一、复习巩固
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①②③正确，④⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2 θ≠a2·b2.
答案：C
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：·＝·(－)＝·－2＝－||2＝－1.
答案：B
3．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝( )
A．1 B.
C．2 D.或2
解析：|a－b|＝＝＝＝＝＝2.
答案：C
4．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝|a|·|b|cos θ－|b|2＝0，将|a|＝2|b|代入可得cos θ＝，即夹角为，故选B.
答案：B
5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：＋－2＝－＋－＝＋，
－＝＝－，
于是|＋|＝|－|，
所以|＋|2＝|－|2，即·＝0，
从而AB⊥AC，故选B.
答案：B
6．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是__________．
解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos 〈a，b〉－2×16＝－14－3×3×4×cos 〈a，b〉≥4，∴cos 〈a，b〉≤－，∴θ＝〈a，b〉∈.
答案：
7．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为__________．
解析：设＝a，＝b，由已知得|a|＝3，|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 60°＝3，
因为＝2，所以－＝2(－)，
所以＝＋＝a＋b，
所以·＝·(λb－a)＝a·b－a2＋b2＝(λ－2)－×9＋×4＝－4，
解得λ＝.
答案：
8．如图，在?ABCD中，＝a，＝b，＝，＝.
(1)用a，b表示；
(2)若|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，分别求||和·的值．
解析：(1)＝－＝－＝－＋＝－a＋b.
(2)因为|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，
所以||2＝2
＝|b|2－a·b＋|a|2
＝－×1×4×cos 60°＋＝.
所以||＝.
·＝(a＋b)·
＝|a|2＋a·b－|b|2
＝＋×1×4×cos 60°－＝－4.
9．已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.
求：(1)a·b；(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)(a－b)2.
解析：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝10×4×＝－20.
(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2
＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos 120°－2|b|2＝100－10×4×－2×42＝88.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos 120°＋|b|2
＝100－2×10×4×＋42＝100＋40＋16＝156.
二、综合应用
10．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：∵a∥b，∴b＝λa，λ∈R.∴c·(a＋2b)＝c·(a＋2λa)＝c·a(1＋2λ)．∵a⊥c，∴a·c＝0.∴c·(a＋2b)＝0.
答案：D
11．若向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )
A．2 B．
C．1 D.
解析：∵(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，|a|＝1，
∴∴
把①代入②，得－2＋b2＝0.∴b2＝2，∴|b|＝.故选B.
答案：B
12．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为__________．
解析：在平行四边形ABCD中，取AB的中点F(图略)，
则＝，
∴＝＝－，又＝＋，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－·＋·－2
＝||2＋||||cos 60°－||2
＝1＋×||－||2＝1.
∴||＝0，又||≠0，
∴||＝.
答案：
13．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°.若a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为__________．
解析：由题意可得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
又∵(a＋λb)·(λa＋b)＝λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2，
a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，∴λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2>0.
∵a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，a·b＝3，∴3λ2＋13λ＋3>0.
解得λ>或λ<.
当λ＝1时，a＋λb与λa＋b共线，其夹角不为锐角．
故λ的取值范围是∪∪(1，＋∞)．
答案：∪∪(1，＋∞)
14．已知|a|＝2|b|＝2，且a在b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解析：(1)∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cos θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1.
又∵|a|＝2，|b|＝1，∴cos θ＝－，∴θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.
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