一、复习巩固
1．下列说法中：
①相等向量一定是平行向量
②若是单位向量，则也是单位向量
③向量的模是一个非负实数
④共线向量一定在同一直线上
其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：共线向量可能平行也可能在同一直线上．
答案：D
2．下列说法中错误的是( )
A．零向量没有方向
B．零向量与任何向量平行
C．零向量的长度为零
D．零向量的方向是任意的
解析： 据零向量的定义，模为零的向量为零向量，判断出C对；对零向量的规定：零向量的方向是任意的，零向量与任何向量平行，判断出B，D对，A错，故选A.
答案：A
3．已知平行四边形ABCD，下列正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D．||＝||
解析：由平行四边形的性质可得＝，故选B.
答案：B
4.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，过O作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，则在以A、B、C、D、M、O、N为起点和终点的向量中，相等向量有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：＝，＝.
答案：B
5．已知边长为3的等边△ABC，则BC边上的中线向量的模等于________．
解析：由于AD＝AB＝.∴||＝.
答案：
6．(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(2)向量的模一定是正数；
(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(4)向量与是共线向量，则A、B、D三点必在同一直线上．
其中正确的序号是________．
解析：(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
(2)错误.0的模为零．
(3)正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
(4)正确.∥且有公共点B，故A、B、D三点共线．
答案：(3)(4)
7．给出以下4个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0，其中能使a与b共线成立的是________．
解析：两向量共线只需两向量方向相同或相反．
①a＝b，两向量方向相同；②|a|＝|b|，两向量方向不确定；③共线；④|a|＝0或|b|＝0即为a＝0或b＝0，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．综上所述，答案应为①③④.
答案：①③④
8.如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示向量中，
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与模相等的向量．
解析：(1)与相等的向量是，与相等的向量是.
(2)与共线的向量有、、.
(3)与模相等的向量有、、、、、、.
9.如图所示，四边形ABCD中，＝，N、M是AD、BC上的点，且＝.
求证：＝.
证明：∵＝，∴||＝||，且AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
∵＝，∴||＝||且CN∥MA，
∴四边形CNAM为平行四边形．
∴||＝||，∴||＝||.
又∵与方向相同，∴＝.
二、综合应用
10.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中A，B，C，D，E，F，O中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
解析：由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量共线的向量有，，，，，，，，，共有9个．故选D.
答案：D
11．下列说法中，不正确的是( )
A．0与任意一个向量都平行
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
解析：易知A、B、C均正确，D不正确，它们的终点可能相同，故选D.
答案：D
12．四边形ABCD满足＝，且||＝||，则四边形ABCD是________(填四边形ABCD的形状)．
解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，
∴四边形ABCD是平行四边形．又||＝||知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
13．矩形ABCD中，点E为BC边的中点，∠AEC的平分线交AD边于点F，若向量||＝3，||＝8，则||＝________.
解析：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝8，
因为E为BC的中点，
所以BE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝5，
因为EF是∠AEC的角平分线，
所以∠AEF＝∠CEF，
因为AD∥BC，所以∠AFE＝∠CEF，
所以∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF，
所以||＝||－||＝8－5＝3.
答案：3
14．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量1，2表示马走了“一步”．通过探究，你能在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况吗？
解析：马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走，可谓“八面威风”，如图，以点B为起点作向量(共3个)，以点C为起点作向量(共8个)．
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