一、复习巩固
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1与e1－e2
B．e1＋e2与e1－3e2
C．e1－2e2与－3e1＋6e2
D．2e1＋3e2与e1－2e2
解析：∵－3e1＋6e2＝－3(e1－2e2)，
∴e1－2e2与－3e1＋6e2共线，故不能作为基底．
答案：C
2．如图所示，矩形ABCD中，若＝6e1，＝4e2，则等于( )
A．3e1＋2e2 B．3e1－2e2
C．2e1＋3e2 D．2e1－3e2
解析：＝＝(＋)
＝(＋)＝3e1＋2e2.
答案：A
3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于( )
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.a＋b
解析：∵＝＋＝a＋λ·
＝a＋λ(－)＝a＋λ(b－)，
∴＝a＋b.
答案：D
4．在△ABC中，D，E，F依次是BC的四等分点，以＝e1，＝e2为基底，则等于( )
A.e1＋e2 B.e1＋e2
C.e1－e2 D.e1＋e2
解析：∵D，E，F依次是BC的四等分点，
∴＝(＋)＝(e1＋e2)，
＝－＝e2－e1，
∴＝＋＝(e1＋e2)＋
＝(e1＋e2)＋(e2－e1)
＝e1＋e2.
答案：A
5．如图在△ABC中，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A．－1 B.
C．1 D．2
解析：∵B、H、C三点共线，
∴＝(1－t)＋t.
∴2＝(1－t)＋t.
∴＝＋，
∴λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝.
答案：B
6．在△ABC中，＝，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y等于( )
A．1 B.
C. D.
解析：＝(＋)＝(＋)＝＋，∴x＝y＝，即x＋y＝＋＝.
答案：C
7．已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，设＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b
解析：＝2＝2(＋)＝＋＝a＋b.故选B.
答案：B
8．如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，求实数m＝( )
A. B.
C. D.
解析：由点B，P，N共线，得＝m＋(1－m).
又＝，因此＝，
＝m＋(1－m)＝m＋，
所以(1－m)＝，m＝.
答案：C
9．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p的结果是________．
解析：设p＝x m＋y n，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b
得?
所以p＝－m＋n.
答案：p＝－m＋n
二、综合运用
10．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设＝mOP1＋nOP2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足( )
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
解析：如图所示，利用平行四边形法则，
将分解到和上，
有＝＋，
则＝m，＝n，
很明显与OP1方向相同，则m>0；
与OP2方向相反，则n<0.
答案：B
11．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.
在Rt△OCD中，因为||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以||＝4，||＝2，
故＝4，＝2，
即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
答案：B
12．如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底来表示＝__________，＝______________.
解析：＝＋＝＋
＝e1＋(e2－e1)＝e1＋e2，
＝＋＝＋
＝(e1＋e2)＋(e2－e1)＝e1＋e2.
答案：e1＋e2 e1＋e2
13．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x·＋y·.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°时，求·的值．
解析：(1)∵＝，∴＋＝＋，即2＝＋，
∴＝＋，即x＝，y＝.
(2)∵＝3，
∴＋＝3＋3，即4＝＋3，
∴＝＋.
∴x＝，y＝.
∴·＝(＋)·(－)
＝·－·＋·
＝×22－×42＋×4×2×
＝－9.
14．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋ub，求λ，u的值．
解析：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1、e2不共线，得
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝m a＋n b(m、n∈R)，
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋ub，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋u(e1＋3e2)
＝(λ＋u)e1＋(－2λ＋3u)e2.
所以解得
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