一、复习巩固
1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．必然事件 D．不可能事件
解析：“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，故它们是互斥事件，又甲、乙可能都得不到红牌，即“甲或乙分得红牌”事件可能不发生．∴它们不是对立事件．
答案：B
2. 抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为 ( )
A．至多两件次品 B．至多一件次品
C．至多两件正品 D．至少两件正品
解析：利用对立事件定义或利用补集思想．
答案：B
3．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
解析：对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．
答案：B
4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一炮弹击中飞机}，D＝{至少有一炮弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A?D B．B∩D＝?
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
解析：“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一炮弹击中”包含两种情况：一种是恰有一炮弹击中，一种是两炮弹都击中，所以A∪B≠B∪D.故选D.
答案：D
5．以E表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则为( )
A．甲滞销，乙畅销
B．甲乙两种产品均畅销
C．甲种产品畅销
D．甲滞销或乙畅销
解析：设F＝“甲产品畅销”，G＝“乙产品畅销”，
则E＝F，＝F＝∪G，故选D.
答案：D
6．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件 B.∪是必然事件
C.与一定互斥 D.与一定不互斥
解析：用集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必然事件．
答案：B
7．同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3,4，…，11,12中的一个，记事件A为“点数之和是2,4,7,12”，事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为( )
A．A∩B B．A∩B∩C
C．A∩B∩ D．A∩B∪
解析：∵事件A＝{2,4,7,12}，事件B＝{2,4,6,8,10,12}，∴A∩B＝{2,4,12}，
又C＝{9,10,11,12}，∴A∩B∩＝{2,4}．
答案：C
8．设A，B，C为三个事件，则A＋B＋C表示的意义是________．
答案：事件A，B，C至少有一个发生
9．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是________．
①恰好有1件次品和恰好有两件次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少1件次品和全是正品．
解析：由互斥事件的定义可知①④是互斥事件．
答案：①④
二、综合运用
10．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：根据题意，从1,2,3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况．依次分析所给的4个事件可得：
①：恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；
②：至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；
③：至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；
④：至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件．
答案：C
11．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与B B．B与C
C．A与D D．C与D
解析：A与B互斥且对立；B与C有可能同时发生，即出现6，从而不互斥；A与D不会同时发生，从而A与D互斥，又因为还可能出现2，故A与D不对立；C与D有可能同时发生，从而不互斥．
答案：C
12．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，事件“恰有1个白球”和“恰有2个白球”关系是________．
解析：该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．
答案：互斥而不对立
13．设一个工人生产了三个零件，Ai表示他生产的第i个零件是正品(i＝1,2,3)，试用Ai表示下列各事件：
(1)没有一个是次品；
(2)只有一个是次品；
(3)恰好有两个是次品；
(4)至多有一个是次品．
答案：(1)A1A2A3.
(2)A2A3＋A1A3＋A1A2.
(3) A3＋A1 ＋A2.
(4)A2A3＋A1A3＋A1A2＋A1A2A3.
14．有一红一绿两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验，观察正四面体玩具朝下的点数，用(x，y)表示一次试验的结果，其中x表示红色正四面体玩具朝下的点数，y表示绿色正四面体玩具朝下的点数．设事件A＝“红色玩具朝下的点数为4”，B＝“朝下的点数相等”，C＝“朝下的点数之差的绝对值小于2”，D＝“朝下的点数之和不大于4”，E＝“朝下的点数之和不小于5”，F＝“朝下的点数之和等于8”，G＝“朝下的点数为相邻的整数”．
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件B与C，A与E，A与D，D与E之间各有什么关系？
(3)事件A与事件B的交事件与事件F有什么关系？
事件B与事件G的并事件与事件C有什么关系？
解析：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
事件A＝{(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}；
B＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}；
C＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}；
D＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)}；
E＝{(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}；
F＝{(4,4)}；G＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}．
(2)因为B?C，所以事件B包含于事件C；
因为A?E，所以事件A包含于事件E；
因为A∩D＝?，所以事件A与事件D互斥；
因为D∩E＝?，D∪E＝Ω，所以事件D与事件E互为对立事件．
(3)因为A∩B＝F，所以事件F是事件A与事件B的交事件；
因为B∪G＝C，所以事件C是事件B与事件G的并事件．
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