一、复习巩固
1．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为( )
A．6,22 B．3,22
C．6,11 D．3,11
解析：V＝1×2×3＝6，S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
答案：A
2．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )
A. B.
C. D.
解析：∵VC-A′B′C′＝V柱＝，∴VC-AA′B′B＝1－＝.
答案：C
3．将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的( )
A. B.
C. D.
解析：设正方体的棱长为1，已知截去的每一个角都是一个三棱锥，且每个三棱锥的体积都等于，因此，截去的四个三棱锥的体积为，则剩余的四面体的体积为.
答案：B
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A．8＋2 B．11＋2
C．14＋2 D．15
解析：该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．
S表＝2××(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×＝11＋2，故选B.
答案：B
5．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D-A1BC的体积是( )
A. B.
C. D.
解析：VD-A1BC＝VB1-A1BC＝VA1-B1BC＝×S△B1BC×＝.
答案：D
6．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是( )
A．50 B．75
C．25.5 D．37.5
解析：由题意及给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C1-MNB1A1所得的几何体，且三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.AM＝2，B1C1⊥平面MNB1A1，所以截去后剩余的几何体的体积为V＝V三棱柱－V四棱锥＝×5×5×5－×3×5×5＝37.5，故选D.
答案：D
7．如图，将一个长方体用过相邻三条棱中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.
答案：1∶47
8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a＝________.
解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，
则V＝3×＝3，所以a＝.
答案：
9．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1、B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为________．
解析：因为E点在线段AA1上，所以S△DED1＝×1×1＝.又因为F点在线段B1C上，所以点F到平面DED1的距离为1，即h＝1，所以VD1-EDF＝VF-DED1＝×S△DED1×h＝××1＝.
答案：
10．已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为________．
解析：如图，
四棱锥P-ABCD为正四棱锥，高OP＝，底面边长AB＝2.
过O作OG⊥BC，垂足为G，连接PG，则斜高PG＝＝2.
∴正四棱锥的全面积是S＝2×2＋4××2×2＝12.
答案：12
二、综合运用
11．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝，
AG＝GD＝BH＝HC＝，
取AD的中点O，连接GO，易得GO＝，
∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
∴多面体的体积V＝V三棱锥E-ADG＋V三棱锥F?BCH＋V三棱柱AGD?BHC＝2V三棱锥E?ADG＋V三棱柱AGD?BHC＝×××2＋×1＝，故选A.
答案：A
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为( )
A．5 000 立方尺 B．5 500 立方尺
C．6 000 立方尺 D．6 500 立方尺
解析：(分割法)该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.
取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F-GBCH与三棱柱ADE-GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE-GHF割补成高为EF，底面积为S＝×3×1＝(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝×2＋×2×3×1＝5(立方丈)＝5 000(立方尺)．
答案：A
13．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为________．
解析：由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h＝＝12 (cm)，
所以S侧＝4××(8＋18)×12＝624(cm2)，S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是表面积为S＝624＋64＋324＝1 012(cm2)．
答案：1 012 cm2
14．已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．
解析：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，
且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2.
取BC的中点D，连接VD，
则VD⊥BC，有
VD＝ ＝ ＝，
则S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，
S△ABC＝×(2)2×＝3，
所以，三棱锥V-ABC的表面积为
3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋)．
15．已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
解析：如图所示，在三棱台ABC-A′B′C′中，O′、O分别为上、下底面的中点，D、D′分别是BC、B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，
所以，S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.
又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为
S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．
由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，
所以，DD′＝(cm)．
又因为O′D′＝×20＝(cm)，
OD＝×30＝5(cm)，
所以棱台的高h＝O′O＝
＝ ＝4(cm)，
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
V＝(S上＋S下＋)＝×(325＋×20×30)＝1 900(cm3)．
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