一、复习巩固
1．下列式子中，正确的个数为( )
①cos(α－β)＝cos α－cos β；
②cos＝sin α；
③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①仅有特殊角使之成立，一般情况下不成立；②cos＝－sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
答案：A
2．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果是( )
A. B．－
C. D．－
解析：原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos [(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.
答案：A
3．已知cos α＝，α∈，则cos的值等于( )
A. B．－
C．－ D.
解析：∵cos α＝，α∈，
∴sin α＝－，
∴cos＝cos αcos＋sin αsin
＝×＝－.
答案：C
4.sin 15°－cos 15°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15°
＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°)
＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－.
答案：B
5．计算coscos＋cossin的值是( )
A．0 B．
C. D.
解析：原式＝cosπcos＋sinπsin
＝cos
＝cos＝.
答案：C
6．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于( )
A. B．
C.或 D.或
解析：∵α，β都是锐角，且cos α＝＜，
∴＜α＜.
又sin(α＋β)＝＞，
∴＜α＋β＜π，
∴cos(α＋β)＝－＝－.
又sin α＝＝，
则cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
答案：A
7．cos 105°＋sin 195°＝__________.
解析：cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(105°＋90°)
＝cos 105°＋cos 105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2×＝.
答案：
8．化简：cos(－42°)cos 18°＋sin 42°sin(－18°)＝__________.
解析：原式＝cos 42°cos(－18°)＋sin 42°sin(－18°)
＝cos [42°－(－18°)]＝cos 60°＝.
答案：
9．已知sin θ＝，θ∈，求cos的值．
解析：因为sin θ＝，θ∈，
所以cos θ＝－＝－ ＝－.
所以cos＝cos θcos ＋sin θsin
＝－×＋×
＝.
10．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β)．
解析：∵cos α－cos β＝，①
sin α－sin β＝－，②
∴①2＋②2得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝＋，
即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
∴cos αcos β＋sin αsin β＝×＝，
∴cos(α－β)＝.
二、综合应用
11．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )
A．－ B．
C. D.
解析：因为sin(π＋θ)＝－，
所以sin θ＝，
因为θ是第二象限角，
所以cos θ＝－.
因为sin＝－，
所以cos φ＝－，
因为φ是第三象限角，所以sin φ＝－，
所以cos(θ－φ)＝cos θ·cos φ＋sin θ·sin φ
＝×＋×＝.
答案：B
12．已知x∈R，sin x－cos x＝m，则m的取值范围为( )
A．－1≤m≤1 B．－≤m≤
C．－1≤m≤ D．－≤m≤1
解析：sin x－cos x＝
＝
＝cos，
因为x∈R，所以x－∈R，
所以－1≤cos≤1，
所以－≤m≤.
答案：B
13．已知cos＝cos α，则tan α＝__________.
解析：cos＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α＝cos α，
∴sin α＝cos α，∴＝，即tan α＝.
答案：
14．已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α－β)的值．
解析：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，
所以10π＝，所以ω＝.
(2)因为f＝－，
所以2cos
＝2cos＝－，所以sin α＝，
又因为f＝，
所以2cos＝2cos β＝，
所以cos β＝，
因为α，β∈，
所以cos α＝，sin β＝，
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
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