一、复习巩固
1．直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
解析：如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；又AD与AA1相交，AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，AB与A1D1异面．故选D.
答案：D
2．下列命题中
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
正确的结论有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：对于①，这两个角也可能互补，故①错；对于②，正确；对于③，由公理4可知正确．故②③正确，所以正确的结论有2个．
答案：C
3．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
解析：如图，a′与b异面，但a′∥c，故A错；a与b异面，且都与c相交，故B错；若a∥c，b∥c，则a∥b，与a，b异面矛盾，故D错．
答案：C
4．直线a，b不在平面α内，a，b在平面α内的射影是两条平行直线，则a，b的位置关系是__________．
答案：平行或异面
5．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)
解析：因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.
答案：③④
6．在三棱锥S-ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是________．
解析：如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.
由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝SN，
∴在△SMN中，＝，∴G1G2∥MN，
易知MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，∴G1G2∥BC.
答案：平行
7．如图所示，E、F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A、C1C的中点．
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明：设Q是DD1的中点，连接EQ、QC1.
∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(基本事实4)．
∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.
又∵Q、F是DD1、C1C两边的中点，∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF.
又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明∠BGC＝∠FD1E.
证明：∵F为BB1的中点，
∴BF＝BB1.
∵G为DD1的中点，∴D1G＝DD1.
又∵BB1綊DD1，∴BF綊D1G，
∴四边形D1GBF为平行四边形．
∴D1F∥GB，同理D1E∥GC.
又∵∠BGC与∠FD1E的对应边方向相同，
∴∠BGC＝∠FD1E.
二、综合运用
9．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是( )
A．MN≥(AC＋BD) B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD) D．MN<(AC＋BD)
解析：取BC的中点Q，则MN答案：D
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
A．相交但不垂直
B．相交且垂直
C．异面
D．平行
解析：连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，
连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1.
答案：D
11.如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求的值．
解析：(1)证明：∵AA′∩BB′＝O，
且＝＝，
∴AB∥A′B′.同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
且＝＝，
∴＝2＝.
12.如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD＝BC＝a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？
解析：∵AD与BC成60°角，∴∠HGF＝60°或120.
设AE∶AB＝x，则＝＝x.
又BC＝a，∴EF＝ax.
由＝＝1－x，得EH＝a(1－x)．
∴S四边形EFGH＝EF×EH×sin 60°＝ax×a(1－x)×＝a2(－x2＋x)＝a2[－(x－)2＋]．
当x＝时，S最大值＝a2，即当E为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为a2.
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