一、复习巩固
1．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与B B．B与C
C．A与D D．B与D
解析：A与B是互斥事件且为对立事件，B与C是相等事件，A与D是互斥但不对立事件，B与D可能同时发生，不是互斥事件．故选C.
答案：C
2．事件M?N，当N发生时，下列必发生的是( )
A．M B．M∩N
C．M∪N D．M的对立事件
解析：由于M?N，则当N发生时，M不一定发生，M∩N也不一定发生，而M∪N一定发生．故选C.
答案：C
3．某城市2019年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2019年空气质量达到良或优的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：所求概率为＋＋＝.故选A.
答案：A
4．在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪C(C是事件B的对立事件)发生的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可知事件C表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件C是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式可得P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝＋＝.
答案：C
5．同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3,4，…，11,12中的一个，记事件A为“点数之和是2,4,7,12”，事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为( )
A．A∩B B．A∩B∩C
C．A∩B∩ D．A∩B∪
解析：∵事件A＝{2,4,7,12}，
事件B＝{2,4,6,8,10,12}，
∴A∩B＝{2,4,12}，
又C＝{9,10,11,12}，∴A∩B∩＝{2,4}．
答案：C
6．在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或2的概率是________．
解析：事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是1或2”的概率是＋＝.
答案：
7．一枚一元硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”．写出事件A，B，C的概率P(A)，P(B)，P(C)之间的正确关系是________．
解析：事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，则有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
答案：P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
解析：“至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件．故3人中都是男生的概率P＝1－＝.
答案：
9．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中7环以下的概率．
解析：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，
则“射中10环或7环”的事件为A∪B，事件A和事件B是互斥事件，
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49，
所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)设“射中7环以下”为事件C，“射中7环或8环或9环或10环”为事件D，
则P(D)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97.
又事件C和事件D是对立事件，所以P(C)＝1－P(D)＝1－0.97＝0.03.
所以射中7环以下的概率是0.03.
10．一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出1个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为.求：
(1)取出的1个球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．
解析：记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
由互斥事件的概率公式，得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)
＝＋＝.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
二、综合应用
11．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
解析：该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．
答案：C
12．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是________．
解析：记既没有5点也没有6点的事件为A，则P(A)＝，5点或6点至少有一个的事件为B.因A∩B＝?，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.故5点或6点至少有一个的概率为.
答案：
13．甲射击一次，中靶概率是p1，乙射击一次，中靶概率是p2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且p1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶概率为______；乙射击一次，不中靶概率为________．
解析：由p1满足方程x2－x＋＝0知，p－p1＋＝0，解得p1＝；因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，解得p2＝.因此甲射击一次，不中靶概率为1－＝，乙射击一次，不中靶概率为1－＝.
答案：
14．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
解析：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A、B、C、D，则有：
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝；
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝；
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，
解得P(B)＝，
P(C)＝，P(D)＝.
所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，.
15．猎人在相距100 m处射击一野兔，命中的概率为，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150 m，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200 m，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率．
解析：设距离为d，命中的概率为P，则有P＝.
将d＝100，P＝代入，
得k＝Pd2＝5 000，
所以P＝.
设第一、二、三次击中野兔分别为事件A1，A2，A3，
则P(A1)＝，P(A2)＝＝，
P(A3)＝＝.
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，
所以P(A1＋A2＋A3)＝ P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
故射击不超过三次击中野兔的概率为.
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