一、复习巩固
1．函数y＝3sin的振幅和周期分别为( )
A．3,4 B．3，
C.，4 D.，3
解析：由于函数y＝3sin，∴振幅是3，周期是T＝＝4.
答案：A
2．将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移个单位长度，则所得函数图像对应的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sinx D．y＝sin
解析：函数y＝sin的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得y＝sin的图像，再将此图像左移个单位长度，得y＝sin＝
sin的图像，选D.
答案：D
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间单调递增
③f(x)在[－π，π]有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
解析：①由f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，故①正确；
②x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数递减，故②错误；
③x∈[0，π]时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数有两个零点，f(0)＝f(π)＝0，故x∈[－π，0]时，f(0)＝f(－π)＝0，故函数有且只有三个零点，故③错误；
④函数为偶函数，故只需讨论正数的情况，x∈(2kπ，π＋2kπ)(k∈N)时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，最大值为2；x∈(π＋2kπ，2π＋2kπ)(k∈N)，f(x)＝sin x－sin x＝0，故函数最大值为2.故选C.
答案：C
4．将函数f(x)＝sin的图像分别向左、向右平移φ个单位长度后，所得的图像都关于y轴对称，则φ的最小值分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：函数f(x)的图像向左平移φ个单位长度得到函数g(x)＝sin的图像，向右平移φ个单位长度得函数h(x)＝sin的图像，于是，2φ＋＝＋kπ，k∈Z，－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，于是φ的最小值分别为，.故选A.
答案：A
5．简谐振动y＝sin的频率和相位分别是__________．
解析：简谐振动y＝sin的周期是T＝＝，相位是4x＋，频率f＝＝.
答案：，4x＋
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图像如图所示，则φ＝__________.
解析：由题意得＝2π－π，∴T＝π，ω＝.
又由x＝π时y＝－1得－1＝sin，
－<π＋φ<π，∴π＋φ＝π，
∴φ＝π.
答案：π
7．已知f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于__________．
解析：由f＝f知x＝是f(x)的一条对称轴，故f＝±3.
答案：±3
8．函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π时，ymin＝－3.
(1)求此函数的解析式．
(2)求此函数的单调递增区间．
解析：(1)由题意得A＝3，T＝5π，所以T＝10π，所以ω＝＝.
则y＝3sin，
因为点(π，3)在此函数图像上，则3sin＝3，
又因0≤φ≤，有φ＝－＝.
所以y＝3sin.
(2)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ，k∈Z时，
函数y＝3sin单调递增．
所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ](k∈Z)．
9．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解析：(1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，k∈Z，解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间是，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得单调递减区间是，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤π.
∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值为2.
二、综合应用
10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x的图像，则只要将f(x)的图像( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：由图像知，函数f(x)的周期T＝4×＝＝，所以ω＝3.因为函数f(x)的图像过图中最小值点，所以A＝1且sin＝－1，又因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin.因为g(x)＝sin 3x，所以g(x)＝f，为了得到g(x)＝sin 3x的图像，只需将f(x)的图像向右平移个单位长度，故选B.
答案：B
11.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：由题意知A＝3，ω＝＝.
答案：B
12．函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是( )
A．98π B．98.5π
C．99.5π D．100π
解析：由题意得×T≤1，
即×≤1，∴ω≥99.5π，故选C.
答案：C
13．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中0
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是__________．
解析：在平面直角坐标系中描出这五个点，
如图所示．
根据函数图像的大致走势，
可知点(1,0)不符合题意；
又∵0函数图像过(4，－2)，∴A＝2，
∵函数图像过(0,1)，∴2sin φ＝1，
又∵－<φ<，∴φ＝，
由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
因此函数的最小正周期为6.
∴ω＝.
答案：y＝2sin
14．已知定义在区间上的函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ≤π)的图像关于直线x＝－对称，当x∈时，f(x)的图像如图所示．
(1)求f(x)在上的解析式．
(2)求方程f(x)＝的解．
解析：(1)由图知：A＝1，
T＝4＝2π，则ω＝＝1，
在x∈时，
将代入f(x)得，
f＝sin＝1，
因为0<φ≤π，所以φ＝，
所以在x∈时，f(x)＝sin.
同理在x∈时，f(x)＝－sin x.
综上，f(x)＝.
(2)由f(x)＝在区间内可得x1＝，x2＝－.
因为y＝f(x)关于x＝－对称，
有x3＝－，x4＝－.
则f(x)＝的解为－，－，，－.
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