一、复习巩固
1．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于( )
A．21 B．22
C．20 D．23
解析：∵＝22，∴x＝21.
答案：A
2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数 B．平均数
C．中位数 D．标准差
解析：对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．
答案：D
3．某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈节目打出分数分别为79,84,84,84,86,87,93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84,4.84 B．84,1.6
C．85,1.6 D．85,4
解析：由题意知平均分＝＝85，
s2＝×[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝×8＝1.6.
答案：C
4．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )
A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3
C．s1＞s2＞s3 D．s2＞s3＞s1
解析：由表可知：甲、乙、丙的成绩的平均数相等，均为8.5，经计算得甲、乙、丙的标准差分别为：
s1＝ ≈1.118；
s2＝ ≈1.204；
s3＝ ≈1.025，
∴s2>s1>s3，故选B.
答案：B
5．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则( )
A.＝5，s2＜2 B.＝5，s2＞2
C.＞5，s2＜2 D.＞5，s2＞2
解析：∵(x1＋x2＋…＋x8)＝5，∴(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，∴＝5.由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，∴s2＜2，故选A.
答案：A
6．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为________．
解析：根据题意知，该组数据的平均数为×(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460)＝450，
所以该组数据的方差为×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.
答案：150
7．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
则参加奥运会的最佳人选应为________．
解析：因丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．
答案：丙
8．小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
解析：由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，
设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4.
答案：4
9．一机床加工直径为100 mm的零件，该机床在一小时内生产了6件产品并进行测量，测得如下数据(单位：mm)：
99,100,102,99,100,100.
计算上述数据的方差和标准差．
解析：＝100＋(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100(mm)．
∵xi－(i＝1,2，…，6)得数据分别为－1,0,2，－1,0,0.
∴(xi－)2(i＝1,2，…，6)得数据分别为1,0,4,1,0,0.
∴s2＝×(1＋0＋4＋1＋0＋0)＝1(mm2)，s＝1(mm)．
10．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
销售量(件)
1 800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；
(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．
解析：平均数为×(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．
(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数又是众数，是大部分人能达到的定额．
二、综合应用
11．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )
A. B.
C. D．2
解析：由题可知样本的平均值为1，所以＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案：D
12．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是( )
A．70,75 B．70,50
C．75,1.04 D．62,2.35
解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.
答案：B
13．如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是________．
解析：法一(定义法)：依题意x1＋x2＋…＋x5＝35，所以(x1＋1)＋(x2＋1)＋…＋(x5＋1)＝40，故所求平均数为＝8.
法二(性质法)：显然新数据(记为yi)与原有数据的关系为yi＝xi＋1(i＝1,2,3,4,5)，故新数据的平均数为＋1＝8.
答案：8
14．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．
解析：不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数，则由已知条件可得
即得
又∵x1，x2，x3，x4为正整数，
∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3，
∵s＝＝1，∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.由此可得这四个数为1,1,3,3.
答案：1,1,3,3
15．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．
(1)请填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)；
②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)；
④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力)．
解析：(1)由图可知，甲打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；
乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及以上次数为3.
如下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定；
②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些；
③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好；
④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起伏不定，且均未超过乙，故乙更有潜力．
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