一、复习巩固
1．向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．a∥(a－b) D．a⊥(a－b)
解析：由a－b＝(－2，－1)，易得a·(a－b)＝0，故a⊥(a－b)，选D.
答案：D
2．在?ABCD中，已知＝(－4,2)，＝(2，－6)，那么|2＋|＝( )
A．5 B．2
C．2 D.
解析：因为＋＝＝(－4,2)，
又＝＋＝(－4,2)＋(－2,6)＝(－3,4)，
∴2＋＝＋(＋)＝(－3,4)＋(－4,2)＝(－7,6)
∴|2＋|＝|(－7,6)|＝ ＝.
答案：D
3．已知向量a＝(1，)，b＝(－，x)，且a与b夹角为60°，则x＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：cos 60°＝＝＝.
∴x＝3.
答案：C
4．已知向量u＝(x＋2,3)，v＝(x,1)，当f(x)＝u·v取得最小值时，x的值为( )
A．0 B．－1
C．2 D．1
解析：f(x)＝u·v＝(x＋2)x＋3
＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
所以当x＝－1时，f(x)取得最小值2.
答案：B
5．已知＝(－2,1)，＝(0,2)，且∥，⊥，则点C的坐标是( )
A．(2,6) B．(－2，－6)
C．(2，－6) D．(－2,6)
解析：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)．
由∥，⊥，得
解得
∴点C的坐标为(－2,6)．
答案：D
6．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
解析：∵·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，
∴⊥，
∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.
答案：C
7．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3,0)，则|2a－b|的最大值和最小值分别是( )
A．4，0 B．4,2
C．25,1 D．5,1
解析：因为|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝13－12cos θ，
又－1≤cos θ≤1，易知1≤13－12cos θ≤25，
所以|2a－b|的最大值和最小值分别是5,1，故选D.
答案：D
8．若a·b＝39，b＝(12,5)，则a在b上的投影向量是________．
解析：因为b＝(12,5)，∴与b方向相同的单位向量e＝(，)，
∴a在b上的投影向量为|a|cos θ e＝e＝3e＝(，)．
答案：(，)
9．在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
解析：如图所示，由于＝(－3,1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1)．在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
答案：4
二、综合运用
10．函数y＝tan (x－)的部分图象如图所示，则(－)·＝( )
A．－4 B．2
C．－2 D．4
解析：A(2,0)，B(3,1)，
(－)·＝2－·＝10－6＝4.
答案：D
11．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则·的取值范围是( )
A．[2,14] B．[0,12]
C．[0,6] D．[2,8]
解析：如图，A(0,0)，E(2，1)，
设F(x,2)(0≤x≤2)，所以＝(2，1)，＝(x,2)，
因此·＝2x＋2，
设f(x)＝2x＋2(0≤x≤2)，f(x)为增函数，
则f(0)＝2，f(2)＝14，故2≤f(x)≤14，·的取值范围是[2,14]．
答案：A
12．已知向量a＝(1,0)，b＝(x,1)，若a·b＝2，则x＝________；|a＋b|＝________.
解析：∵a·b＝2，∴x＝2.
∵a＋b＝(3,1)，∴|a＋b|＝.
答案：2
13．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|k a＋b|＝|a－k b|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ.
解析：(1)由|k a＋b|＝|a－k b|，
得(k a＋b)2＝3(a－k b)2，
∴k2a2＋2k a·b＋b2＝3a2－6k a·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝1，|b|＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0.
∴a·b＝＝.
(2)a·b＝＝(k＋)，
由函数单调性的定义容易证明f(k)＝(k＋)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
∴当k＝1时，[f(k)]min＝f(1)＝×(1＋1)＝，
此时a与b的夹角为θ.
则cos θ＝＝＝，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
14．已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，设m＝a＋t b(t∈R)．
(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；
(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b与向量m的夹角为？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．
解析：(1)当α＝时，b＝(，)，a·b＝，
∴|m|＝＝＝＝ ，
∴当t＝－时，|m|取得最小值．
(2)假设存在满足条件的实数t.
由条件得cos ＝，
∵a⊥b，∴|a－b|＝ ＝，
|a＋tb|＝＝ ，
(a－b)·(a＋t b)＝5－t，
∴＝.
∴t2＋5t－5＝0，且t<5，得t＝.
∴存在t＝满足条件．
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