一、复习巩固
1．已知各个顶点都在同一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为( )
A．12π B．16π
C．20π D．24π
解析：正方体的棱长为2，正方体的体对角线的长为2，
即正方体外接球的直径为2，半径为.
∴球的表面积为S＝4π()2＝12π.
答案：A
2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．π＋ B．2π＋
C．π＋ D．2π＋
解析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，
上面是两个全等的三棱锥，下面是一个圆柱体；
∴该几何体的体积为：
V＝π×12×1＋2×××2×1×1＝π＋.
答案：C
3．在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是( )
A．(6＋2)π B．6π
C．(9＋2)π D．2π
解析：△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，
因为AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，所以OA＝，AB＝2，
所以所形成的几何体的表面积是π××(2＋2)＝(6＋2)π.
答案：A
4．已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，它的侧面积为16π，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为( )
A．4π B．6π
C．8π D．10π
解析：圆台的轴截面如图所示，圆台的母线l＝R＋r，
∴S侧＝π(R＋r)2＝16π，∴R＋r＝4，
∴该圆台上、下两个底面圆的周长之和为：2π(R＋r)＝8π.
答案：C
5. 已知圆锥的底面直径与高都是4，则该圆锥的侧面积为________．
解析：如图所示，
圆锥的底面直径2r＝4，r＝2，高h＝4，
则母线长为l＝＝2，
所以该圆锥的侧面积为πrl＝π·2·2＝4π.
答案：4π
6．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
解析：设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.
由母线长为10可知10＝＝5r，∴r＝2.
故圆台的上、下底半径和高分别为2,8,8.
所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.
答案：100π
7．设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．
解析：该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，
长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，
故所求体积为V＝2×32＋π()3＝π＋18，
表面积为S＝2(3×3＋3×2＋3×2)＋4π×()2＝42＋9π.
8．如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．
解析：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，挖去一个圆柱后形成的，
且圆锥的底面半径为4，高为4，圆柱的底面半径为2，高为2.
所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面．
S圆锥的底面＝16π，S圆锥侧＝32π，S圆柱侧＝8π.
故所求几何体的表面积为：16π＋32π＋8π＝48π＋8 π.
∴阴影部分形成的几何体的体积：
V＝V圆锥－V圆柱
＝×π×16×4－π×4×2
＝ π.
二、综合运用
9．水平放置的△ABC，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的△A′B′C′，其中O′A′＝O′B′＝1，O′C′＝，则△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为( )
A．2 π B．4π
C．(2＋)π D．(4＋3)π
解析：根据“斜二测画法”可得AO＝BO＝1，OC＝，
∴AC＝BC＝＝2，如图所示，
∴△ABC是边长为2的等边三角形；
△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，
它的表面积为S＝2πrl＝2π××2＝4π.
答案：B
10．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为( )
A. B.
C. D.
解析：设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以r＝R，S球的表面积＝4πr2＝4π·(R)2＝R2，
S圆锥表面积＝πR·2R＋πR2＝3πR2，
所以球与圆锥的表面积之比为＝.
答案：B
11．如图，圆锥型容器内盛有水，水深3 dm，水面直径2dm，放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为________dm.
解析：如图，
设铁球的半径为r，则放入铁球后水深为3r，上底面半径为r，
此时铁球与水的体积和为·π·(r)2·3r＝3πr3.
原来水的体积为·π·()2·3＝3π，铁球的体积为πr3，则3π＋πr3＝3πr3，解得r3＝.
∴铁球的体积V＝π×＝.
答案：
12．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
解析：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面
S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π.
故所求几何体的表面积为：8π＋35π＋25π＝68π
由V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52 π，
V半球＝π×23×＝π.
所以，旋转体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3)．
13．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．求：
(1)用x表示此圆柱的侧面积表达式；
(2)当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．
解析：(1)设圆柱的半径为r，圆柱的高为x，
则＝，解得r＝2－x，且0＜x＜2；
∴圆柱的侧面积为S圆柱侧＝2πrx＝2π(2－x)x＝－2πx2＋4πx，(0＜x＜2)．
(2)由S圆柱侧＝－2πx2＋4πx＝2π[－(x－1)2＋1]，0＜x＜2；
当x＝1时，S圆柱侧取得最大值为2π，
此时r＝1，圆柱的体积为V圆柱＝πr2x＝π·12·1＝π.
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