一、复习巩固
1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于( )
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
解析：由z1＝1＋i，z2＝3－i，所以z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i2＋2i＝4＋2i.
答案：A
2．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：∵＝b＋i，
∴a＋2i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2.∴a＋b＝1.
答案：B
3．复数(i为虚数单位)的虚部是( )
A.i B．－
C．－i D.
解析：＝＝＝－＋i，其虚部为，故选D.
答案：D
4．若z是复数，且(3＋z)i＝1(i为虚数单位)，则z为( )
A．－3＋i B．3＋i
C．－3－i D．3－i
解析：由(3＋z)i＝1，得3＋z＝＝－i，
所以z＝－3－i，故选C.
答案：C
5．若1＋3i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)的一个根，则方程的另一个根为( )
A．3＋i B．1－3i
C．3－i D．－1＋3i
解析：根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式知，两个虚数根互为共轭虚数，所以另一个根为1－3i.
答案：B
6．复数(i为虚数单位)的模是( )
A. B．2
C．5 D．8
解析：＝＝＝1＋2i，所以＝|1＋2i|＝.
答案：A
7．若复数z＝(b∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则复数z的共轭复数是( )
A.i B．－i
C．i D．－i
解析：因为z＝＝＝＋i是纯虚数，所以2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2.所以z＝－i，则复数z的共轭复数是i.
答案：C
8．在复数范围内，方程3x2＋2x＋1＝0的根为_____．
解析：因为Δ＝22－4×3×1＝－8<0，
所以方程的根为x＝＝－±i.
答案：－±i
9．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由z＋＝4，z·＝8得
∴∴z＝2＋2i，＝2－2i或z＝2－2i，＝2＋2i，
＝＝－i或＝＝i.∴＝±i.
答案：±i
二、综合运用
10．定义复数的一种运算z1* z2＝(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：z*＝＝
＝＝，
又∵ab≤()2＝，
∴－ab≥－，z*≥
＝＝.
答案：B
11．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为________．
解析：∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题：p2，p4.
答案：p2，p4
12．已知1－i是关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的一个根，求实数a，b的值．
解析：法一：因为1－i是关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的一个根，
所以a(1－i)2＋b(1－i)＋1＝0，
即－a＋b＋1－(2a＋b)i＝0，
根据复数相等的定义，得
解得a＝，b＝－.
法二：根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式知，1＋i是方程的另一个根，所以
解得a＝，b＝－.
13．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2，求|z|的值及z的实部的取值范围．
解析：因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.
所以ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋(y－)i.
因为ω是实数且y≠0，
所以y－＝0，所以x2＋y2＝1，
即|z|＝1.此时ω＝2x.
从而有－＜x＜1，
即z的实部的取值范围是(－，1).
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