一、复习巩固
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于( )
A. B.
C．1＋ D．2
解析：a·b＝|a||b|cos 60°＝1×1×＝.
答案：A
2．在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
解析：在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．
答案：C
3．|a|＝2，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于( )
A．－ B．120°
C．－1 D．向量b的长度
解析：a在b方向上的投影为|a|cos 120°＝2×＝－1.
答案：C
4．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
答案：B
5．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是( )
A．－25 B．25
C．－24 D．24
解析：因为||2＋||2＝9＋16＝25＝||2，
所以∠ABC＝90°，
所以原式＝·＋(＋)＝0＋·＝－||2＝－25.
答案：A
6．若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝__________.
解析：∵a·a＝|a||a|cos 0°＝1，
a·b＝|a||b|cos 120°＝－，
∴a·a＋a·b＝1－＝.
答案：
7．若|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为135°，则a·(－b)＝__________.
解析：∵a与－b的夹角为45°，∴a·(－b)＝|a|·|－b|·cos 45°＝4×6×＝12.
答案：12
8．在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，B＝30°，则向量在向量上的投影等于__________．
解析：因为等腰△ABC中，AB＝AC＝1，B＝30°，所以∠BAC＝120°，因此向量在向量上的投影为||cos 120°＝－.
答案：－
9．已知|a|＝2，|b|＝4，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为150°时，分别求a与b的数量积．
解析：(1)当a∥b时，若a与b同向，即θ＝0，
则a·b＝|a||b|cos θ＝8；
若a与b反向，即θ＝180°，a·b＝|a||b|·cos 180°＝－8.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，则a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为150°时，a·b＝|a||b|cos 150°
＝2×4×＝－4.
10．如图，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
解析：(1)因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9.
(2)因为∥，且方向相反，
所以与的夹角是180°，
所以·＝||||·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16.
(3)因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos 120°
＝4×3×＝－6.
二、综合应用
11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：因为Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b夹角)．
若方程有实根，则有Δ≥0，即a2－4|a|·|b|cos θ≥0，
又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cos θ≥0，
∴cos θ≤.又0≤θ≤π，∴≤θ≤π.
答案：B
12．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影为－2，则|a|＝__________.
解析：因为|a|·cos 120°＝－2，
所以|a|·＝－2，
所以|a|＝4.
答案：4
13．若△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2＋＋＝0且||＝||，则·等于__________．
解析：∵2＋＋＝0，
∴＋＋＋＝0，
∴＋＝0，即＝－.
∴O，B，C共线，BC为圆的直径．∴AB⊥AC.
又||＝||，∴||＝||＝1，||＝2，||＝.
故∠ACB＝.则·＝×2cos＝3.
答案：3
14．设a与b是两个向量，定义|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，θ是a与b之间的夹角，则下列说法正确的是__________．
①若a＝(1，)，b＝(2,0)，则|a×b|＝2；
②当向量a与b方向相同时，|a×b|＝0；
③当向量a与b方向相反时，|a×b|＝0；
④|a×b|是向量a与b形成的平行四边形的面积的大小．
解析：①若a＝(1，)，b＝(2,0)，
则a与b的夹角为，∴|a×b|＝2×2×sin＝2.
②当向量a与b方向相同时，|a×b|＝|a||b|sin 0＝0.
③当向量a与b方向相反时，|a×b|＝|a||b|sin π＝0.
④如图，作＝a，＝b，
|b|sin θ＝|BB1|，
所以|a×b|是向量a与b形成的平行四边形的面积的大小．
答案：①②③④
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