一、复习巩固
1．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．(a－b)⊥b D．a∥b
解析：∵|a|＝1，|b|＝，∴|a|≠|b|，故A错误；a·b＝(1,0)·＝≠，故B错误；∵a－b＝，∴(a－b)·b＝·＝－＝0，∴(a－b)⊥b，故C正确；∵1×－0×＝≠0，∴a与b不平行，故D错误．
答案：C
2．已知 ＝(2,3)， ＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：由＝－＝(1，t－3)，||＝＝1，得t＝3，则·＝(2,3)·(1,0)＝2×1＋3×0＝2.故选C.
答案：C
3．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B．
C．2 D．10
解析：由a⊥c，得2x－4＝0，则x＝2.由b∥c，得－4＝2y，则y＝－2，故|a＋b|＝＝.
答案：B
4．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－ B．
C. D.
解析：∵a＝(1,2)，b＝(1，－1)，
∴2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，
则cos〈2a＋b，a－b〉＝＝，
∴〈2a＋b，a－b〉＝.
答案：C
5．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
A. B．
C. D.
解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，∴a在b方向上的投影为|a|cos θ＝×＝.
答案：A
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角的大小为__________．
解析：设a与c的夹角为θ，由a＋b＝(－1，－2)＝－a，|a|＝，cos θ＝＝＝－＝－，
∴θ＝120°.
答案：120°
7．已知向量a＝(1，)，向量a，c的夹角是，a·c＝2，则|c|等于__________．
解析：因为|a|＝2，a·c＝2，所以|a|·|c|cos 60°＝2，得|c|＝2.
答案：2
8．已知△ABC中，||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·的值为__________．
解析：因为S△ABC＝×4×1×sin A＝，所以sin A＝，得A＝或A＝，·＝1×4×cos A＝±2.
答案：±2
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解析：(1)由a⊥b得2x＋3－x2＝0，即(x－3)(x＋1)＝0.解得x＝3或x＝－1.
(2)由a∥b，得2x2＋3x＋x＝0，即2x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
所以a－b＝(－2,0)．
此时|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
则a－b＝(2，－4)．故|a－b|＝＝2.
10．设向量a＝(，－1)，b＝，k，t是两个不同时为零的实数．若向量x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直．
(1)求k关于t的函数关系式；
(2)求函数k＝f(t)的最小值．
解析：(1)因为a＝(，－1)，b＝，
所以a·b＝0，且|a|＝2，|b|＝1.
又因为x⊥y，所以x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
所以－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
因为|a|＝2，|b|＝1，a·b＝0，
所以－4k＋t2－3t＝0，所以k＝(t2－3t)．
(2)由(1)知，k＝(t2－3t)＝2－，
所以函数k＝f(t)的最小值为－.
二、综合应用
11．设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：由向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|2a＋b|＝|a－2b|，两边平方可得4＋1＋4cos(α－β)＝1＋4－4cos(α－β)，解得cos(α－β)＝0，又0<α<β<π，所以0<β－α<π，则β－α＝，故选A.
答案：A
12．设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
解析：由图知，要使与在方向上的投影相同，只需使⊥，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，得4a－5b－3＝0，即4a－5b＝3.
答案：A
13．已知向量a＝(2，－4)，b＝(－3，m)．若|a||b|＋a·b＝0，则实数m＝__________.
解析：由向量的数量积可知a·b＝|a||b|cos θ，又|a||b|＋a·b＝0，所以cos θ＝－1，所以θ＝π，即向量a＝(2，－4)与b＝(－3，m)的方向相反．设a＝λb，即(2，－4)＝λ(－3，m)，可得解得m＝6.
答案：6
14．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是__________．
解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.
因为M，C(1,1)，所以＝，＝(1－x,1)，所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.
答案：
15．已知向量a＝(3，－1)，|b|＝，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b.
(1)若a⊥c，求实数x的值；
(2)当|c|取最小值时，求b与c的夹角的余弦值．
解析：(1)设b＝(m，n)，由题意得
解得或
当b＝(－1,2)时，c＝x(3，－1)＋(1－x)(－1,2)＝(4x－1,2－3x)．
∵a⊥c，∴3(4x－1)－(2－3x)＝0，
解得x＝.
当b＝(－2，－1)时，c＝x(3，－1)＋(1－x)(－2，－1)＝(5x－2，－1)．
∵a⊥c，∴3(5x－2)＋1＝0，
解得x＝.
(2)设b与c的夹角为θ，
由(1)可知，当b＝(－1,2)时，c＝(4x－1,2－3x)，
则|c|2＝(4x－1)2＋(2－3x)2＝25x2－20x＋5
＝252＋1.
当x＝时，|c|取最小值，则|c|＝1，c＝，
∴b·c＝－＋＝1.
∴cos θ＝＝.
当b＝(－2，－1)时，c＝(5x－2，－1)，
则|c|2＝(5x－2)2＋(－1)2＝252＋1，
当x＝时，|c|取最小值，则|c|＝1，c＝(0，－1)，
∴b·c＝1，
∴cos θ＝＝.
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