一、复习巩固
1.已知复数z1=(cos+isin),z2=(cos+isin),则z1z2的代数形式是( )
A.(cos+isin)
B.(cos+isin)
C.-i
D.+i
解析:z1z2=·[cos (+)+isin(+)]
=(cos +isin )=(+i)=+i.故选D.
答案:D
2.2÷[(cos+isin)]的三角形式是( )
A.2(cos+isin)
B.(cos+isin)
C.[cos(-)+isin(-)]
D.(cos+isin)
解析:原式==[cos(-)+isin(-)],故选C.
答案:C
3.设3+4i的辐角的主值为θ,则(3+4i)·i的辐角的主值是( )
A.+θ B.-θ
C.θ- D.-θ
解析:根据复数乘法的几何意义得,(3+4i)·i对应的向量是由复数3+4i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转得到的,所以(3+4i)·i的辐角的主值为θ+,故选A.
答案:A
4.在复平面内,把与复数a+bi(a,b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为( )
A.a-bi B.-a+bi
C.b-ai D.-b+ai
解析:所求复数为==-(a+bi)i=b-ai,故选C.
答案:C
5.设z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,则arg z1+arg z2+arg z3=( )
A. B.
C. D.
解析:∵z1·z2·z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)
=(3-i)(-1+3i)=10i,
∴arg z1+arg z2+arg z3=+2kπ,k∈Z.
∵arg z1∈(,2π),
arg z2∈(0,),
arg z3∈(,π),
∴arg z1+arg z2+arg z3∈(2π,).
∴arg z1+arg z2+arg z3=.
答案:C
6.在复平面上A,B表示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α,则∠AOB=______.
解析:∵α≠0,β=(1+i)α
∴=1+i=(cos+isin ),
∴∠AOB=.
答案:
7.复平面内向量对应的复数为2+i,A点对应的复数为-1,现将绕A点顺时针方向旋转90°后得到的向量为,则点C对应的复数为________.
解析:向量对应的复数为==-(2+i)i=1-2i,
∵=+,
∴对应的复数为-1+(1-2i)=-2i.
即点C对应的复数为-2i.
答案:-2i
二、综合运用
8.(cos+isin)·(cos+isin)=__________.(用代数形式表示)
解析:原式=3 [cos(+)+isin(+)]
=3(cos+isin)=3(--i)=-3-3i.
答案:-3-3i
9.arg(3-i)+arg(2-i)=________.
解析:(3-i)(2-i)=5-5i=5[cos(-)+isin (-)],
∵arg(3-i)∈(,2π),
arg(2-i)∈(,2π),
∴arg(3-i)+arg(2-i)∈(3π,4π).
∴arg(3-i)+arg(2-i)=-+4π=.
答案:
10.写出复数z的倒数的模与辐角:
z=10(cos+isin ).
解析:=
=[cos(0-)+isin(0-)]
=[cos(-)+isin(-)],
所以的模为,辐角为-+2kπ.
11.设复数z1=+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1·z的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2∈(0,π),求z2的代数形式.
解析:因为z1=2(cos +isin ),
设z2=2(cos α+isin α),α∈(0,π),
所以z1z=8[cos(2α+)+isin (2α+)].
由题设知2α+=2kπ+(k∈Z),
所以α=kπ+(k∈Z),
又α∈(0,π),所以α=,
所以z2=2(cos +isin )=-1+ i.
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