一、复习巩固
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
解析：标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.
答案：B
2．某校举行元旦诗歌朗诵比赛，七位评委为某位选手打出的分数为79,84,84,86,84,87,93，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84,4.84 B．84,1.6
C．85,1.6 D．85,0.4
解析：由题意＝×(84＋84＋86＋84＋87)＝85.
s2＝×[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝×(1＋1＋1＋1＋4)＝＝1.6.
答案：C
3．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是( )
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s2
6.3
6.3
7
8.7
A.甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：∵乙＝丙＞甲＝丁，且s＝s＜s＜s，
∴应选择乙进入决赛．
答案：B
4．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：∵方程x2－5x＋4＝0的两根分别为1,4且＝b，∴a＝1，b＝4.
∴该样本为1,3,5,7，平均数为4.
∴s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
答案：C
5．设样本数据x1，x2，…，x2 020的方差为4，若yi＝2xi＋4(i＝1,2，…，2 020)，则y1，y2，…，y2 020的方差为( )
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：y1，y2，…，y2 020的方差为22×4＝16.
答案：D
6．若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的标准差是( )
A. B.
C．1 D.
解析：设这40个数据为xi(i＝1,2，…，40)，平均数为.
则s2＝－2＝×56－()2＝，所以s＝＝.
答案：A
7．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由表中数据计算可得甲＝90，乙＝90，且
s＝×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，
s＝×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.
由于s＞s，故乙的成绩较为稳定，其方差为2.
答案：B
8．某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s，后来发现记录有误，某甲得70分误记为40分，某乙得50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s1，则s与s1之间的大小关系是( )
A．s＝s1 B．sC．s>s1 D．不能确定
解析：∵更正前后的平均数均为70，
∴更正前的方差s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(40－70)2＋(80－70)2]，
更正后的方差s＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(70－70)2＋(50－70)2]，
∴s2>s，即s>s1.
答案：C
9．对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
(1)甲、乙的平均成绩谁最好________．
(2)谁的各门功课发展较平衡________．
解析：甲＝×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，
乙＝×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，
故甲的平均成绩较好；
s＝×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，
s＝×[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，
s>s，知乙的各门功课发展较平衡．
答案：甲 乙
二、综合运用
10．随机抽取高一(1)班10名同学，测量他们的身高(单位：cm)分别为158,162,164,168,168,170,171,178,179,182，记这10名同学的平均身高为，标准差为s，则身高位于区间[－s，＋s]内的同学有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：＝×(158＋162＋164＋168＋168＋170＋171＋178＋179＋182)＝170 cm，方差s2＝×[(182－170)2＋(179－170)2＋(178－170)2＋(171－170)2＋(170－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(164－170)2＋(162－170)2＋(158－170)2]＝54.2.标准差s＝＝7.36，－s＝170－7.36＝162.64，＋s＝170＋7.36＝177.36，身高位于区间[－s，＋s]内的有5个．
答案：C
11．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵＝×(x＋y＋10＋11＋9)＝10，∴x＋y＝20，
又s2＝2＝[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]，∴xy＝96，
∴|x－y|＝＝＝4，故选D.
答案：D
12．若10个数据的平均数是3，标准差是2，则这10个数据的平方和是________．
解析：由于s＝2，故s2＝4，
即[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x10－3)2]＝4，
故x＋x＋…＋x－6(x1＋x2＋…＋x10)＋90＝40，
所以x＋x＋…＋x＝－50＋6×10×3＝130.
答案：130
13．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125]
频数
6
26
38
22
8
(1)在下面作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
解析：(1)
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋(10)2×0.22＋(20)2×0.08＝104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
14．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
统计量
组别
平均成绩
标准差
第一组
90
6
第二组
80
4
求全班的平均成绩和标准差．
解析：设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1,2，…，20)，
第二组20名学生的成绩为yi(i＝1,2，…，20)，
依题意有：＝(x1＋x2＋…＋x20)＝90，
＝(y1＋y2＋…＋y20)＝80，
故全班平均成绩为：
(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)
＝(90×20＋80×20)＝85；
又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则s＝(x＋x＋…＋x－202)，
s＝(y＋y＋…＋y－202)(此处＝90，＝80)，
又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为(＝85)，故有s2＝(x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y－402)
＝(20s＋202＋20s＋202－402)
＝×(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.
s＝.
所以全班同学的平均成绩为85分，标准差为.
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