一、复习巩固
1．函数f(x)＝2cos2－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：f(x)＝2cos2－1
＝cos＝cos＝sin 2x，
所以T＝＝π，
又f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数．
答案：A
2．若cos＝，则sin 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：因为cos＝coscos α＋sinsin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D.
答案：D
3．若sin＝，则cos的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：cos＝－cos
＝－cos＝－
＝2sin2－1＝－.
答案：B
4．已知sin x＝，则cos 2x＝__________.
解析：cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×2＝.
答案：
5．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝______________，cos 2θ＝__________.
解析：∵sin ＋cos ＝，
∴2＝，
即1＋2sin cos ＝，
∴sin θ＝，
∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.
答案：
6．已知tan x＝2，则tan 2＝__________.
解析：∵tan x＝2，
∴tan 2x＝＝－.
tan 2＝tan＝
＝＝－＝.
答案：
7．已知sin α＋cos α＝，0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
解析：∵sin α＋cos α＝，
∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
∴sin 2α＝－且sin αcos α＝－<0.
∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.
∴sin α－cos α＝＝＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)
＝×＝－.
tan 2α＝＝.
8．已知α，β是锐角，且sin α＝，sin β＝，求α＋2β的值．
解析：∵sin β＝，
∴cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×2＝.
由β∈，且cos 2β＝>0，可推得2β∈.
∴α＋2β∈(0，π)．
∵α∈，且sin α＝，
∴cos α＝＝.
又∵2β∈，且cos 2β＝，
∴sin 2β＝＝，
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×＝.
∴α＋2β＝.
二、综合应用
9．若|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )
A．－ B．
C．－ D.
解析：因为<θ<3π，|cos θ|＝，
所以cos θ<0，cos θ＝－，
因为<<，
所以sin<0.
因为sin2＝＝，
所以sin＝－.
答案：C
10．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A. B．
C. D.
解析：∵2sin 2α＝cos 2α＋1，∴4sin αcos α＝2cos2α . ∵α∈，∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝，又sin α>0，∴sin α＝，故选B.
答案：B
11．函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为__________．
解析：f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1＝－22＋，又－1≤cos x≤1，所以当cos x＝1时，f(x)的最小值为－4.
答案：－4
12．设cos 2θ＝，则cos4θ＋sin4θ的值是__________．
解析：cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)
＝＋cos22θ＝＋×2＝.
答案：
13．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f＝－，α∈，求sin的值．
解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝，所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)，
由f＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1.
(2)由(1)得，f(x)＝－sin 4x，因为f＝－sin α＝－，即sin α＝，又α∈，从而cos α＝－，所以有sin＝sin αcos＋cos αsin＝.
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