章末综合检测(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝cos的最小正周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
答案：B
2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是( )
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
答案：C
3．sin的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝.
答案：C
4．要得到函数f(x)＝cos 2x的图像，只需将函数g(x)＝sin 2x的图像( )
A．向左平移个周期 B．向右平移个周期
C．向左平移个周期 D．向右平移个周期
解析：因为f(x)＝cos 2x＝sin＝sin，且函数g(x)的周期为＝π，所以将函数g(x)＝sin 2x的图像向左平移个单位长度，即向左平移个周期， 可得函数f(x)＝cos 2x的图像，故选C.
答案：C
5．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：因为＝＝，所以角α的终边经过第二象限，根据任意角的三角函数的定义可得sin α＝＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－，故选A.
答案：A
6．已知角α是第二象限角，且满足sin＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )
A. B．－
C．－ D．－1
解析：法一：由sin＋3cos(α－π)＝1，
得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－，∵角α是第二象限角，
∴sin α＝，∴tan(π＋α)＝tan α＝＝－，故选B.
法二：由sin＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－，∵角α是第二象限角，∴可取α＝，∴tan(π＋α)＝tan＝－，故选B.
答案：B
7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：由题图可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8，故选C.
答案：C
8．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( )
A．cos 0B．cos 0C．cos 0>cos>cos 1>cos 30°
D．cos 0>cos>cos 30°>cos 1
解析：∵0<<<1，
cos x在(0，π)上是减函数．
∴cos 0>cos>cos 30°>cos 1.
答案：D
9．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图像向左平移|φ|个单位长度，所得图像关于y轴对称，则φ的一个值是( )
A. B．
C. D.
解析：由已知，最小正周期为π＝，ω＝2，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，
sin＝±cos 2x，故选D.
答案：D
10．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：由题图知，函数f(x)的最小正周期T＝×2＝2，所以ω＝π，又可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点，所以cos＝0，＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝cos，所以由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，解得2k－答案：D
11．设ω是正实数，函数f(x)＝2cos ωx在x∈上是减函数，那么ω的值可以是( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：因为函数f(x)＝2cos ωx在上单调递减，所以要使函数f(x)＝2cos ωx(ω>0)在区间上单调递减，则有≤，即T≥，所以T＝≥，解得ω≤.所以ω的值可以是，故选A.
答案：A
12．将函数f(x)＝sin 2x的图像向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图像．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝( )
A. B．
C. D.
解析：由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝＝，又0<φ<，故φ＝，选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．cosπ＝__________.
解析：cosπ＝cos＝cosπ＝－.
答案：－
14．已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝处取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是__________．
解析：因为0<θ<π，所以<＋θ<，又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝处取得最小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos.由0≤x≤π，得≤x＋≤.由π≤x＋≤，得≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是.(说明：填开区间也正确)
答案：
15．定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图像与y＝cos x的图像的交点个数是__________．
解析：画图像(图略)验交点．
则x＝，，或x＝，，，，故所求交点个数是7.
答案：7
16．对于函数f(x)＝给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数，
②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；
③该函数的图像关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称；
④当且仅当2kπ其中正确命题的序号是__________．(请将所有正确命题的序号都填上)
解析：画出f(x)在[0,2π]上的图像，如图．由图像知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝π＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故①②错误．由图像知，函数图像关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称，在2kπ答案：③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)求值：sin2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
解析：原式＝2＋(－1)＋1－2＋＝.
18．(12分)已知函数y＝2sin.
(1)试用“五点法”画出它的图像；
(2)求它的振幅、周期和初相；
(3)根据图像写出它的单调递减区间．
解析：(1)令t＝＋，列表如下：
x
－
t
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图像．
(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为.
(3)由图像得单调递减区间为(k∈Z)．
19．(12分)函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图像的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解析：(1)∵f(x)＝sin，且T＝π，∴ω＝2.
于是f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图像的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.
20．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求sin的值．
解析：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图像关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.
因为－≤φ<，所以k＝0，所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f＝sin＝，
所以sin＝.
由<α<，得0<α－<，
所以cos＝＝＝.
sin＝sin＝cos＝.
21．(12分)是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acos x＋a－在闭区间上的最大值是1？若存在，则求出对应的a值；若不存在，则说明理由．
解析：存在．
y＝1－cos2x＋acos x＋a－
＝－2＋＋a－.
∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1.
若>1，即a>2，
则当cos x＝1时，ymax＝a＋a－＝1，
解得a＝<2(舍去)；
若0≤≤1，即0≤a≤2.
则当cos x＝时，ymax＝＋a－＝1.
解得a＝或a＝－4<0(舍去)；
若<0，即a<0，
则当cos x＝0时，ymax＝a－＝1，
解得a＝>0(舍去)．
综上所述，存在a＝符合题设条件．
22．(12分)函数f(x)＝1－2a－2acos x－2sin2x的最小值为g(a)，a∈R.
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．
解析：(1)f(x)＝1－2a－2acos x－2(1－cos2x)
＝2cos2x－2acos x－1－2a＝22－－2a－1.
若<－1，即a<－2，则当cos x＝－1时，
f(x)有最小值g(a)＝22－－2a－1＝1；
若－1≤≤1，即－2≤a≤2，则当cos x＝时，
f(x)有最小值g(a)＝－－2a－1；
若>1，即a>2，则当cos x＝1时，
f(x)有最小值g(a)＝22－－2a－1＝1－4a.
∴g(a)＝.
(2)若g(a)＝，由所求g(a)的解析式知只能是－－2a－1＝或1－4a＝.
由?a＝－1或a＝－3(舍)．
由?a＝(舍)．
此时f(x)＝22＋，得f(x)max＝5.
∴若g(a)＝，则a＝－1，此时f(x)的最大值是5.
章末综合检测(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知cos x＝，则cos 2x＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：cos 2x＝2cos2 x－1＝2×2－1＝－.
故选D.
答案：D
2．已知cos＝，则sin 2α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵cos＝，
∴2cos2－1＝2×－1＝－＝cos＝cos＝sin 2α.
答案：D
3．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·(a＋b)等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1×2×cos 60°＝2.
答案：B
4．y＝sincos＋cossin的图像的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝π D．x＝
解析：y＝sincos＋cos·sin＝sin＝sin＝cos x，故选C.
答案：C
5．已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：设这个等腰三角形的顶角为2α，底角为β，
则2α＋2β＝π且cos 2α＝，∴α＋β＝.
∴sin β＝sin＝cos α＝ ＝.
答案：C
6．函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)＝0，得sin x＝0或cos x＝1，∵x∈[0,2π]，∴x＝0、π或2π.∴f(x)在[0,2π]的零点个数是3.故选B.
答案：B
7．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，则a的值为( )
A．4 B．－6
C．－4 D．－3
解析：f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a＋1.当x∈时，2x＋∈，∴f(x)min＝2×＋a＋1＝－4.
∴a＝－4.故选C.
答案：C
8．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( )
A. B．
C. D.
解析：y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos －cos 2xsin－sin 2x＝－sin 2x－cos 2x＝－sin.
∴y＝－sin的单调递增区间是y＝sin的单调递减区间．
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.令k＝0，得x∈.故选B.
答案：B
9．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
解析：首先用向量，分别表示向量，，然后求数量积·.如图所示，由题设知：
＝＋＝＋，
＝－，
∴·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
答案：C
10．若3cos＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin 2θ的值是( )
A．－ B．－
C. D.
解析：∵3cos＋cos(π＋θ)＝0，
由诱导公式可得3sin θ－cos θ＝0，即tan θ＝，
∴cos2θ＋sin 2θ＝
＝＝＝.
答案：C
11．已知向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa＋2b|≥|a＋b|恒成立，则|b|的取值范围是( )
A. B．
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：因为|a|＝1，a与b的夹角为，所以a·b＝|b|cos＝|b|.把原式|xa＋2b|≥|a＋b|平方整理可得：x2＋2|b|x＋3|b|2－|b|－1≥0恒成立，所以Δ＝4|b|2－4(3|b|2－|b|－1)≤0，即(|b|－1)(2|b|＋1)≥0，即|b|≥1，故选C.
答案：C
12．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．－1 B．2
C. D.
解析：以a，b所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，由(a－c)·(b－c)＝0，得(a－c)⊥(b－c)，故将c的起点放在坐标原点，则终点在以为圆心，以为直径的圆上，如图所示，所以|c|的最大值为.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影是__________．
解析：∵|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，
∴b在a方向上的投影是|b|cos 60°＝1.
答案：1
14．已知sin－cos α＝，则cos＝__________.
解析：∵sin－cos α＝，
∴sincos α－cossin α－cos α
＝－sin α－cos α＝－sin＝，
∴sin＝－，
∴cos＝1－2sin2＝1－2×2＝.
答案：
15．在等腰Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·＝__________.
解析：法一：∵D为边BC的中点，∴＝(＋)，∴(＋)·＝(＋)2＝(2＋2＋2·)＝(||2＋||2)＝||2＝4.
法二：如图，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于△ABC为等腰直角三角形，且||＝2，故B(2,0)，C(0,2)．由D是BC边的中点知D(1,1)，∴＋＝(2,2)，＝(1,1)，∴(＋)·＝4.
答案：4
16．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为__________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos 〈a，b〉＝0，
∴cos 〈a，b〉＝－.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求cos(2α＋β)的值．
解析：(1)∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－＝－，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
(2)∵β∈，sin β＝，
∴cos β＝－＝－.
又∵cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
∴cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β
＝×－×＝－.
18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
解析：(1)若＝，
则＝＋，
故x＝y＝.
(2)若＝3，
则＝＋，
·＝·(－)
＝－2－·＋2
＝－×42－×4×2×cos 60°＋×22＝－3.
19．(12分)在△ABC中，m＝(2sin B－sin C，cos C)，n＝(sin A，cos A)，且m∥n.
(1)求角A的值；
(2)求y＝2sin2B＋cos的最大值．
解析：(1)∵m∥n，∴(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，
∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，即sin B(2cos A－1)＝0.
∵sin B≠0，∴2cos A－1＝0，即cos A＝，∴A＝.
(2)y＝2sin2B＋cos
＝1－cos 2B＋coscos 2B＋sinsin 2B
＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin＋1.
∵A＝，∴0∴－<2B－<π，
∴当2B－＝，即B＝时，y有最大值2.
20．(12分)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(2＋sin x，2－cos x)，函数f(x)＝m·n，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值．
解析：(1)因为f(x)＝m·n＝cos x(2＋sin x)＋sin x·(2－cos x)＝2(sin x＋cos x)＝4sin(x∈R)，
所以f(x)的最大值是4.
(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.
又x∈，即x＋∈，
所以cos＝－.
cos＝cos
＝coscos－sinsin
＝－×－×＝－.
21．(12分)已知⊙O的直径为10，AB是⊙O的一条直径，长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动(异于A，B两点)．
(1)求证：·与点P在⊙O上的位置无关；
(2)当与的夹角θ取何值时，·有最大值？
解析：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，P为圆上一点，
∴AP⊥BP，∴⊥，即·＝0.
∵P为MN的中点，且||＝20，
∴＝，||＝||＝10，
∴·＝(＋)·(＋)
＝(－)·(＋)
＝·＋·－·－·
＝·(－)－100＝·－100.
∴·仅与，的夹角有关，而与点P在⊙O上的位置无关．
(2)由(1)，得·＝·－100＝100cos θ－100.
∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，·取得最大值0.
22．(12分)已知函数f(x)＝4sincos x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在区间上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1＋x2)的值．
解析：(1)f(x)＝4sincos x＋
＝4cos x＋
＝2sin xcos x－2cos2x＋
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)．
∴f(x)的递增区间为(k∈Z)．
(2)∵方程g(x)＝f(x)－m＝0同解于f(x)＝m，
在直角坐标系中画出函数y＝f(x)＝2sin在上的图像如图，由图像可知，
当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，
故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan＝－.
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