱导公式知A，D正确．
cos＝－sin α，故C正确．
cos＝cos＝－sin，故B不正确．
答案：B
3．已知sin α＝，则cos等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：cos＝sin α＝，故选A.
答案：A
4．如果sin(π－α)＝－，那么cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵sin(π－α)＝－，∴sin α＝－，
则cos＝－sin α＝.
答案：A
5．sin(π＋θ)＝，sin＝，则θ角的终边在第__________象限．
解析：因为sin(π＋θ)＝，
所以sin θ＝－<0，
因为sin＝，
所以cos θ＝>0，
所以θ角的终边在第四象限．
答案：四
6．已知cos(75°＋α)＝且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝__________.
解析：因为cos(75°＋α)＝且－180°<α<－90°，
所以sin(75°＋α)＝－，
故cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－.
答案：－
7．已知sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin，求的值．
解析：由sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin，
得－sin α＝2cos α.则tan α＝－2，
所以
＝
＝
＝＝.
8．已知sin α＝，且α是第一象限角．
(1)求cos α的值；
(2)求tan(α＋π)＋的值．
解析：(1)因为α是第一象限角，
所以cos α>0.
因为sin α＝.
所以cos α＝＝.
(2)因为tan α＝＝.
所以tan(α＋π)＋
＝tan α＋＝tan α＋1＝.
二、综合应用
9．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin B D．sin＝cos
解析：∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C.
∴A，B都不正确；同理，B＋C＝π－A，
∴sin＝sin＝cos，因此D是正确的．
答案：D
10．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为sin(π＋α)＋cos
＝－sin α－sin α＝－m，
所以sin α＝，
故cos＋2sin(2π－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.
答案：C
11．已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为__________．
解析：因为角α的终边过点P(－4,3)，所以tan α＝－，
则＝＝＝＝＝tan α＝－.
答案：－
12．已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，求角α的弧度数．
解析：
∵3∈，∴sin 3>0，
cos 3<0.即α的终边在第一象限．
∴cos α＝cos＝cos.
又∵3－∈，∴α＝3－.
13．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝－cos与cos(－α)＝－sin同时成立．
解析：存在．所需成立的两个等式可化为sin α＝sin β，cos α＝cos β，
两式两边分别平方相加得：
sin2 α＋3cos2α＝2，
得2cos2α＝1，所以cos2α＝.
又因为α∈，
所以α＝或－.
当α＝时，由cos α＝cos β，得cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝；
当α＝－时，由sin α＝sin β，得sin β＝－，
而β∈(0，π)，所以无解．
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一、复习巩固
1．计算sin的值为( )
A．－ B．
C．－ D.
解析：sin＝－sin＝－.
答案：C
2．sin 120°cos 210°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－×＝－，故选A.
答案：A
3．已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以tan(π＋α)＝tan α＝＝－.
答案：D
4．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由sin(θ＋π)＝－sin θ<0?sin θ>0，cos(θ－π)＝－cos θ>0?cos θ<0，由，可知θ是第二象限角，故选B.
答案：B
5．下列三角函数，其中n∈Z：
①sin；②cos；③sin；④cos，其中与sin的值相同的是( )
A．①② B．②③
C．②③④ D．①③④
解析：sin＝
cos＝cos＝sin；
sin＝sin；
cos＝cos，所以应选B.
答案：B
6．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝__________.
解析：由已知可得，sin β＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝(k∈Z)．
答案：
7．计算sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)· sin 1 410°等于__________．
解析：sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)·sin 1 410 °
＝sin(－4×360°－120°)cos(－3×360°＋150°)－cos(－4×360°＋60°)sin(4×360 °－30°)
＝sin(－120°)cos 150°－cos 60°sin(－30°)
＝－×＋×＝＋＝1.
答案：1
8．化简：＝__________.
解析：原式＝＝
＝＝1.
答案：1
9．设f(θ)＝.
(1)化简f(θ)；
(2)若θ＝660°，求f(θ)的值．
解析：(1)原式＝
＝＝－cos θ.
(2)因为θ＝660°，
所以f(θ)＝f(660°)＝－cos 660°
＝－cos(720°－60°)＝－cos(－60°)＝－cos 60°
＝－.
10．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，求：
(1)sin α－cos α的值；
(2)sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)的值．
解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝.
∴1＋2sin αcos α＝，2sin αcos α＝－.
(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，
∵<α<π，∴sin α>0，cos α<0.
∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝.
(2)原式＝cos3α－sin3α
＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos αsin α＋sin2α)
＝(cos α－sin α)(1＋cos αsin α)
＝－×
＝－×＝－.
二、综合应用
11．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，
∴sin 80°＝＝.
∴tan 80°＝＝.
∴tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－.
答案：B
12．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则△ABC必是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：因为sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，所以sin(π－2C)＝sin(π－2B)，
即sin 2C＝sin 2B，所以2C＝2B或2C＝π－2B，
即C＝B或C＋B＝，
所以△ABC是等腰或直角三角形．
答案：C
13.＝__________.
解析：＝
＝|sin 2－cos 2|，
又∵＜2＜π，
∴sin 2＞0，cos 2＜0，
∴原式＝sin 2－cos 2.
答案：sin 2－cos 2
14．已知sin(125°－α)＝，则sin(55°＋α)的值为__________．
解析：因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝.
答案：
15．在△ABC中，已知sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－ cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解析：由已知得sin A＝sin B，cos A＝cos B，上式两端分别平方，再相加得2cos2A＝1，
所以cos A＝±.
若cos A＝－，则cos B＝－，
此时A，B均为钝角，不符合题意．
所以cos A＝，
所以cos B＝cos A＝.
所以A＝，B＝，C＝π－(A＋B)＝.
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