一、复习巩固
1．已知函数f(x)＝－cos x，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数在区间上是增函数
C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：∵f(x)＝－cos x的图像即为函数f(x)＝cos x的图像绕x轴翻转而成的，∴A、B、C均正确，函数f(x)应是偶函数，故选D.
答案：D
2．函数y＝cos 2x的值域是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C. D.
解析：因为≤x≤，
所以≤2x≤.
所以－≤cos 2x≤.
所以函数y＝cos 2x的值域为.
答案：C
3．函数y＝|cos x|－1的最小正周期是( )
A．2kπ(k∈Z) B．3π
C．π D．2π
解析：因为函数y＝|cos x|－1的周期同函数y＝|cos x|的周期一致，由函数y＝|cos x|的图像知其最小正周期为π，所以y＝|cos x|－1的最小正周期也为π，故选C.
答案：C
4．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
解析：∵cosx∈[－1,1]，∴－2cosx∈[－2,2]，
∴y＝1－2cosx∈[－1,3]，∴ymin＝－1，ymax＝3.
答案：A
5．函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω＝__________.
解析：∵4π＝，∴ω＝±.
答案：±
6．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0,2π]的x的区间是__________．
解析：画出y＝cos x，x∈[0,2π]上的图像如图所示．
cos x>0的区间为∪.
答案：∪
7．函数y＝lg(－2cos x)的定义域为__________．
解析：由题意知－2cos x＞0，即cos x＜，所以＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)，即函数的定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
8．判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期．
(1)y＝3cos 2x，x∈R；
(2)y＝cos，x∈R.
解析：(1)法一：求周期：把2x看成一个新的变量u，那么cos u的最小正周期为2π，这就是说，当u增加到u＋2π且必须至少增加到u＋2π时，函数cos u的值重复出现．
而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当自变量x增加到x＋π且必须至少增加到x＋π时，函数值重复出现，因此，y＝3cos 2x的周期为π.
∵y＝f(x)＝3cos 2x，f(－x)＝3cos(－2x)＝3cos 2x.
∴y＝3cos 2x为偶函数．
法二：y＝3cos 2x的周期T＝＝π.
y＝3cos 2x，x∈R为偶函数．(判断方法同法一)
(2)函数y＝cos的周期T＝＝.
∵x∈R，且f(x)＝cos＝sinx，
∴f(－x)＝sin＝－sinx＝－f(x)．
∴y＝cos为奇函数．
9．已知函数y＝cos x＋|cos x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调区间．
解析：(1)y＝cos x＋|cos x|
＝
函数图像如图所示．
(2)由图像知函数是周期函数，且它的周期是2π.
(3)由图像知函数的单调增区间为(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)．
二、综合应用
10．函数y＝cos的( )
A．最小正周期为2π
B．图像关于y轴对称
C．图像关于原点对称
D．图像关于x轴对称
解析：函数y＝cos的周期为：＝π.
所以A不正确；函数y＝cos＝sin 2x，当x＝0时，函数取得0，函数关于原点对称，故B不正确，D不正确．
答案：C
11．已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图像有一个横坐标为的交点，则φ的值是__________．
解析：由题意，得sin＝cos，
因为0≤φ≤π，所以φ＝.
答案：
12．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图所示．
f＝－，则f(0)＝__________.
解析：首先由图像可知所求函数的周期为π，故ω＝3，将代入解析式，相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点，π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，令φ＝－，代入解析式得f(x)＝Acos.又因为f＝－，f＝－Acos＝－.所以f(0)＝Acos＝Acos＝.
答案：
13．已知函数f(x)＝2cos ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间．
解析：(1)∵f(x)的周期T＝π，
故＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝2cos 2x.∴f＝2cos＝.
(2)将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到y＝f的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，
得到y＝f的图像，
所以g(x)＝f
＝2cos＝2cos.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，
因此g(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
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